CORSO DI FISICA MATEMATICA					Prof. Marco Modugno
30 maggio 2005						Studente: Maria Fattorini

ESERCIZIO

Si consideri il campo di velocità, espresso in coordinate cilindriche,
 , 		con  a Є IR.
1.	descrivere qualitativamente il campo negli aspetti più importanti. 
2.	esprimere il campo di velocità anche in coordinate cartesiane. 
3.	calcolare, in coordinate cilindriche e cartesiane, i seguenti oggetti: 

4.	discutere e confrontare da un punto di vista geometrico e cinematica i precedenti oggetti. 

Il sistema di coordinate cilindrico  è ben definito nei seguenti intervalli:

La matrice della metrica nel sistema di coordinate cilindriche è:

1.	Descrizione qualitativa del campo di velocità

Il moto è assialsimmetrico rispetto all’asse z, perché non compare la dipendenza dalla seconda coordinata, φ. Nell’espressione del campo di velocità non compare, quindi il fluido non ruota attorno all’asse z.
 
Per valori positivi di a e z, il campo di velocità:
-	lungo ρ cresce con il quadrato di ρ;
-	lungo z, decresce;
-	al crescere di ρ, la componente lungo z decresce mentre la componente lungo ρ cresce col quadrato.

Per z=0, non si ha traslazione lungo z; la componente lungo ρ non dipende da z, ma è funzione solo di ρ, mentre la componente lungo z decresce linearmente in z (a ρ fissato).
 
 Le particelle sottoposte al campo di velocità dato si spostano verso il piano “equatoriale” (z=0) e si allontanano radialmente da z. Le particelle si avvicinano al piano “equatoriale” più velocemente tanto più ne sono distanti.
Il doppio cono individuato dall’uguaglianza dei moduli delle 2 componenti del campo di velocità () rappresenta la superficie limite entro la quale il modulo della componente che allontana la particella dall’asse z radialmente è minore del modulo della componente che fa avvicinare tale particella verso il piano “equatoriale”. Le particelle su tale superficie hanno le due componenti di uguale modulo perciò istantaneamente seguono una traiettoria inclinata di ±/4, a seconda del segno di z.

2.	Coordinate cartesiane
 
Il passaggio da coordinate cilindriche a coordinate cartesiane avviene secondo le relazioni:

da cui si ottengono i seguenti differenziali.

Si moltiplica la prima equazione del sistema precedente per sinφ, la seconda equazione per cosφ e si sommano le due equazioni così ottenute. 
          
Si esprimono i differenziali in coordinate cilindriche in funzione di quelli in coordinate cartesiane.

Inoltre da considerazioni geometriche sappiamo che:

e quindi:

Si ottiene con semplici sostituzioni, il campo di velocità espresso in coordinate cartesiane:

Il campo di velocità espresso in coordinate cartesiane ha una forma più complessa perché il moto delle particelle ha geometria cilindrica.

3.  Nabla controvariante
 
L’operatore nabla generalizza il concetto di derivata su una varietà differenziabile, tenendo conto che si ha la variazione del campo vettoriale da punto a punto, sia la variazione delle basi di tale campo (che risulta nulla in un sistema di coordinate cartesiano):

in forma compatta:		
dove:
i: indice che rappresenta il campo sul quale sto derivando;
j: indice che rappresenta la direzione lungo cui sto derivando;
k: indica la componente che sto considerando.

I simboli di Christoffel sono le derivate direzionali dei vettori della base dello spazio vettoriale e tengono quindi conto delle variazioni di tali vettori spostandomi sulla varietà differenziale:

In questo caso le componenti diverse da zero sono 3:
 ;	

In coordinate cartesiane il nabla diventa:

 

Nabla covariante
 
L’operatore nabla covariante viene calcolato attraverso l’abbassamento degli indici applicando il g-bemolle, che coincide con la matrice della metrica.

da cui:

La formula del nabla in forma covariante diventa:

applicando la quale si ottiene 

Lo stesso risultato sarebbe stato ottenuto applicando la matrice della metrica direttamente al nabla controvariante, ovvero, l’operatore nabla e l’abbassamento degli indici commutano:

In coordinate cartesiane la forma covariante coincide con la forma controvariante in quanto gb corrisponde alla matrice identità.

