Matematica II - Chimica

Registro delle lezioni anno accademico 2014-2015

Mercoledi 4 marzo (2 ore)

Presentazione del corso e informazioni generali.
Equazioni differenziali ordinarie
Modello di Malthus. Definizione di equazione differenziale, soluzione, integrale generale. Equazioni in forma normale.
Equazioni differenziali del primo ordine. Problema di Cauchy, soluzione del problema di Cauchy. Intervallo di definizione delle soluzioni.
Esempi ed esercizi

Venerdi 6 marzo (2 ore)

Equazioni a variabili separabili: metodo risolutivo ed esempi.
Equazione logistica. Teorema di esistenza e unicità della soluzione per il problema di Cauchy.
Equazioni lineari del primo ordine. Soluzione dell'equazione omogenea. Struttura di spazio vettoriale delle soluzioni dell'equazione omogenea; relazione tra soluzioni dell'equazione non omogenea e soluzioni dell'equazione omogenea. Ricerca di una soluzione dell'equazione non omogenea: metodo della variazione delle costanti.

Mercoledi 11 marzo (2 ore)

Teorema di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy per equazioni lineari del primo ordine.
Esempi di non esistenza e di non unicità delle soluzioni.
Esempi ed esercizi
Equazioni lineari del secondo ordine. Dimensione e base dello spazio vettoriale delle soluzioni. Equazioni non omogenee.

Venerdi 13 marzo (2 ore)

Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti del secondo ordine.
Base dello spazio delle soluzioni nel caso in cui l'equazione algebrica associata abbia soluzioni reali distinte o coincidenti o radici complesse coniugate.
Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti di ordine superiore al secondo.
Esempi ed esercizi

Mercoledi 18 marzo (2 ore)

Equazioni lineari a coefficienti costanti non omogenee. Principio di sovrapposizione degli effetti. Metodi per l'individuazione di una soluzione particolare: variazione delle costanti e metodo di somiglianza.
Metodo di somiglianza nel caso che il termine noto non sia soluzione dell'equazione omogenea
Metodo di somiglianza nel caso in cui il termine noto sia soluzione dell'equazione omogenea
Esempi ed esercizi

Venerdi 20 marzo (2 ore)

Serie numeriche
Somma di una serie, serie convergenti, divergenti, irregolari. Serie geometrica, serie armonica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi: criteri del confronto e del confronto asintotico. Serie di Mengoli.
Esempi vari

Mercoledi 25 marzo (2 ore)

Criterio del rapporto e criterio della radice. Convergenza semplice e convergenza assoluta. Serie a segni alterni; criterio di Leibniz.
Esempi ed esercizi

Venerdi 27 marzo (2 ore)

Serie di Taylor. Formula di Taylor e confronto asintotico. Criterio di confronto integrale.
Esempi ed esercizi

Mercoledi 1 aprile (2 ore)

Curve in Rn
Limiti e continuità di funzioni da R in Rn. Grafico e immagine di una funzione da R in Rn. Sostegno di una curva, parametrizzazione di una curva.
Curve continue, chiuse, semplici. Esempi di parametrizzazioni di curve note.
Derivata di una funzione da R in Rn. Significato fisico e geometrico della derivata di una funzione vettoriale. Curve regolari. Vettore e versore tangente.
Esempi ed esercizi

Venerdi 10 aprile (2 ore)

Curve regolari e regolari a tratti. Unione di curve. Regole del calcolo differenziale vettoriale. Integrali di funzioni vettoriali. Teorema fondamentale del calcolo integrale vettoriale. Curve piane in forma polare. Vettore tangente in forma polare. Esercizi ed esempi.

Mercoledi 15 aprile (2 ore)

Lunghezza di una curva. Approssimazione mediante poligonali. Esercizi ed esempi. Cambiamenti di parametro. Curve equivalenti. Invarianza della lunghezza di una curva rispetto a cambiamenti di parametro o di orientamento.

Venerdi 17 aprile (2 ore)

Ascissa curvilinea; significato cinematico. Integrali di linea di prima specie. Invarianza dell'integrale di linea di prima specie rispetto a cambiamenti di parametro o di orientamento.
Applicazioni: baricentro e momenti d'inerzia di una curva pesante rispetto ad un asse. Esempi ed esercizi.

Mercoledi 22 aprile (2 ore)

Elementi di geometria differenziale per le curve. Velocità e accelerazione scalari ed istantanee in termini di ascissa curvilinea. Normale principale ad una curva. curvatura e raggio di curvatura.
Normale e curvatura espressi mediante un parametro qualsiasi. Esempi ed esercizi.

CON QUESTA LEZIONE TERMINANO GLI ARGOMENTI OGGETTO DELLA PRIMA PROVA PARZIALE

Venerdi 24 aprile (2 ore)

Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili
Limiti e continuità per funzioni di più variabili. Restrizione di una funzione ad una curva. Tecniche per il calcolo di limiti. Esercizi ed esempi.
Topologia di Rn: punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi chiusi, insiemi aperti.

