Classe di Ingegneria dell'Informazione Corso di laurea in Ingegneria Informatica. Anno 2011-2012

Corso di Analisi Matematica, 12 CFU

• Corso in coaffidamento.
  • Parte prima - Periodo: 13 settembre 2011 - 20 dicembre 2011, tenuta dalla prof.ssa Roberta Fabbri
  • Parte seconda Periodo: 8 marzo 2012 - 8 giugno 2012, tenuta dal prof. Giuseppe Modica

Libri di testo

• M. Giaquinta, G. Modica, Note di Analisi Matematica: Funzioni di piu' variabili, Pitagora Editrice, Bologna, 2006.

• Una breve introduzione ai numeri complessi

Lezioni svolte - Parte Seconda

• 12-03-12 --- 2 ore -
  • Introduzione al corso. La matematica nelle scienze e le applicazioni. Cenni storici.
  • Successioni e loro limiti. Sottosuccessioni. Teorema di collegamento tra limiti di funzione e limiti di successione.
  • Vedi Cap. 1.

• 13-03-12 --- 2 ore -
  • Esercizi sui limiti di successione. Teorema di Cesaro. Limiti notevoli. Stime sul fattoriale. Formula di Stirling (s.d.)
  • Il processo di somma infinita o serie. La serie geometrica.
  • Vedi Cap. 1.

• 14-03-12 --- 1 ora -
  • Criterio del confronto. Serie a termini positivi. Condizione necessaria per la convergenza. Esempi. Criterio della radice.
  • Serie e integrali impropri. La serie armonica e la serie armonica generalizzata. Esempi.
  • Vedi Cap. 1, 2.

• 19-03-12 --- 2 ore -
  • Serie a termini di segno vario. Convergenza assoluta.
  • Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz (s.d. ma con discussione delle ipotesi)
  • Proprieta' associativa e commutativa per le serie numeriche.
  • Spazio metrico. Distanza euclidea in R^n.
  • Vedi Cap. 1, 2, 3.

• 20-03-12 --- 2 ore -
  • Esercitazione scritta in aula e relativa correzione alla lavagna.

• 21-03-12 --- 2 ore - Lezione tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Spazi metrici: definizione di metrica, esempi di spazi metrici.
  • Lo spazio della funzioni continue e limitate con la metrica del sup e con la metrica integrale.
  • Palle di uno spazio metrico e loro proprietà.
  • Punti aderenti. Insieme dei punti aderenti. Punti di frontiera.
  • Definizione di aperto in uno spazio metrico.

• 26-03-12 --- 2 ore -
  • Aperti in uno spazio metrico e loro proprieta'.
  • Insiemi chiusi e loro proprieta'.
  • Successioni di Cauchy. Convergenza delle successioni di Cauchy in R.
  • Vedi cap. 5.

• 27-03-12 --- 2 ore -
  • Teorema di Bolzano--Weiertrass.
  • Spazio metric completi. R^n con la metrica Euclidea e' uno spazio metrico completo.
  • Teorema di Bolzano-Weierstrass per successioni di R^n.
  • Funzioni continue e loro proprieta'. Esempi di funzioni continue e discontinue definite su sottoinsiemi di \gr^2.
  • La funzione distanza da un punto e' continua.
  • Vedi cap. 5.

• 28-03-12 --- 2 ore - Lezione tenuta dalla dott.ssa Lascialfari.
  • La funzione distanza da un insieme.
  • Linee di livello, proposizione 5.27 e corollario 5.28.
  • Funzioni continue e aperti, proposizione 5.29 e esercizio 5.32.
  • Connessione: spazi connessi, teorema 6.28 (s. d.).
  • Connessione per archi.
  • vedi cap. 5 e 6.

• 02-04-12 --- 2 ore -
  • Insiemi connessi per archi e funzioni continue. Applicazioni.
  • Compattezza per successioni. Teoremi di Weierstrass 6.13 e 6.14. Esercizi 6.15 e 6.16. Esempi. Applicazioni.
  • Un teorema di continuita' dell'inversa, teorema 6.17.
  • La distanza tra un chiuso e un compatto e' positiva.
  • vedi cap. 6.

• 03-04-12 --- 2 ore -
  • Il calcolo dei limiti di funzioni di piu' variabili. Esercizi vari. Uso delle stime e della proprieta' di restrizione.
  • Richiami di algebra lineare: mappe lineari, matrici e prodotto righe per colonne.
  • vedi cap. 6.

• 04-04-12 --- 2 ore - Lezione tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Domini di funzioni di due o tre variabili reali (aperti, chiusi, ne' aperti ne' chiusi, connessi e non....).
  • limiti di funizioni di due variabili.
  • linee di livello e insiemi di sopra/sottolivello con considerazioni topologiche.
  • vedi cap. 6.

