Venerdi 21 AprileAnalisi ComplessaAritmetica complessa: introduzione storica, prime definizioni, operazioni di somma e prodotto di numeri complessi, coniugato e modulo di un numero complesso e relative proprietà. Quoziente di numeri complessi. Rappresentazione polare, argomento di un numero complesso; potenze e radici di un numero complesso. Mercoledi 26 AprileEstensione al campo complesso delle principali funzioni trascendenti reali. Definizione di esponenziale complessa, funzioni trigonometriche complesse. Proprietà di esponenziale e funzioni trigonometriche complesse. Loro relazioni reciproche: formule di Eulero.Venerdi 28 AprileLegami tra funzioni rigonometriche e iperboliche e le loro omologhe reali. Logaritmo di un numero complesso. Notazione esponenziale per i numeri complessi.
Esercizi svolti in aula su soluzione di equazioni
algebriche in C e disegno di luoghi geometrici Martedi 2 MaggioFunzioni olomorfe: Funzioni f : C --> C, limiti e continuità in C. Derivabilità in senso complesso: funzioni olomorfe. Confronto con il caso reale. Condizioni di Cauchy-Riemann. Esempi di funzioni non derivabili in senso complesso. Funzioni armoniche coniugate, ortogonalità delle linee di livello di parte reale e parte immaginaria di una funzione olomorfa.
Esercizi svolti su derivabilità di funzioni complesse; determinazione
di una funzione olomorfa conoscendone solo la parte reale o solo la parte
immaginaria. Linee di livello del logaritmo di z e di z2.
Mercoledi 3 MaggioFunzioni armoniche, armonicità di parte reale e parte immaginaria di una funzione olomorfa.Serie di potenze: Concetti di convergenza puntuale, uniforme, assoluta per successioni e serie di funzioni. Convergenza delle serie di potenze: lemma di Abel. Estremo superiore e inferiore. Massimo e minimo limite. Raggio di convergenza. Venerdi 5 MaggioFormula di Hadamard. Confronto tra criterio del rapporto e criterio della radice per il calcolo del raggio di convergenza. Continuità della somma di una serie di potenze. Derivabilità delle funzioni somma di una serie di potenze. Derivabilità per serie.
Qualche esempio. Serie lacunari.
Martedi 9 MaggioFunzioni analitiche complesse. Posizione degli zeri di una funzione analitica. Principio di identità delle funzioni analitiche e sue applicazioni.
Riepilogo su serie di Taylor e McLaurin; alcuni importanti sviluppi in
serie. Esercizi sulla determinazione della somma di una serie di potenze.
Mercoledi 10 MaggioSerie di FourierSpazi di Hilbert: prodotto scalare e prodotto hermitiano, norma. Disuguaglianza di Schwarz.
Esercizi sulla determinazione della somma di una serie di potenze.
Venerdi 12 MaggioDisuguaglianza triangolare. Successioni di Cauchy, Completezza e spazi di Hilbert. Sistemi lineari non quadrati e migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati in Rn.Esempi di spazi di Hilbert e di spazi non completi. Lo spazio L2. Martedi 16 MaggioProprietà dello spazio L2. Disuguaglianze di Hölder e di Minkowski. Metodo dei minimi quadrati in Rn e in L2. Lo spazio L2[-Pi, Pi]; norma e prodotto scalare in L2[-Pi, Pi]. Sistemi ortonormali trigonometrico ed esponenziale in L2[-Pi, Pi].Mercoledi 17 MaggioSerie di Fourier in L2[-Pi, Pi] come problema di miglior approssimazione. Forma trigonometrica e forma complessa delle serie di Fourier. Relazioni tra i coefficienti an, bn, cn.
Esercizi su migliore approssimazione di funzioni in spazi di polinomi.
Calcolo dell'errore commesso con l'approssimazione.
Venerdi 19 Maggio (3 ore)Proprietà delle successioni approssimanti e decrescenza della norma dell'errore commesso all'aumentare del numero di termini dello sviluppo. Ortogonalità fra funzione approssimante e errore di approssimazione. Convergenza delle serie di Fourier in L2. Completezza dei sistemi trigonometrico ed esponenziale.Serie di soli seni e di soli coseni. Serie di Fourier in intervalli diversi da [-Pi, Pi].
Serie di Fourier e simmetrie, sviluppi di funzioni pari o dispari.
Martedi 23 MaggioTeoremi di convergenza puntuale ed uniforme delle serie di Fourier. Nucleo di Dirichlet.
Esercizi su basi ortonormali e migliore approssimazione.
Semplici sviluppi in serie di Fourier. Mercoledi 24 MaggioAltre proprietà delle serie di Fourier. Proprietà di derivazione e di integrazione delle serie di Fourier.
Esercizi di riepilogo in preparazione della prima prova intercorso.
Venerdi 26 Maggio
Prima prova intercorso.
Martedi 30 MaggioTrasformate di FourierTrasformate di Fourier come caso limite delle serie di Fourier. Definizione, operatore di Trasformazione. Limitatezza delle trasformate di Fourier delle funzioni intergrabili. Proprietà di riscalamento. Conseguenze delle simmetrie della funzione sulla sua trasformata di Fourier. Parte pari e parte dispari di una funzione. Proprietà di ritardo. Martedi 6 giugnoProprietà di modulazione. Teorema di inversione della trasformata di Fourier. Formula di dualità. Proprietà di derivazione.
Qualche esempio.
Mercoledi 7 giugnoRelazioni tra regolarità della funzione e comportamento all'infinito della trasformata. Convoluzione tra due funzioni L1. Trasformata della convoluzione e convoluzione delle trasformate.Venerdi 9 giugno (3 ore)Delta di Dirac e sua trasformata di Fourier. Cenni sulle distribuzioni.
Esempi di applicazione delle proprietà delle trasformate di
Fourier. Trasformata della funzione gaussiana. Uso della delta di
Dirac per il calcolo di alcune trasformate.
Martedi 13 giugnoTrasformate di LaplaceDefinizioni, semipiano di convergenza, ascissa di convergenza di una funzione. Trasformata della funzione di Heaviside, di funzioni caratteristiche di intervalli e di funzioni esponenziali. Delta di Dirac. Linearità dell'operatore di trasformazione. Trasformata di Laplace delle funzioni trigonometriche e iperboliche. Trasformata di funzioni polinomiali. Relazioni tra la trasformata di Fourier e la trasformata di Laplace. Limitatezza e comportamento all'infinito delle trasformate di Laplace di funzioni. Mercoledi 14 giugnoProprietà di riscalamento, traslazione e modulazione per la trasformata di Laplace. Trasformata di funzioni periodiche.Derivata della trasformata di Laplace.
Esempi di applicazione delle proprietà delle trasformate di
Fourier. Trasformata della funzione gaussiana. Uso della delta di
Dirac per il calcolo di alcune trasformate.
Venerdi 16 giugno(3 ore)Trasformata della derivata di f(x). Trasformata della convoluzione. Inversione della trasformata nel caso di funzioni razionali fratte.Martedi 20 giugnoSoluzione di equazioni integrali e integro-differenziali ti tipo convolutorio.Esercizi su risoluzione di equazioni differenziali ed integrali mediante l'uso della trasformata di Laplace Mercoledi 21 giugno
Esercizi di riepilogo sul programma complessivo del corso.
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