Mercoledi 29 aprile (2 ore)

Unioni e intersezioni infinite di aperti e chiusi. Caratterizzazione degli insiemi Chiusi. Interno, chiusura e frontiera di un insieme. Compatti. Connessi per archi. Insiemi di livello di funzioni continue.

Mercoledi 6 maggio (2 ore)

Proprietà topologiche delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri. Derivate direzionali e derivate parziali. Gradiente. Esempi di funzioni derivabili ma non continue. Esempi e controesempi vari.

Mercoledi 13 maggio (2 ore)

Vettori tangenti al grafico di una funzione. Piano tangente. La derivabilità non garantisce l'esistenza del piano tangente. Esempi. Differenziale di una funzione. Differenziabilità implica derivabilità e continuità. Approssimazione lineare. Condizioni sufficienti per la differenziabilità. Esempi e controesempi vari.

Venerdi 15 maggio (2 ore)

Teorema del gradiente. Direzioni di massima e minima crescita. Ortogonalità tra gradiente e linee di livello. Operazioni tra derivate. Teoremi di derivazione delle funzioni composte. Teorema del valor medio.

Mercoledi 20 maggio (2 ore)

Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Shwarz. Funzioni di classe C2.
. Differenziale secondo, matrice Hessiana, formula di Taylor al secondo ordine per funzioni di più variabili. Punti stazionari.

Venerdi 22 maggio (2 ore)

Ottimizzazione non vincolata Questioni di Esistenza e unicità. Teorema di Fermat. Condizione necessaria per l'esistenza. Punti critici.
Forme quadratiche definite positive (negative), semidefinite positive (negative), indefinite. Richiami di algebra lineare. Relazioni tra autovalori e forme definite o semidefinite.

Mercoledi 27 maggio (2 ore)

Studio dei punti critici mediante la matrice Hessiana. Condizioni necessarie o sufficienti per l'esistenza di massimi e minimi. Esempi.

Venerdi 29 maggio (2 ore)

Funzioni definite implicitamente. Considerazioni sulla possibilità di esplicitare una funzione definita implicitamente.
Teorema del Dini nel caso bidimensionale. Traccia della dimostrazione. Applicazioni ed esempi. Teorema del Dini in più dimensioni.

Giovedi 4 giugno (2 ore)

Problemi di max e minimo vincolato. Metodo di restrizione della funzione al vincolo.
Utilizzo delle linee di livello per lo studio di massimi e minimi vincolati.
Calcolo differenziale per funzioni da Rn in Rm. Limiti, continuità, differenziabilità. Matrice Jacobiana. Formula di Taylor al primo ordine. Teorema di derivazione delle funzioni composte.
Superfici parametrizzate
Linee coordinate, vettore normale ad una superficie, superfici regolari.

Venerdi 5 giugno (2 ore)

Calcolo integrale per funzioni di più variabili Integrali doppi. Integrabilità su domini rettangolari. Riduzione degli integrali doppi ad integrali iterati.
Generalizzazione a domini non rettangolari. Domini x-semplici o y-semplici, domini regolari. Misurabilità secondo Peano-Jordan.
Proprietà elementari degli integrali doppi: linearità, monotonia rispetto all'integranda e rispetto al dominio di integrazione, additività finita rispetto al dominio.
Proprietà di annullamento e teorema della media integrale.
Calcolo degli integrali doppi per riduzione ad integrali iterati. Esercizi ed esempi.

Mercoledi 10 giugno (2 ore)

Cambio di variabile per gli integrali doppi. Esempi. Coordinate polari. Integrali doppi generalizzati.
Integrali tripli
Riduzione mediante integrazione per fili o mediante integrazione per strati.
Cambio di variabile per gli integrali tripli.

Giovedi 11 giugno (2 ore)

Coordinate sferiche, coordinate cilindriche. Volume, massa totale, baricenti di figure tridimensionali.
Campi vettoriali (cenni)
Campi vettoriali e campi scalari. Campi stazionari. Linee di campo.
Operatori vettoriali e loro espressione mediante Nabla: gradiente, laplaciano, rotore, divergenza. Campi irrotazionali.
rot(grad u) = div(rot F) = 0, div(grad u) = laplaciano di u.
Integrale di linea di seconda specie. Lavoro. Confronto tra integrali di prima e di seconda specie.
Campi conservativi e potenziale di un campo vettoriale. Il lavoro compiuto da un campo conservativo dipende solo dagli estremi del cammino.
Condizioni equivalenti alla conservatività di un campo.

Venerdi 12 giugno (2 ore)

Esercizi su integrali doppi, tripli, integrali di linea di seconda specie.

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