Martedi 13 settembre (2 ore)Introduzione al corso. Esito del test OFA e statistiche varie. Svolgimento e commenti sulle 30 domande di matematica.Venerdi 16 settembre (2 ore)Logica ed insiemistica: Insiemi, elementi, appartenenza. Notazioni e simbologie. Uguaglianza tra insiemi, inclusione, insieme vuoto, insieme delle parti. Operazioni tra insiemi: intersezione, unione, differenza, differenza simmetrica, complementare, prodotto cartesiano. Proprietà delle operazioni tra insiemi; leggi di De Morgan. Possibilità di esprimere qualunque operazione tra insiemi in termini di sole unione e complementare o sole intersezione e complementare, cenni di logica matematica.Sommatorie: simbologia e proprietà delle sommatorie. Lunedi 19 settembre (3 ore)Somma della progressione geometrica. Principio di induzione. Esempi.Richiami di combinatoria: fattoriale, coefficienti binomiali, permutazioni, combinazioni, disposizioni. Struttura dei numeri reali: operazioni e loro proprietà. Insufficienza dei razionali e necessità di ampliare gli insiemi numerici. Irrazionalità di radice di 2. Assioma di continuità. Insiemi limitati superiormente ed inferiormente. Massimo, minimo di un insieme, estremo superiore ed estremo inferiore. Proprietà di Archimede, densità dei razionali nei reali. Possibilità di approssimazione dei reali mediante razionali. Rappresentazione in virgola mobile normalizzata; errori di rappresentazione, di troncamento e cancellazione numerica. Radici n-esime di un numero reale. Potenze con esponente reale, logaritmi. Martedi 20 settembre (2 ore)Aritmetica complessa: Definizioni, operazioni di somma e prodotto di numeri complessi, coniugato e modulo di un numero complesso e relative proprietà. Quoziente di numeri complessi. Rappresentazione polare, argomento di un numero complesso; formule di passaggio da notazione cartesiana a polare e viceversa. Prodotto e quoziente di numeri complessi espressi in forma trigonometrica.Venerdi 23 settembre (2 ore)Potenze e radici n-esime di un numero complesso. Definizione di esponenziale complessa e sue proprietà Differenze con il caso reale. Logaritmo di un numero complesso. Notazione esponenziale per i numeri complessi.Lunedi 26 settembre (3 ore)Estensione al campo complesso delle principali funzioni trascendenti reali. Funzioni trigonometriche complesse. Legami tra esponenziale complessa e funzioni trigonometriche e loro relazioni reciproche: formule di Eulero. Legami tra funzioni trigonometriche e iperboliche e loro analoghe reali.Esercizi su numeri complessi ed equazioni
algebriche in C.
Topologia della retta: intorni, insiemi aperti e chiusi. Unione
e intersezione di aperti e chiusi. Punti di accumulazione, punti
isolati, punti di frontiera. Esempi.
Martedi 27 settembre (2 ore)Teorema di Bolzano-Weierstrass. Funzioni: dominio, codominio, immagine di una funzione. Grafico. Funzioni limitate, monotone, periodiche. Funzioni con simmetrie. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di funzioni. Funzioni inverse. Condizioni equivalenti all'invertibilità. Invertibilià delle funzioni monotone.Venerdi 30 settembre (2 ore)Successioni: successioni limitate, limitate superiormente, limitate inferiormente. Concetto di "definitivamente". Successioni convergenti, limite di una successione, significato grafico del limite. Successioni divergenti, successioni irregolari. Teorema di unicita' del limite. Infinitesimi ed infiniti. Limiti per eccesso e per difetto. Le successioni monotone ammettono limite. Il limite, se esiste, è l'unico punto di accumulazione per la successione. Algebra dei limiti: limite di somma, differenza, prodotto, quoziente.Lunedi 3 ottobre (3 ore)Teoremi di permanenza del segno. Teorema del confronto. Infinitesima ⋅ limitata = infinitesima. Algebra dei limiti nel caso di successioni divergenti. Forme indeterminate: ∞ - ∞, 0 ⋅ ∞, 0/0, ∞/∞, 1∞, 00, &infin0. Confronti tra infiniti e infinitesimi, stime asintotiche. Successioni asintoticamente equivalenti. Confronto tra gli ordini di infinito di loga n, nb, an, n!, nn. Criterio del rapporto per il limite di una successione.Martedi 4 ottobre (2 ore)Il numero e come limite della successione (1+1/n)n. Esempi e controesempi di equivalenza asintotica di successioni. Limite di (a)1/n, di (na)1/n, (n!)1/n.
Esercizi di riepilogo su limiti di
successioni.
