Metodi Matematici 2001-2002 - Registro delle lezioni

Martedi 30 Aprile Analisi Complessa Aritmetica complessa: introduzione storica ai numeri complessi, equazioni di terzo grado. Prime definizioni, operazioni di somma e prodotto di numeri complessi, coniugato e modulo di un numero complesso. Quoziente di numeri complessi. Rappresentazione polare, potenze e radici di un numero complesso. Esponenziale complessa e logaritmi. Formule di Eulero.

Venerdi 3 Maggio Esercitazioni: calcolo di logaritmi, radici ed esponenziali complessi. Equazioni algebriche nel campo complesso. Esercizi svolti a lezione e proposti (PDF) Soluzioni degli esercizi proposti (PDF)

Martedi 7 Maggio Analisi complessa: Funzioni di una variabile complessa. Continuità e derivabilità in senso complesso. Condizioni di Cauchy-Riemann. Armonicità di parte reale e parte immaginaria di una funzione olomorfa. Integrazione nel campo complesso. Definizioni e proprietà dell'integrale esteso ad una curva regolare a tratti. Primitiva di una funzione di una variabile complessa. Condizioni equivalenti all'esistenza di una primitiva. Orientamento dei circuiti. Teorema di Cauchy e sue conseguenze. Formula integrale di Cauchy.

Mercoledi 8 Maggio Teorema di Morera, Formula di Cauchy per le derivate. Punti singolari: poli e singolarità eliminabili. Determinazione dell'ordine di un polo. Residuo di una funzione in un punto. Formula per il calcolo del residuo in un polo di ordine n. Teorema dei residui. Lemmi del grande e del piccolo cerchio. Esercitazioni: determinazione di una funzione olomorfa conoscendone solo la parte reale o solo la parte immaginaria. Calcolo di residui. Bibliografia:Per la parte di aritmetica complessa: Bramanti,Pagani,Salsa Matematica. Per la parte di analisi complessa: Barozzi, Matematica per l'ingegneria dell'informazione, Gianni Gilardi - Analisi tre.

Venerdi 10 Maggio Esercitazioni:Tecniche di applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali reali. Qualche esercizio svolto. Esercizi svolti a lezione e proposti (PDF) Soluzioni degli esercizi proposti (PDF)

Martedi 14 Maggio Equazioni differenziali ordinarie Richiami sulle nozioni generali di equazione differenziale, soluzione generale di una equazione differenziale, soluzione particolare, problema di Cauchy e sua soluzione. Equazioni differenziali a variabili separabili. Esistenza e determinazione della soluzione. Alcuni esempi svolti. Equazioni lineari del primo ordine. Considerazioni generali e relazione tra soluzioni dell'equazione completa e soluzioni dell'equazione omogenea. Soluzione dell'equazione omogenea. Metodo della variazione della costante per la determinazione di una soluzione particolare. Soluzione dell'equazione completa. Alcuni esempi svolti. Equazioni lineari a coefficienti costanti. Equazioni omogenee. Prime proprieta' delle soluzioni. L'insieme di tutte le soluzioni è uno spazio vettoriale.

Mercoledi 15 Maggio Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti. Equazione caratteristica. Dimensione dello spazio vettoriale delle soluzioni e determinazione di una base di questo. Esempi di determinazione di soluzioni generali e di problemi di Cauchy per equazioni omogenee. Equazioni lineari non omogenee a coefficienti costanti. Le soluzioni formano una varietà affine di dimensione pari all'ordine dell'equazione. Determinazione di una soluzione particolare con il metodo della variazione della costante. Forma della soluzione particolare nel caso in cui il termine noto non è soluzione dell'equazione omogenea ed è della forma 1) esponenziale; 2) trigonometrica; 3) polinomiale; 4) polinomio per esponenziale; 5) polinomio per trigonometrica; 6) esponenziale per trigonometrica. Esempi ed esercizi svolti.

Venerdi 17 Maggio Equazioni non omogenee a coefficienti costanti: determinazione di una soluzione particolare nel caso in cui il termine noto sia soluzione dell'equazione omogenea. Equazioni del tipo y'=F(x,y) con F omogenea: sostituzione y=tx o x=ty per ricondurle a situazioni giá affrontate. Un esempio svolto. Esercitazioni:esercizi svolti su equazioni a coefficienti costanti, lineari del primo ordine a coefficienti non costanti, variabili separabili. Bibliografia: Bramanti, Pagani, Salsa - Matematica - Zanichelli. Salsa, Squellati vol. 2 - Zanichelli. Marcellini, Sbordone - Esercitazioni di matematica - vol. 2 parte prima. Esercizi svolti a lezione e proposti (PDF) Soluzioni degli esercizi proposti (PDF)

Martedi 21 Maggio Applicazione delle equazioni a coefficienti costanti allo studio dei circuiti RCL. Fenomeno della risonanza. Circuito RCL come sintonizzatore. Serie di Fourier in L2 Generalitá sugli spazi di Hilbert. Disuguaglianze di Schwartz e triangolare. Lo spazio L2. Disuguaglianze di Hölder e di Minkowski. Basi ortonormali per L2(-pi, pi): base trigonometrica e base esponenziale.

