Calcolo delle Probabilità e Statistica 2005-2006

Registro delle lezioni


Giovedi 19 Gennaio

Introduzione
Statistica descrittiva e inferenziale, Probabilità. Probabilità come grado di fiducia e come quantificazione di un'incertezza. Esempi.
Statistica
Variabili statistiche; tipi di dati: modalità qualitative e quantitative. Variabili discrete e continue. Esempi. Frequenza e frequenza relativa di una modalità e loro proprietà.
Misure di tendenza centrale: media, moda, mediana. Loro significato e loro proprietà. Esempi.
Misure di dispersione dei dati: rango, quantili, varianza campionaria e varianza di una popolazione. Definizioni ed esempi.

Venerdi 20 Gennaio

Altri indici di tendenza centrale. Skewness (asimmetria) e Curtosi (appiattimento). Momenti centrati di ordine superiore.
Proprietà della varianza; Var(X)=E(X2) - (E(X))2. Deviazione standard. Variabili standardizzate.

Giovedi 26 Gennaio

Relazione tra due serie di dati. Problema di stimare il valore di una delle due serie di dati conoscendo l'altro. Baricentro di un insieme di dati.
Approssimazione nel senso dei minimi quadrati; migliore approssimazione lineare in tal senso: retta di regressione.
Covarianza, coefficiente di correlazione e loro significato.

Venerdi 27 Gennaio

Esercizi sul calcolo media, moda, mediana, varianza, ecc. ecc. di una serie di dati.
Esercizi su correlazione tra due serie di dati; calcolo della retta di regressione e suo utilizzo per la stima di dati incogniti.
Calcolo combinatorio
Disposizioni, Permutazioni, Combinazioni. Definizioni ed esempi.

Giovedi 2 Febbraio

Coefficienti binomiali e loro proprietà. Binomio di Newton.
Esercizi su calcolo combinatorio.
Calcolo delle probabilità
Introduzione al calcolo delle probabilità. Impostazione classica: probabilità come rapporto tra numero di casi favorevoli e numero totale di casi. Eventi incompatibili. Legge della probabilità totale. Alcuni esempi.

Venerdi 3 Febbraio

Impostazione frequentista: probabilità come frequenza relativa in una serie di prove fatte nelle stesse condizioni.
Impostazione soggettiva: probabilità come grado di fiducia nel verificarsi di un certo evento. Scommesse e probabilità. Principio di coerenza. Deduzione di alcune proprietà generali della probabilità a partire dalla impostazione soggettiva. Dimostrazione della legge della probabilità totale. Confronto tra le tre impostazioni fin'ora incontrate.
Applicazione delle considerazioni fatte ad alcune situazioni reali (es: roulette, scommesse sulle partite di calcio). Esempi.

Giovedi 9 Febbraio

Impostazione assiomatica della probabilità: assiomi e dimostrazione di qualche semplice risultato. Eventi certi, eventi impossibili, eventi di probabilità 1 e di probabilità 0.
Esercizi sul calcolo di probabilità di eventi relativi a giochi di carte, di dadi, anagrammi. Assegnati alcuni esercizi.

Venerdi 10 Febbraio

Probabilità condizionata, Teorema delle probabilità totali, formula di Bayes.
Esempi vari ed esercizi

Giovedi 16 Febbraio

Regole per il calcolo della probabilità dell'intersezione di più eventi e per il calcolo della probabilità dell'unione di 2 o 3 eventi nel caso di eventi non mutuamente esclusivi. Indipendenza stocastica.
Svolgimento di alcuni esercizi assegnati il 9/2.
Esempi di applicazioni delle regole di addizione e moltiplicazione delle probabilità Esempi di eventi indipendenti e non.

Venerdi 17 Febbraio

Esempi di eventi stocasticamente indipendenti e non.

Indipendenza nel caso di 3 o più eventi. Modelli matematici per gli esperimenti aleatori. Variabili aleatorie discrete: introduzione. Distribuzione cumulativa di una variabile aleatoria e sue proprietà
Esempi: alcune semplici variabili aleatorie discrete e le loro densità cumulative.

Giovedi 23 Febbraio

Funzioni di densità discrete e loro proprietà. Esempi. Relazioni tra densità e distribuzione cumulativa. Funzione di densità nel caso continuo e sue proprietà. Non unicità della funzione di densità. Probabilità come area del sottografico della funzione di densità. Esempi.

Venerdi 24 Febbraio

Valore atteso E(X) di una variabile aleatoria (caso discreto e caso continuo). Esempio di variabile aleatoria X per cui E(X) non esiste. Parallelismo tra valore atteso e baricentro di un sistema di masse. Calcolo del valore atteso a partire dalla distribuzione cumulativa.
Varianza di una variabile aleatoria (caso discreto e continuo). Deviazione standard. Parallelismo tra varianza e momento d'inerzia di un sistema di masse.
Esempi vari di calcolo di media e varianza di variabili aleatorie continue o discrete.

Giovedi 2 Marzo

Distribuzioni di probabilità: caso discreto.
Distribuzione binomiale (o di Bernoulli), Distribuzione ipergeometrica. Approssimazione della distribuzione ipergeometrica mediante la binomiale.
Esempi ed applicazioni delle distribuzioni binomiale ed ipergeometrica. Estrazioni con e senza reimbussolamento. Calcolo di media e varianza delle due distribuzioni.

Venerdi 3 Marzo

Distribuzione di Poisson per gli eventi rari. Approssimazione della distribuzione binomiale con una Poisson. Media e varianza delle distribuzione di Poisson.
Distribuzione geometrica. Numero di prove necessarie per avere il primo successo. Indipendenza della probabilità dal ritardo.
Distribuzioni di probabilità: caso continuo.
Distribuzione uniforme su un intervallo [a, b]. Media e Varianza della distribuzione uniforme.
Esempi vari ed esercizi.

Giovedi 9 Marzo

Distrubuzione esponenziale. Distribuzione Normale (o Gaussiana). Normale standardizzata N(x). Integrale di exp(1/x2). Media e varianza della distribuzione normale. Proprietà di N(x). Distribuzione cumulativa Phi(x) della normale standardizzata e sue proprietà. Tavole dei valori di Phi e loro utilizzo.

Venerdi 10 Marzo

Approssimazione della distribuzione binomiale mediante la Gaussiana (Teorema di Bernoulli).
Esempi vari ed esercizi su distribuzione Gaussiana, utilizzo delle tavole ed approssimazione di distribuzioni binomiali

Distribuzioni congiunte. Caso bidimensionale discreto.
Funzione di distribuzione cumulativa congiunta e sue proprietà. Distribuzioni cumulative marginali.

Giovedi 16 Marzo

Densità congiunta, funzioni di densità marginali.
Caso bidimensionale continuo
Variabili bidimensionali continue, densità di probabilità congiunta, funzione di distribuzione cumulativa e loro proprietà; densità marginali e distribuzioni cumulative marginali.
Esercizi ed esempi relativi al caso continuo.

Venerdi 17 Marzo

Esercizi in preparazione dello scritto d'esame tratti dal facsimile del compito.

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