Metodi Matematici 2003-2004 - Registro delle lezioni

Martedi 4 Maggio Analisi Complessa Aritmetica complessa: introduzione storica, prime definizioni, operazioni di somma e prodotto di numeri complessi, coniugato e modulo di un numero complesso e relative propriet&\agrave;. Quoziente di numeri complessi. Rappresentazione polare, argomento di un numero complesso; potenze e radici di un numero complesso. Qualche esempio. Mercoledi 5 Maggio Estensione al campo complesso delle principali funzioni trascendenti reali. Definizione di esponenziale complessa, funzioni trigonometriche e iperboliche complesse, loro proprietà e relazioni reciproche: formule di Eulero. Logaritmo di un numero complesso. Notazione esponenziale per i numeri complessi. Esercizi svolti in aula su calcolo di radici, potenze e soluzione di equazioni algebriche in C, funzioni trascendenti, legami tra funzioni trigonometriche e iperboliche e le loro omologhe reali. Venerdi 7 Maggio Funzioni olomorfe: Funzioni f : C --> C, limiti e continuità in C. Derivabilità in senso complesso: funzioni olomorfe. Confronto con il caso reale. Condizioni di Cauchy-Riemann. Esempi di funzioni non derivabili in senso complesso. Funzioni armoniche coniugate, ortogonalità delle linee di livello di parte reale e parte immaginaria di una funzione olomorfa. Esercizi svolti su derivabilità di funzioni complesse; determinazione di una funzione olomorfa conoscendone solo la parte reale o solo la parte immaginaria. Martedi 11 Maggio Serie di potenze: Concetti di convergenza puntuale, uniforme, assoluta per successioni e serie di funzioni. Convergenza delle serie di potenze: lemma di Abel. Massimo e minimo limite, raggio di convergenza e formula di Hadamard. Qualche esempio. Mercoledi 12 Maggio Continuità e derivabilità delle funzioni somma di una serie di potenze. Derivabilità per serie. Esercizi su determinazione del raggio di convergenza di una serie di potenze. Serie lacunari. Determinazione della somma di una serie di potenze in alcuni casi particolari. Venerdi 14 Maggio Funzioni analitiche complesse. Posizione degli zeri di una funzione analitica. Principio di identità delle funzioni analitiche e sue applicazioni. Martedi 18 Maggio Serie di Fourier Spazi di Hilbert: prodotto scalare e prodotto hermitiano, norma. Disuguaglianze triangolare e di Schwarz. Esercizi su funzioni analitiche e principio di identità delle funzioni analitiche. Mercoledi 19 Maggio La lezione non si è tenuta per la sospensione della didattica indetta dal Preside. Venerdi 21 Maggio La lezione non si è tenuta causa sciopero generale dei dipendenti pubblici. Martedi 25 Maggio Successioni di Cauchy, spazi completi, spazi di Hilbert. Esempi di spazi di Hilbert. Metodo dei minimi quadrati in Rn. Lo spazio L2 e le sue proprietà. Disuguaglianze di Hölder e di Minkowski. Lo spazio L2[-Pi, Pi]; norma e prodotto scalare in L2[-Pi, Pi]. Sistema ortonormale trigonometrico in L2[-Pi, Pi]. Mercoledi 26 Maggio Sistema ortonormale esponenziale per L2[-Pi, Pi]. Formule di passaggio dal sistema esponenziale al trigonometrico e viceversa. Serie di Fourier: definizioni. Serie in forma trigonometrica e in forma esponenziale. Interpretazione dello sviluppo in serie come problema ai minimi quadrati in L2. I polinomi come spazio di hilbert. Esercizi su basi ortonormali e migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati in spazi di polinomi. Venerdi 28 Maggio Proprietà delle successioni approssimanti e decrescenza della norma dell'errore commesso all'aumentare del numero di termini dello sviluppo. Ortogonalità fra funzione approssimante e errore di approssimazione. Convergenza delle serie di Fourier nel senso di L2[-Pi, Pi]. Esercizi su approssimazioni nel senso dei minimi quadrati. Martedi 1 Giugno Convergenza puntuale ed uniforme delle serie di Fourier. Proprietà di derivazione e di integrazione delle serie di Fourier. Serie di soli seni e di soli coseni. Serie di Fourier in intervalli diversi da [-Pi, Pi]. Venerdi 4 Giugno Esercizi su sviluppi in serie di Fourier; relazioni tra simmetrie e coefficienti di Fourier. Convergenza puntuale di alcune serie. Martedi 8 Giugno Trasformate di Fourier Trasformate di Fourier come caso limite delle serie di Fourier. Definizione, operatore di Trasformazione. Limitatezza delle trasformate di Fourier delle funzioni intergrabili. Proprietà di riscalamento; conseguenze delle simmetrie della funzione sulla sua trasformata di Fourier. Parte pari e parte dispari di una funzione. Esempi di calcolo di trasformate di funzioni semplici. Funzioni caratteristiche e funzione di Heaviside. Mercoledi 9 Giugno Proprietà di ritardo e di prodotto per un'esponenziale. Inversione della trasformata di Fourier. Formula di dualità. Applicazioni al calcolo di alcune trasformate. Venerdi 11 Giugno Derivata della trasformata e trasformata della derivata. Convoluzioni. Alcuni esercizi svolti. Martedi 15 Giugno Trasformate di Laplace Definizione, semipiano e ascissa di convergenza. Calcolo delle trasformate per alcune funzioni elementari. Esercizi su serie e trasformate di Fourier proposti dagli studenti. Mercoledi 16 Giugno Proprietà di riscalamento, traslazione e prodotto per una esponenziale per le trasformate di Laplace. Alcuni esercizi svolti. Venerdi 18 Giugno Trasformata della convoluzione, trasformata della derivata e derivata della trasformata. Tasformata della primitiva e primitiva della trasformata. Inversione della trasformata di Fourier nel caso delle funzioni razionali fratte. Alcuni esempi svolti. Martedi 22 Giugno - esercitazione Applicazioni delle trasformate di Laplace alla soluzione di equazioni differenziali ed integrali. Esercizi.

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