Limiti di funzioni: definizioni e prime proprietà
Venerdi 7 ottobre (2 ore)Teoremi di unicità del limite, permanenza del segno, confronto dedotti dagli analoghi per le successioni. Limiti per difetto e per eccesso. Limiti destro e sinistro. Il limite esiste se e solo se i limiti destro e sinitro esistono e sono uguali. Esempi vari. Significato geometrico del limiteFunzioni continue: definizione e classificazione dei vari tipi di discontinuità. Algebra dei limiti per le funzioni. Algebra dei limiti infiniti, Algebra delle funzioni continue come conseguenza dei precedenti. Continuità delle più comuni funzioni elementari Lunedi 10 ottobre (3 ore)Ore cedute al corso di geometria. Lezione da recuperare.Martedi 11 ottobre (2 ore), Prof.ssa MatucciTeorema di cambio di variabile nei limiti, continuità della funzione composta. Continuità e calcolo dei limiti. Limiti di polinomi, limiti di funzioni razionali. Esempi. Limiti notevoli, prolungamento di una funzione per continuità Confronti e stime asintotiche.Venerdi 14 ottobre (2 ore)Proprietà globali delle funzioni continue. Teorema degli zeri con dimostrazione. Metodo di bisezione per la determinazione degli zeri di una funzione. Teorema di Weierstrass. Insiemi compatti. Teorema dei Valori Intermedi. Importanza dell'assioma di continuità dei reali per la dimostrazione delle proprietà globali delle funzioni continue. Esistenza dei limiti destro e sinitro per le funzioni monotone. Le funzioni monotone o sono continue o presentano discontinuità a salto.Lunedi 17 ottobre (3 ore)Teoremi sull'invertibilità delle funzioni continue. f:I->R continua e' invertibile (con inversa monotona) se e solo se è monotona. Continutà di loga x, arcsin x, arccos x, arctan x in quanto funzioni inverse di esponenziale e trigonometriche. Una funzione è continua e invertibile in un intervallo I se e solo se l'inversa è continua.Esercizi su calcolo di limiti di funzioni e
confronto e determinazione dell'ordine di infinitesimi
Calcolo differenziale: introduzione e motivazioni storiche:
problemi della determinazione della tangente ad una curva, calcolo
della velocità istantanea di un oggetto. Definizione di
rapporto incrementale, di derivata in un punto e di funzione derivata
prima. Derivate successive.Calcolo della derivata prima di alcune funzioni elementari. Martedi 18 ottobre (2 ore)Regole per il calcolo delle derivate: linearità della derivazione, derivata del prodotto, del reciproco, del quoziente di funzioni derivabili. Derivata della composizione di funzioni, derivata della funzione inversa. Derivata di alcune funzioni elementari.Esempi ed esercizi su derivabilità e
calcolo di derivate.
Venerdi 21 ottobre (2 ore)Stime asintotiche, sviluppi asintotici. Confronto asintotico con rette: asintoti orizzontali ed obliqui. Parabole osculatrici. Asintoti verticali. Punti di non derivabilità delle funzioni: punti angolosi, cuspidi, punti a tangente verticale. Massimi e minimi globali e locali. Punti di massimo e minimo locali e globali. Teorema di Fermat. Punti stazionari.Lunedi 24 ottobre (3 ore)Teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Funzioni crescenti, decrescenti e relazione con il segno della derivata prima. Applicazioni delle derivate per il calcolo di limiti: teorema di De L'Hôpital.Esempi di applicazione del teorema di De
L'Hôpital.
Martedi 25 ottobre (2 ore)Approssimazione locale di funzioni mediante polinomi. Altri tipi di approssimazioni: circonferenze osculatrici, raggio di curvatura. Concavità e convessità. Epigrafico. Funzioni convesse. Regolarità delle funzioni convesse. Relazioni tra derivate prima e seconda e convessità. Posizione di secanti e tangenti ad una funzione convessa. Stime. Punti di flesso e punti in cui si annulla la derivata seconda.Esempio di studio di funzione
Con questa lezione termina la parte di programma oggetto della prima prova intermedia. Venerdi 28 ottobre (2 ore)Differenziale di una funzione. Confronto tra infinitesimi. "o piccoli" e "O grandi". Differenziale della somma, del prodotto e del quoziente di funzioni. Limiti notevoli riletti in termini di "o piccoli" e "O grandi". Polinomio di MacLaurin come miglior approssimazione polinomiale locale di ordine n. Formula di MacLaurin all'ordine n. Polinomio di Taylor e formula di Taylor. Resto nella forma di Peano e nella forma di Lagrange Uso dei polinomi di Taylor per approssimare quantità numeriche. Errore di approssimazione.Lunedi 31 ottobre (3 ore)Didattica sospesaMartedi 1 novembre (2 ore)FestivitàVenerdi 4 novembre (2 ore)Calcolo del polinomio di Taylor di alcune delle funzioni più comuni. Concavità, convessità e polinomi di Taylor del primo ordine. Metodo di Newton per la determinazione degli zeri di una funzione. Utilizzo dei polinomi di Taylor e di MacLaurin per il calcolo di limiti.Esempi di calcolo di limiti utilizzando i
polinomi di Taylor.
Lunedi 7 novembre (3 ore)Calcolo integrale per funzioni di una variabile: calcolo di aree per equiscomposizione e per approssimazione. Calcolo dell'area del segmento di parabola mediante approssimazioni per difetto e per eccesso. Somma di Riemann per funzioni f : [a,b] -> R. Integrale superiore e integrale inferiore di una funzione. Funzioni integrabili secondo Riemann. Significato geometrico dell'integrale di funzioni positive. Esempio di funzione non integrabile. Parte positiva e parte negativa di una funzione. Estensione dell'integrabilità a funzioni di segno variabile. Aree con segno. Condizioni di integrabilità. I Proprietà dell'integrale: linearità additività, positivitàl, monotonia. Disuguaglianza tra integrale del valore assoluto di f e valore assoluto dell'integrale di f.Teorema della media integrale e suo significato geometrico. Valor medio di f e valore efficace di f. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Esempi di calcolo di limiti utilizzando i
polinomi di Taylor.
Martedi 8 novembre (2 ore)Venerdi 11 novembre (2 ore)Lunedi 14 novembre (3 ore) |