Metodi Matematici - IDI e Analisi dei Sistemi B - IAR

Registro delle lezioni anno accademico 2008-2009

Mercoledi 8 ottobre

Aritmetica complessa: introduzione storica, prime definizioni, operazioni di somma e prodotto di numeri complessi, coniugato e modulo di un numero complesso e relative proprietà. Quoziente di numeri complessi. Rappresentazione polare, argomento di un numero complesso; potenze e radici di un numero complesso.

Venerdi 10 ottobre

Definizione di esponenziale complessa e sue proprietà. Logaritmo di un numero complesso. Notazione esponenziale per i numeri complessi.
Esercizi svolti in aula su soluzione di equazioni algebriche in C e disegno di luoghi geometrici.

Mercoledi 15 ottobre

Serie numeriche: Generalità e definizioni. Serie geometrica. Serie di Mengoli. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie armonica. Proprietà di linearità della sommatoria. Serie a termini non negativi. Criterio del confronto, criterio del confronto asintotico. Criterio della radice. Criterio del rapporto, Serie a segni alterni, Criterio di Leibniz.
Esempi vari.
Estensione al campo complesso delle principali funzioni trascendenti reali. Funzioni trigonometriche complesse. Proprietà di esponenziale e funzioni trigonometriche complesse. Loro relazioni reciproche: formule di Eulero. Legami tra funzioni rigonometriche e iperboliche e le loro omologhe reali.
Funzioni olomorfe: Funzioni f : C —> C, limiti e continuità in C. Derivabilità in senso complesso: funzioni olomorfe. Confronto con il caso reale. Condizioni di Cauchy-Riemann. Esempi di funzioni non derivabili in senso complesso.

Venerdi 17 ottobre

Funzioni armoniche coniugate, ortogonalità delle linee di livello di parte reale e parte immaginaria di una funzione olomorfa.
Funzioni armoniche, armonicità di parte reale e parte immaginaria di una funzione olomorfa.
Esercizi su derivabilità di funzioni complesse; linee di livello di log(z) e di z.
Esercizi svolti su derivabilità di funzioni complesse; determinazione di una funzione olomorfa conoscendone solo la parte reale o solo la parte immaginaria.
Serie di potenze: Concetti di convergenza puntuale, uniforme, assoluta per successioni e serie di funzioni. Convergenza delle serie di potenze: lemma di Abel. Estremo superiore e inferiore. Massimo e minimo limite.

Venerdi 24 ottobre

Raggio di convergenza. Formula di Hadamard. Confronto tra criterio del rapporto e criterio della radice per il calcolo del raggio di convergenza. Continuità della somma di una serie di potenze. Derivabilità delle funzioni somma di una serie di potenze. Derivabilità per serie.
Esercizi sul calcolo del raggio di convergenza anche nel caso di serie lacunari.

Mercoledi 29 ottobre

Funzioni analitiche complesse. Posizione degli zeri di una funzione analitica. Principio di identità delle funzioni analitiche e sue applicazioni.
Riepilogo su serie di Taylor e McLaurin; alcuni importanti sviluppi in serie. Esercizi sulla determinazione della somma di una serie di potenze.
Esercizi sul calcolo della somma di una serie di potenze.


Fino a nuovo avviso gli argomenti trattati non fanno parte del programma per il corso di Analisi dei sistemi B.

Venerdi 31 ottobre

Spazi di Hilbert: prodotto scalare e prodotto hermitiano, norma. Esempi di norme, prodotti scalari e prodotti hermitiani di utilizzo frequente.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza triangolare. Successioni di Cauchy, Completezza e spazi di Hilbert. Sistemi lineari non quadrati e migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati in Rn.
Esempi di spazi di Hilbert e di spazi non completi. Lo spazio L2.

Mercoledi 5 novembre

Proprietà dello spazio L2. Disuguaglianze di Hölder e di Minkowski. Metodo dei minimi quadrati in Rn e in L2. Lo spazio L2[-Pi, Pi]; norma e prodotto scalare in L2[-Pi, Pi]. Cenni sugli spazi Lp. Sistemi ortonormali trigonometrico ed esponenziale in L2[-Pi, Pi].
Esercizi su migliore approssimazione di funzioni in spazi di polinomi. Calcolo dell'errore commesso con l'approssimazione.