Derivata di Lie
 
Il campo di velocità si trasforma durante il moto tramite lo Jacobiano; anche il tensore della metrica subisce una trasformazione dipendente dal tempo e quindi da J.
Questo operatore rappresenta la derivata rispetto al tempo della metrica trasformata tramite lo Jacobiano del flusso generato dal campo di velocità ed è uguale alla derivata euleriana (ovvero rispetto al tempo iniziale) del tensore delle deformazioni finite G, che controlla come variano i prodotti scalari (i quali determinano la forma del continuo).

Il tensore delle deformazioni è definito come il prodotto scalare dei due vettori trasformati mediante la linearizzazione del moto ottenuta con lo Jacobiano:

La derivata totale del tensore delle deformazioni risulta uguale alla derivata di Lie della metrica; quindi la derivata di Lie misura la variazione del prodotto scalare dei vettori trasformati dal moto linearizzato con lo Jacobiano.

La derivata di Lie della metrica è in generale definita con la seguente formula:

la prima parte della formula è la derivata direzionale del tensore rispetto a v (azione di j), la seconda è la variazione del tensore indotta dalla variazione della base rispetto al moto.
 
I termini diagonali della matrice sono:

mentre i termini extra-diagonali sono:

La matrice diviene:

 In coordinate cartesiane:

 La matrice diviene:

Tensore delle deformazioni infinitesime
  
Lo Jacobiano può essere visto in uno e un solo modo come la composizione di una trasformazione di deformazione seguita da una trasformazione di rotazione:

eseguendo la derivata totale dello Jacobiano:

che sono rispettivamente il tensore delle rotazioni infinitesime e il tensore delle deformazioni infinitesime, dove:

Il tensore delle deformazioni infinitesime è la parte simmetrica dello Jacobiano, e corrisponde alla metà della derivata di Lie.
Il tensore delle deformazioni infinitesime è:

 

In coordinate cartesiane:

Tensore delle rotazioni infinitesime 

Il tensore delle rotazioni infinitesime è la parte antisimmetrica dello Jacobiano:

Chiaramente i termini sulla diagonale saranno nulli.

In coordinate cartesiane:

Divergenza di v 

La divergenza è definita come la derivata totale del determinante dello Jacobiano ed esprime la velocità di variazione del volume infinitesimo dovuta al moto, linearizzato al primo ordine, nel tempo.
La divergenza è uno scalare formato dalla somma delle derivate prime delle componenti del vettore rispetto agli assi coordinati.

Il determinante della matrice della metrica è:		

La divergenza si può calcolare attraverso altre due formule:

In coordinate cartesiane:

Rotore di v
 
Il rotore è un vettore che rappresenta, a meno di un fattore ½, la velocità angolare del fluido soggetto al campo di velocità dato:

 e quindi:	

In coordinate cartesiane:

Il rotore nullo significa che il flusso di materia è irrotazionale ovvero il moto non presenta alcuna componente rotazionale ma è solo di spostamento e deformazione. 

Prodotto scalare

Il prodotto scalare è una forma bilineare che associa due vettori ad un numero e definisce la metrica:

Il modulo (lunghezza) del vettore  è la radice quadrata della metrica:

 

In coordinate cartesiane:

Gradiente di v2

Il gradiente di una grandezza scalare indica la direzione lungo la quale è massima la variazione di detta grandezza, a parità di percorso.

Il vettore gradiente del campo di velocità dato ha due componenti, una lungo ρ e l’altra lungo z. Tale vettore rappresenta la direzione lungo la quale il prodotto scalare ha la massima pendenza.

In coordinate cartesiane:

Laplaciano

Il laplaciano si ottiene valutando prima la velocità di variazione del prodotto scalare, poi la variazione di volume indotta da tale campo di velocità. Il laplaciano è quindi la divergenza del gradiente del prodotto scalare; si valuta la variazione del volume indotta dalla massima velocità di variazione del prodotto scalare.

I termini della metrica misti sono stati omessi perché nulli.

In coordinate cartesiane:

Il laplaciano valuta la variazione di volume lungo la direzione di massima variazione del prodotto scalare.

Laplaciano della divergenza

Si valuta la variazione del volume indotta dal campo di velocità; dopo di che si calcola la direzione di massima pendenza della variazione del volume e se ne fa la divergenza.

In coordinate cartesiane: