Programma di Analisi Matematica I
Anno accademico 2000/2001
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica A-G
(Prof. Maria Patrizia Pera)

(Ultimo aggiornamento: 21/12/00) 


NUMERI
Insiemi (unione, intersezione, differenza, insieme vuoto, 
complementare). Numeri naturali, interi, razionali. I numeri reali: 
assiomi algebrici, ordinamento, assioma di Dedekind. Quantificatori logici. 
Disuguaglianze. Valore assoluto. Potenze e radici. Logaritmi. 
Intervalli. Numerabilita` (cenni). Intorni di un punto. Massimo, minimo, 
maggioranti, minoranti, estremo inferiore e superiore di un insieme. 
Il teorema di Bolzano-Weierstrass. Elementi di topologia nei reali 
(punti di accumulazione, punti isolati, punti di frontiera, 
insiemi chiusi, insiemi aperti).  Numeri algebrici e trascendenti (cenni). 
I numeri complessi. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Potenza 
n-esima di un numero complesso. Radice n-esima di un numero 
complesso. 

FUNZIONI DI UNA VARIABILE (LIMITI E CONTINUITA`)
Applicazioni tra insiemi. Funzioni reali di variabile reale. Grafico di 
una funzione. Funzioni limitate. Funzioni 
monotone. Funzioni inverse. Massimi e minimi. Polinomi e funzioni 
razionali. Principali funzioni trascendenti (funzioni esponenziali 
e logaritmiche, funzioni trigonometriche e loro inverse, funzioni 
iperboliche). La funzione parte intera. Limiti delle funzioni (finiti 
e infiniti). Teorema di unicita` del limite (con dim.). Limite destro e 
sinistro. Teorema fondamentale per il calcolo dei limiti (dimostrazione di
almeno un caso). Forme indeterminate. Teorema dei carabinieri (con 
dim.). Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Limiti 
fondamentali e conseguenze. Continuita`.Teorema della permanenza del 
segno. Teorema di continuita` delle funzioni combinate (somma, prodotto, 
quoziente e composizione).Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri. 
Teorema dei valori intermedi. Teorema di continuita` di una funzione 
inversa.

SUCCESSIONI REALI
Definizione di successione. Limite di una successione. Successioni 
convergenti, divergenti e indeterminate. Teoremi sui 
limiti delle successioni. Successioni limitate. Successioni monotone. 
Estremo inferiore ed estremo superiore di una successione. Teorema di 
esistenza del limite per le successioni monotone. Il numero e come limite 
di una successione. Teorema di collegamento 
e alcune sue applicazioni. Radice n-esima, n fattoriale e calcolo di 
alcuni limiti connessi a queste nozioni. Il principio di induzione 
matematica. Successioni definite per ricorrenza. 

FUNZIONI DI UNA VARIABILE (DERIVATE)
Definizione di derivata. Derivata destra e sinistra. Derivabilita` 
in un insieme. Derivabilita` a tratti. Punti angolosi. Interpretazione 
geometrica della derivata. Differenziali. Regole di derivazione (somma, 
prodotto, quoziente, composizione e funzione inversa). Derivate di 
funzioni speciali. Teoremi di Rolle (con 
dim.) e Lagrange. Conseguenze del Teorema di Lagrange. Derivate di ordine 
superiore. Formula di Taylor col resto nella forma di Peano. Formula di 
Taylor col resto nella forma di Lagrange. Formula di MacLaurin. Applicazioni 
della formula di Taylor al calcolo dei limiti e ad alcuni problemi di 
approssimazione.  Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Condizioni 
sufficienti per l'esistenza di massimi e minimi relativi. Funzioni convesse 
in un intervallo (cenni). Punti di flesso. Asintoti di una funzione. Studi 
di funzione.I teoremi di de L'Hopital.

INTEGRALI SEMPLICI
Definizione di integrale definito. Insiemi 
trascurabili e condizione necessaria e sufficiente per 
l'integrabilita`. Proprieta` degli integrali definiti 
(linearita`,monotonia, additivita`). Teorema della media per gli integrali.
Teorema della media generalizzato. Primitive.Integrali indefiniti.Teorema 
fondamentale del calcolo integrale. Formula fondamentale del calcolo 
integrale. Formula di integrazione per parti per 
gli integrali indefiniti e definiti. Formula di integrazione per sostituzione
per gli integrali indefiniti e definiti.Integrazione delle funzioni elementari 
o dedotte da funzioni elementari. Integrazione delle funzioni razionali. Alcuni
metodi di integrazione. Integrali impropri. Criteri di convergenza (confronto, 
confronto asintotico, convergenza assoluta). Metodi numerici per la valutazione 
degli integrali definiti (cenni).

SERIE NUMERICHE E DI FUNZIONI
Serie numeriche. Somma di una serie. Carattere di una serie. Condizione 
necessaria per la convergenza. La serie geometrica. La serie armonica e 
la serie armonica generalizzata. Serie a termini positivi. Criteri di 
convergenza: confronto (con dim.), confronto asintotico, convergenza assoluta, 
radice, rapporto, integrale (cenno alla dim.), di Leibniz.
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e uniforme. Teoremi: 
convergenza uniforme e continuita`, convergenza uniforme e derivabilita`, 
passaggio al limite sotto il segno di integrale.  
Serie di funzioni. Convergenza semplice, assoluta, uniforme. Criterio di 
Weierstrass per la convergenza uniforme. Serie di potenze. Struttura 
dell'insieme di convergenza di una serie di potenze e raggio di convergenza. 
Metodi per trovare il raggio di convergenza. Teorema di Abel. Uguaglianza 
tra i raggi di convergenza di una serie di potenze e della serie delle sue 
derivate. Derivabilita` e integrabilita` termine a termine. Serie di 
Taylor. Sviluppi in serie delle principali funzioni (senx, cosx expx, 
log(1+x), arctgx). La serie binomiale. 
La funzione esponenziale complessa (cenni). Le formule di 
Eulero.

FUNZIONI REALI DI PIU` VARIABILI
Vettori e scalari. Algebra dei vettori. Lo spazio R^2, R^3, R^n. Norma e 
distanza. Prodotto scalare. Elementi di topologia in R^n (intorni di un punto, 
punti di accumulazione, punti isolati, punti di frontiera, insiemi chiusi, 
insiemi aperti). Insiemi limitati. Funzioni reali di due o piu' variabili 
reali. Limiti (finiti e infiniti). Limiti direzionali. Continuita`. 
Derivate parziali. Gradiente.  Differenziabilita`. Piano tangente. Teorema 
del differenziale totale. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di 
Schwarz. Matrice hessiana (in due variabili). Formula di Taylor del secondo 
ordine (per funzioni di due variabili). Teorema del valor medio (di Lagrange).
Massimi e minimi relativi. Condizione necessaria per i punti estremanti 
(teorema di Fermat). Condizione sufficiente per i punti estremanti. Cenno 
alle forme quadratiche.

FUNZIONI DI UNA VARIABILE A VALORI VETTORIALI
Limiti. Continuita` e derivabilita`. Curve parametriche in R^2 e R^3. 
Sostegno di una curva. Curve semplici. Versore tangente. Derivate 
direzionali di una funzione di piu` variabili. Cambiamenti di parametro e 
curve equivalenti. Curve concordi e discordi. Curve regolari e regolari a 
tratti. Lunghezza di una curva. Curve equivalenti hanno la stessa lunghezza. 
Integrale curvilineo non orientato di una funzione lungo una curva 
parametrica. Massa e baricentro di un filo.

FUNZIONI DI PIU` VARIABILI A VALORI VETTORIALI
Limiti. Continuita` e derivabilita`. Matrice jacobiana. Coordinate polari, 
sferiche e cilindriche e loro jacobiani. Derivazione delle funzioni composte
(regola di derivazione a catena). Insiemi connessi. Una funzione continua 
manda compatti in compatti e connessi in connessi.  

INTEGRALI MULTIPLI
Integrale doppio in un rettangolo. Insiemi 
trascurabili in R^2 e condizione necessaria e sufficiente per 
l'integrabilita`. Teorema di riduzione per gli integrali doppi (di 
Fubini). Integrale in un insieme limitato di R^2. Formule di riduzione 
deducibili dal Teorema di Fubini. Area di un insieme limitato. Proprieta` 
degli integrali (linearita`, monotonia, additivita`). Teorema della media 
integrale. Determinante di una matrice quadrata. Formula di cambiamento 
di variabili per gli integrali doppi.
Integrali tripli in un parallelepipedo. Insiemi trascurabili in R^3 
e condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilita`. Teorema di 
riduzione per gli integrali tripli (di Fubini). Integrale in un insieme 
limitato di R^3. Formule di riduzione deducibili dal Teorema di Fubini 
(formula delle fette, formula degli spaghetti). Volume di un insieme limitato. 
Formula di cambiamento di variabili per gli integrali tripli. Applicazioni degli 
integrali multipli al calcolo di masse, baricentri e 
momenti d'inerzia. 

FORME DIFFERENZIALI
Forme differenziali in R^2 e R^3. Forme chiuse e forme esatte e relazioni 
tra le due nozioni. Calcolo di primitive di forme differenziali esatte. 
Campi vettoriali. Rotore di un campo vettoriale. Parallelismo tra forme 
differenziali e campi vettoriali. Integrale curvilineo di una forma 
differenziale e sue proprieta`. Condizione necessaria perche' una forma 
sia esatta e` che l'integrale curvilineo dipenda solo dagli estremi (con 
dim.). Insiemi convessi e insiemi semplicemente
connessi. Condizione sufficiente perche' una forma chiusa sia esatta.
Teorema di Gauss-Green nel piano. Area di un insieme piano come integrale 
curvilineo sulla frontiera. 


EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Equazioni del primo ordine. Equazioni di ordine n. Definizione di 
soluzione. Equazioni in forma normale.Soluzioni massimali. 
Problema di Cauchy. Teorema di esistenza di Peano. Teorema di 
esistenza e unicita` (della soluzione massimale del problema di 
Cauchy). Equazioni a variabili separabili. Equazioni con il secondo
membro omogeneo.  Equazioni lineari. Integrazione delle 
equazioni lineari del primo ordine. Equazioni di Bernoulli. Funzioni 
linearmente indipendenti. Integrazione delle equazioni differenziali 
lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. Metodi di variazione
delle costanti e altri metodi pratici  per la determinazione di una 
soluzione particolare delle equazioni lineari non omogenee.
Equazioni del secondo ordine di tipo particolare. Integrali primi (cenni).
Cenno ad alcuni problemi ai limiti per equazioni del secondo ordine.

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Testo per prerequisiti:
- Boieri P. - Chiti G., Precorso di Matematica,
  Zanichelli.

Testi di riferimento:
- Registro dettagliato delle lezioni in formato
  pdf (consultare http://www.dma.unifi.it/~pera).
- Spiegel, Analisi Matematica, Collana Schaum,
  McGraw-Hill libri Italia.
- Ayres, Equazioni Differenziali, Collana Schaum,
  McGraw-Hill libri Italia.


Testi consigliati per approfondimenti:
- Bramanti M. - Pagani C.D. - Salsa S., Matematica
  (calcolo infinitesimale e algebra lineare),
  Zanichelli.
- Marcellini P. - Sbordone C., Calcolo, Liguori
  Editore.