• 16-04-12 --- 2 ore -
  • Curve continue, curve di classe C^1, curve semplici, curve chiuse.
  • Vettori velocita' e accelerazione. Moto rettilineo uniforme. Moto circolare uniforme. Curve equivalenti. Teorema (c.d.): due curve semplici con la stessa traiettoria sono equivalenti.
  • Lunghezza di una curva. Definizione. Curve equivalenti hanno la stessa lunghezza. Formula per il calcolo della lunghezza di curve di classe C^1.
  • vedi cap. 7

• 17-04-12 --- 2 ore -
  • Derivata direzionale, applicazione lineare tangente, matrice jacobiana e vettore gradiente per funzioni a valori scalari.
  • Spazio e piano tangente al grafico in un punto.
  • vedi cap 10.

• 18-04-12 --- 2 ore - Lezione tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Curve di lunghezza finita e non.
  • Esercitazioni su curve e lunghezze di curve.
  • vedi cap. 6

• 23-04-12 --- 2 ore -
  • Differenziale, applicazione lineare tangente e matrice jacobiana per funzioni di piu' variabili a valori vettoriali.
  • Spazio e piano tangente al grafico in un punto. Basi dello spazio tangente e del suo ortogonale.
  • vedi cap 9h, cap. 11.

• 24-04-12 --- 2 ore -
  • Regole di calcolo. Regola della catena.
  • Teorema del differenziale totale (s.d.).
  • Teorema del valor medio.
  • Funzioni C^1 e funzioni lipschitziane.
  • vedi cap. 11.d, 11.e, 12.a, 12.d.

• 02-05-12 --- 2 ore - Lezione tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Campi di forze e forme differenziali. Lavoro e sue proprieta'.
  • Forme esatte e campi conservativi. Teorema fondamentale del calcolo con dimostrazione del Teorema 23.9.
  • Forme chiuse e campi irrotazionali. Proposizione 24.2. La forma angolo.
  • vedi cap 23 e 24.

• 07-05-12 --- 2 ore -
  • Immagini diffeomorfe di un aperto. Spazio tangente.
  • Teorema di invertibilità locale (s.d.)
  • Superfici immerse.
  • Esercizi.
  • vedi cap. 14.

• 08-05-12 --- 2 ore
  • Sottovarieta'.
  • Funzioni implicite e linee di livello.
  • Teorema delle funzioni implicite e conseguenze.
  • Esercizi.
  • vedi cap 14 e cap 15.

• 09-05-12 --- 2 ore
  • Massimi e mimimi vincolati. Punti critici vincolati.
  • Il caso di una superficie immerssa.
  • Il caso di una superficie definita implicitamente: metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
  • Esercizi.
  • vedi cap. 16.d.

• 14-05-12 --- 2 ore -
  • La nozione di misura. Misura di Lebesgue n-dimensionale in R^n.
  • Numerabilita' dei razionali e non numerabilita' dei reali.
  • Calcolo della misura di alcuni sottoinsiemi del piano definiti iterativamente.
  • vedi cap 17 a, 17 b.

• 15-05-12 --- 2 ore -
  • L'integrale rispetto ad una misura. Funzioni semplici. Funzioni misurabili. Quantizzazione. Definizione di integrale. Proprieta' dell'integrale. Teorema di Beppo Levi. Insiemi di misura nulla.

• 16-05-12 --- 2 ore -
  • Formula di Cavalieri (c.d.). Teorema di Fubini (s.d.). Teorema di Fubini-Tonelli.
  • Calcolo di integrali multipli. Insiemi normali rispetto ad un asse coordinato.
  • vedi cap 18 a., 20 a., 20 b.

• 21-05-12 --- 2 ore -
  • Formula di cambiamento di variabili.
  • Esercizi sul calcolo degli integrali.
  • vedi cap 18 b.

• 25-05-12 --- 2 ore -
  • Il calcolo dell'area di una superficie. Esempio di Schwarz.
  • Definizione e proprieta' delle misure di Hausdorff (s.d.).
  • Formula dell'area.
  • Calcolo dell'area di grafici e superfici di rotazione.

• 26-05-12 --- 2 ore -
  • Le formule di Green. Integrazione per parti.
  • Il teorema della divergenza.
  • Esempi
  • Significato 'geometrico' della divergenza.
  • Equazioni dell'elettrostatica.

• 27-05-12 --- 2 ore -
  • La formula di Green nel piano. Formula di Stokes nel piano.
  • Applicazione al calcolo dell'area.
  • Formula di Stokes in R^3 (s.d.). Significato 'geometrico' del rotore.

• 03-06-12 --- 2 ore -
  • Esercizi su lavoro, campi conservativi e campi irrotazionali.
  • Esercizi sul calcolo dei limiti.

• 04-06-12 --- 2 ore -
  • Esercizi sul calcolo degli integrali.

Riepilogo

Lezioni tenute dal prof. Modica: 49h. Lezioni tenute dalla dott.ssa Lascialfari: 10h

Lezioni tenute: 59h