Venerdi 7 novembre

Serie di Fourier in L2[-Pi, Pi] come problema di miglior approssimazione. Forma trigonometrica e forma complessa delle serie di Fourier. Relazioni tra i coefficienti an, bn, cn.
Proprietà delle successioni approssimanti e decrescenza della norma dell'errore commesso all'aumentare del numero di termini dello sviluppo. Ortogonalità fra funzione approssimante e errore di approssimazione.
Semplici sviluppi in serie di Fourier. Serie di Fourier e simmetrie, sviluppi di funzioni pari o dispari.


Mercoledi 12 novembre

Convergenza delle serie di Fourier in L2. Completezza dei sistemi trigonometrico ed esponenziale. Teoremi di convergenza puntuale ed uniforme delle serie di Fourier (senza dimostrazione). Altre proprietà delle serie di Fourier. Proprietà di derivazione e di integrazione delle serie di Fourier. Serie di soli seni e di soli coseni. Serie di Fourier in intervalli diversi da [-Pi, Pi].
Esercizi di riepilogo in preparazione della prima prova intercorso.


Sabato 15 novembre

Prima prova intercorso.

Mercoledi 19 Novembre

Trasformate di Fourier
Trasformate di Fourier come caso limite delle serie di Fourier. Definizione, operatore di Trasformazione. Limitatezza delle trasformate di Fourier delle funzioni integrabili. Proprietà di riscalamento. Conseguenze delle simmetrie della funzione sulla sua trasformata di Fourier. Parte pari e parte dispari di una funzione.
Revisione di alcuni esercizi assegnati nella prima prova intercorso.


Venerdi 21 Novembre

Proprietà di ritardo. Proprietà di modulazione. Teorema di inversione della trasformata di Fourier. Formula di dualità. Proprietà di derivazione.
Trasformata di Fourier della gaussiana.
Esempi ed esercizi vari.


Venerdi 28 Novembre

Relazioni tra regolarità della funzione e comportamento all'infinito della trasformata. Convoluzione tra due funzioni L1. Trasformata della convoluzione e convoluzione delle trasformate.

Esempi ed esercizi vari.


Mercoledi 3 Dicembre

Delta di Dirac e sua trasformata di Fourier. Cenni sulle distribuzioni.
Esempi di applicazione delle proprietà delle trasformate di Fourier. Uso della delta di Dirac per il calcolo di alcune trasformate.

Da qui in poi gli argomenti trattati fanno parte anche del programma del corso di Analisi dei sistemi B

Mercoledi 3 Dicembre

Trasformate di Laplace
Definizioni, semipiano di convergenza, ascissa di convergenza di una funzione.

Trasformata della funzione di Heaviside, di funzioni caratteristiche di intervalli e di funzioni esponenziali. Delta di Dirac. Linearità dell'operatore di trasformazione. Trasformata di Laplace delle funzioni trigonometriche e iperboliche. Trasformata di funzioni polinomiali. Relazioni tra la trasformata di Fourier e la trasformata di Laplace. Limitatezza e comportamento all'infinito delle trasformate di Laplace di funzioni.
Proprietà di riscalamento, traslazione e modulazione per la trasformata di Laplace. Trasformata di funzioni periodiche.


Venerdi 5 Dicembre

Derivata della trasformata di Laplace. Trasformata della derivata di f(x). Trasformata della convoluzione. Inversione della trasformata nel caso di funzioni razionali fratte.
Esempi di applicazione delle proprietà delle trasformate di Fourier. Prime applicazioni alla risoluzione di problemi di Cauchy. Risoluzione di problemi di Cauchy mediante l'uso delle trasformate di Laplace.


Martedi 9 Dicembre

Soluzione di equazioni integrali e integro-differenziali ti tipo convolutorio.
Esercizi su risoluzione di equazioni differenziali ed integrali mediante l'uso della trasformata di Laplace. Esercizi di riepilogo


Mercoledi 10 Dicembre

Esercizi di riepilogo.


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