Mercoledi 22 Maggio Combinazioni lineari finite di funzioni ortonormali. Norma della somma. Combinazioni lineari infinite. Coefficienti di Fourier di una funzione integrabile. Serie di Fourier in L1. Significato dei coefficienti di Fourier per le funzioni L2. Esercitazioni: Esercizi svolti dagli studenti in preparazione alla prova intercorso. Problemi di Cauchy, integrali reali da calcolarsi con il metodo dei residui.

Giovedi 23 Maggio Teorema delle proiezioni ortogonali in uno spazio di Hilbert. Corrispondenza tra successioni a quadrato convergente e elementi di L2(-pi, pi). Teoremi di convergenza delle serie di Fourier: convergenza puntuale, convergenza uniforme, convergenza alla media dei limiti destro e sinistro.

Martedi 28 Maggio Derivazione ed integrazione per serie delle serie di Fourier. Coefficienti della serie di primitiva e derivata di una funzione f. Serie di Fourier di funzioni a simmetria pari o dispari. Esercitazioni: Determinazione di una base ortonormale per i polinomi di grado <3 in (-1,1). Calcolo dei coefficienti di Fourier per qualche funzione elementare. Esercizi svolti a lezione e proposti (PDF) Soluzioni degli esercizi proposti (PDF)

Mercoledi 29 Maggio Applicazioni delle serie di Fourier alla risoluzione di equazioni alle derivate parziali (cenni). Determinazione della soluzione classica per l'equazione della corda vibrante di lunghezza finita e con estremi bloccati. Determinazione della soluzione classica per l'equazione del calore per una sbarretta unidimensionale di lunghezza finita con estremi mantenuti a temperatura costante. Bibliografia:Barozzi - Matematica per l'ingegneria dell'informazione - Zanichelli. Bramanti,Pagani,Salsa - Matematica - Zanichelli. Esercitazioni:Basi ortonormali utilizzate per risolvere problemi di migliore approssimazione nel senso dei minimi quadrati. Esempi con serie di Fourier e basi di polinomi ortogonali.

Venerdi 31 Maggio Esercitazioni:Esercizi svolti in aula sul calcolo di serie di Fourier conoscendo i coefficienti di primitiva o derivata della funzione da sviluppare.

Martedi 4 Giugno Trasformate di Fourier Trasformata di Fourier come limite delle serie di Fourier. Prime proprietà della trasformata di Fourier: linearità e dilatazione della variabile indipendente. Operatore di trasformazione. Un paio di esempi di calcolo di trasformate mediante la definizione. Regolarità e decadenza all'infinito della trasformata di Fourier. Parte pari e parte dispari di una funzione e loro trasformate di Fourier. Teorema di inversione delle trasformate di Fourier. Lemma di Riemann-Lebesgue.

Mercoledi 5 Giugno Formula di dualità tra trasformata di Fourier e formula di inversione. Ulteriori proprietà dell'operatore di trasformazione: traslazione della variabile e derivazione. Relazioni tra regolarità ed andamento all'infinito di funzioni e loro trasformate. Convoluzione in L1. Trasformata di Fourier della convoluzione di due funzioni L1. Esempi di applicazione delle varie proprietà.

Martedi 11 Giugno La funzione "delta" di Dirac e sua trasformata di Fourier. Brevi cenni sulle distribuzioni. Derivata nel senso delle distribuzioni di una funzione caratteristrica e sua trasformata di Fourier. Esercitazioni: Esercizi svolti in aula su calcolo di trasformate di Fourier, antitrasformate, proprietà delle trasformate di Fourier. Svolgimento esercizi proposti dagli studenti. Bibliografia: Barozzi - Matematica per l'ingegneria dell'informazione - Zanichelli.

Mercoledi 12 Giugno Trasformate di Laplace Definizione. Ordine esponenziale di una funzione. Ascissa di convergenza. Prime proprietà della trasformata di Laplace. Vari esempi. Trasformata di Laplace della funzione delta di Dirac. Esercitazioni: Svolgimento di esercizi assegnati o proposti dagli studenti.

Venerdi 14 Giugno Ulteriori proprietà delle trasformate di Laplace. Qualche esempio. Formula di inversione per le trasformate. Esercitazioni: Risultati della seconda prova intercorso. Bibliografia: Barozzi - Matematica per l'ingegneria dell'informazione - Zanichelli. Mauro Marini - Metodi matematici per lo studio delle reti elettriche - CEDAM

Torna alla pagina principale