Metodi Matematici 2002-2003 - Registro delle lezioni

Martedi 6 Maggio Analisi Complessa Aritmetica complessa: prime definizioni, operazioni di somma e prodotto di numeri complessi, coniugato e modulo di un numero complesso. Quoziente di numeri complessi. Rappresentazione polare, argomento di un numero complesso; potenze e radici di un numero complesso. Vari esempi svolti. Mercoledi 7 Maggio Estensione al campo complesso delle principali funzioni trascendenti reali. Definizione di esponenziale complessa, funzioni trigonometriche e iperboliche complesse, loro proprietà e relazioni reciproche: formule di Eulero. Logaritmo di un numero complesso. Notazione esponenziale per i numeri complessi. Esercizi svolti in aula su equazioni algebriche in C, funzioni trascendenti, legami tra funzioni trigonometriche e iperboliche e le loro omologhe reali. Venerdi 9 Maggio Esercitazioni su calcolo di radici ed esponenziali complesse, equazioni algebriche in C. Martedi 13 Maggio Funzioni olomorfe Funzioni f : C --> C, limiti e continuità in C. Derivabilità in senso complesso: funzioni olomorfe. Confronto con il caso reale. Condizioni di Cauchy-Riemann. Esempi di funzioni non derivabili in senso complesso. Funzioni armoniche coniugate, ortogonalità delle linee di livello di parte reale e parte immaginaria di una funzione olomorfa. Esercizi su calcolo di radici ed esponenziali complesse, equazioni algebriche in C, funzioni olomorfe. Mercoledi 14 Maggio Estremo superiore ed estremo inferiore. Massimo e minimo limite. Definzioni e qualche esempio. Serie di potenze in C. Convergenza puntuale, assoluta, uniforme, totale per le serie di potenze. Lemma di Abel. Raggio di convergenza di una serie di potenze. Caratterizzazione del raggio di convergenza di una serie per le serie di potenze reali. Venerdi 16 Maggio Serie di potenze nel campo complesso Formula di Hadamard per il raggio di convergenza delle serie di potenze complesse. Criterio del rapporto per il calcolo del raggio di convergenza. Continuità e derivabilità della somma delle serie di potenze. Derivabilità per serie. Martedi 20 Maggio Funzioni analitiche complesse. Teoremi sulla posizione degli zeri delle funzioni analitiche complesse. Principio di identità delle funzioni analitiche e relativi corollari. Funzioni olomorfe e funzioni analitiche. Relazioni tra serie di Taylor e funzioni analitiche. Formula per i coefficienti della serie mediante le derivate di f. Esercizi su funzioni olomorfe e convergenza e somma di serie di potenze. Mercoledi 21 Maggio Serie di Fourier Spazi di Hilbert Norma, prodotto scalare, prodotto Hermitiano, spazi unitari. Disuguaglianze di Schwarz e triangolare. Successioni di Cauchy, completezza, Spazi di Hilbert. Esempi di norme e di spazi unitari. Le funzioni continue in [0,1]. Metodo dei minimi quadrati in Rn. Ortogonale di un sottospazio vettoriale. Spazio L2. Disuguaglianze di Hölder e di Minkowski. Venerdi 23 Maggio Esercitazione in preparazione della prima prova intercorso. Esercizi su aritmetica ed equazioni complesse, funzioni olomorfe, serie di potenze. Martedi 27 Maggio Esercizi su ortogonalità e migliore approssimazione in spazi di polinomi. Basi ortonormali per i polinomi e per le funzioni trigonometriche. Mercoledi 28 Maggio Lo spazio L2[-pi, pi]. Sistemi ortonormali per L2[-pi, pi]: sistema trigonometrico, sistema esponenziale e formule di passaggio dall'uno all'altro. Venerdi 30 Maggio Correzione di qualche esercizio della prima prova intercorso. Serie di Fourier in L2[-pi, pi]. Somme parziali delle serie di Fourier come problema di migliore approssimazione. Proprietà delle somme parziali N-esime al variare di N. Martedi 3 Giugno Teorema di Parseval. Convergenza delle serie di Fourier nel senso di L2[-pi, pi]. Disuguaglianza di Bessel. Teoremi di convergenza puntuale ed uniforme delle serie di Fourier. Calcolo dei coefficienti di Fourier per alcune funzioni elementari. Mercoledi 4 Giugno Estensione periodica a tutto R di funzioni L2[-pi, pi]. Rilettura dei teoremi di convergenza puntuale ed uniforme nel caso di funzioni periodiche e definite su tutto R. Ulteriori proprietà delle serie di Fourier. Linearità, significato dei coefficienti a0 e c0; integrabilità termine a termine delle serie di Fourier. Coefficienti di fourier della primitiva e della derivata di f in funzione dei coefficienti di f. Venerdi 6 Giugno Serie di Fourier su intervalli diversi da [-pi, pi]. Esercizi sulle serie di Fourier. Serie di Fourier di funzioni pari e dispari. Estensioni periodiche pari e dispari. Sviluppi elementari. Serie di Fourier di funzioni traslate. Martedi 10 Giugno Trasformate di Fourier. Trasformata di Fourier come caso limite della serie di Fourier. Proprietà dell'operatore di trasformazione. Alcuni esempi. Proprietà di riscalamento delle trasformate di Fourier. Relazioni tra simmetrie delle funzioni e simmetrie delle trasformate. Mercoledi 11 Giugno Teorema di inversione delle trasformate di Fourier. Formula di dualità. Proprietà di traslazione e smorzamento. Trasformata della derivata e derivata della trasformata. Prodotto di convoluzione e sua trasformata di Fourier. Trasformata di Fourier della gaussiana. Vari esempi di applicazione delle proprietà delle trasformate. Venerdi 13 Giugno "delta" di Dirac come limite di nuclei di massa unitaria. Trasformata di Laplace della "delta". Cenni sulle distribuzioni. Esercizi su trasformate di Fourier e di Laplace. Martedi 17 Giugno Trasformate di Laplace Definizioni. Funzioni trasformabili e ascissa di convergenza. Trasformata di Laplace della funzione di Heaviside e della "delta" di Dirac. Trasformate di Laplace delle funzioni sin(ax), cos(ax), sinh(ax) e cosh(ax). Trasformata di Laplace di tn. Linearità dell'operatore di trasformazione. Proprietà di riscalamento, smorzamento e ritardo delle trasformate di Laplace. Derivata della trasformata di Laplace. Trasformate di funzioni periodiche. Alcuni esempi. Trasformata di Laplace della derivata. Cenni sulla formula di inversione. Mercoledi 18 Giugno Applicazioni delle trasformate di Fourier alla soluzione di problemi di Cauchy ed equazioni integrali. Inversione della trasformata per riduzione in fratti semplici. Esercizi su trasformate di Laplace e sulle loro applicazioni Venerdi 20 Giugno Esercizi in preparazione della seconda prova intercorso su serie di Fourier, trasformate di Fourier e trasformate di Laplace.

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