Classe di Ingegneria dell'Informazione Corso di laurea in Ingegneria Informatica. Anno 2010-2011

Metodi Matematici e Probabilistici (9 CFU)

• Periodo: 11 ottobre 2010 - 21 gennaio 2011
• Tenuto da: prof. Giuseppe Modica giuseppe.modica@unifi.it

Libri di testo e di consultazione

• M. Giaquinta, G. Modica, Note di Metodi Matematici per Ingegneria Informatica, Edizione 2007, Pitagora editrice, Bologna, 2007.

• Uno script ingenuo per visualizzare una trasformazione $f:C\to C$, grid2py

• G. Modica, L. Poggiolini, Note di Calcolo delle Probabilita', 2010, In corso di stesura.

Lezioni svolte

• 11-10-10 --- 2 ore -
  • Introduzione al corso. Un esempio di equazione alle differenze.
  • Richiami di algebra lineare. R^n. Sottospazi. Basi. Prodotto righe per colonne di matrici. Applicazioni lineari. Formula del rango. Rango della trasposta (c.d.)
  • Determinante - Formule di Laplace e Binet. Matrice dei cofattori e determinante dell'inversa. Determinante della trasposta.
  • Vedi Cap. 1, 2, 3.

• 12-10-10 --- 2 ore -
  • Spazi vettoriali astratti. Dimensione. Operatori lineari.
  • Spazi vettoriali in dimensione finita. Rango. Nucleo. Rappresenzatione in una data base.
  • Cambiamenti di base.
  • Vedi Cap. 1, 2, 3.

• 13-10-10 --- 1 ora -
  • Prodotti scalari e spazi euclidei. Prodotti scalari in coordinate. Matrice di Gram. Formule di Carnot e Pitagora. Diseguaglianza di Schwarz. Vettori ortonormali. Proiezione ortogonale su un sottospazio.

• 14-10-10 --- 2 ore - Teorema di Riesz. Operatore aggiunto. Teorema dell'alternativa. Inversa di Moore--Penrose. Metodo dei minimi quadrati. Retta di regressione lineare.

• 18-10-10 --- 2 ore -
  • Autovalori e autovettori. Autospazi. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti. Matrici simili. Polinomio caratteristico. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore.
  • Vedi Cap. 5.

• 19-10-10 --- 2 ore -
  • Matrici diagonalizzabili.
  • Matrici simili a matrici triangolari. Matrici simili a matrici a blocchi e autospazi invarianti. Autovettori generalizzati. Decomposizione a blocchi sui complessi (s.d.).
  • Matrici simili a matrici a blocchi e autospazi invarianti. Autovettori generalizzati e decomposizione a blocchi.
  • Decomposizione di Jordan.
  • Vedi Cap. 5.

• 20-10-10 --- 1 ora -
  • Il calcolo delle potenze di una matrice. Teorema di stabilit\`a.
  • Vedi Cap. 5 e Cap. 20.e
  • Operatori autoaggiunti. Proprieta' degli autovalori, degli autovettori e dei sottospazi invarianti.

• 21-10-10 --- 2 ore -
  • Teorema spettrale. Varie forme del teorema spettrale.
  • Caratterizzazione variazionale del massimo e del minimo autovalore.
  • Funzioni di operatori autoaggiunti. Potenze. Radice quadrata di un operatore autoaggiunto semidefinito positivo e sua caratterizzazione.
  • Vedi cap. 6, 7.

• 25-10-10 --- 2 ore -
  • Valori singolari per un operatore lineare. Formula di decomposizione polare. Decomposizione SVD. Applicazioni.
  • Il calcolo approssimato della inversa di Moore--Penrose:approssimazione di Tychonov.
  • Vedi cap. 7.

• 26-10-10 --- 2 ore -
  • Serie in spazi di Banach. Convergenza assoluta e convergenza.
  • Serie di potenze. Raggio di convergenza. Massimo e minimio limite. Esempi. Propriet\`a del raggio di convergenza. Esempi.

• 27-10-10 --- 1 ora
  • Raggio di convergenza positivo e crescita esponenziale dei coefficienti.
  • Propriet\`a del raggio di convergenza. Esempi.

• 28-10-10 --- 2 ore -
  • Coefficienti binomiali. Formaule di inversione. Permutazioni, Permutazioni senza punti fissi. Conteggio di sottoinsiemi. Parole. Funzioni. Funzioni iniettive. Funzioni crescenti.
  • Vedi Note distribuite. Cap. 2,3.

• 02-11-10 --- 2 ore - Non tenuta

• 03-11-10 --- 1 ora -
  • Serie di Taylor. Funzione generatrice. Esempi.
  • Funzioni olomorfe. Definizione. Prime proprieta'.
  • Differenziabilita' reale e equazioni di Cauchy--Riemann.
  • Varie forme delle equazioni di Cauchy--Riemann.
  • Integrale di linea di una funzione continua a valori complessi.

• 04-11-10 --- 2 ore -
  • Funzioni surgettive.
  • Eserizi in probabilit\`a elementare: probabilita' nel lotto, nel poker
  • vedi Note distribuite cap. 4.

• 08-11-10 --- 2 ore -
  • Il teorema fondamentale del calcolo in C.
  • Prodotto di convoluzione e prodotto di serie di potenze. Teorema di Cauchy.
  • Derivazione e integrazione termine a termine per la somma di una serie di potenze (sd)
  • Esempi vari.
  • Vedi Cap. 7 e 8.

• 09-11-10 --- 2 ore -
  • Convergenza uniforme sui compatti per le serie di potenze.
  • Continuit\a della somma di una serie di potenze.
  • Derivazione e integrazione termine a termine per la somma di una serie di potenze (dimostrazione)
  • Formula per i coefficienti a partire dalla somma.
  • Esempi.

• 10-11-10 --- 1 ora -
  • Teorema di Goursat per i rettangoli. Domini elementari. Teorema di Goursat.

• 11-11-10 --- 2 ore -
  • Eventi, Misure di probabilita', Continuita' della misura. Eventi elementari nel caso finito e vettore delle densita' di probabilita'. L'integrale di Lebesgue come misura di probabilita' uniforme du $\gr$.
  • Additivit\`a dell'integrale per funzioni semplici.

• 15-11-10 --- 2 ore -
  • Formula di Cauchy. Sviluppabilita' in serie delle funzioni olomorfe.
  • Equivalenza fra olomorfia e sviluppabilita' in serie. Stime di Cauchy. Teorema di Liouville.
  • Teorema di Liouville e teorema fondamentale dell'algebra.
  • Zeri di funzioni olomorfe e principi di identita'.
  • Vedi Cap. 15.

• 16-11-10 --- 2 ore -
  • Singolarita' puntuali di una funzione olomorfa. Singolarita' eliminabili e teorema di Riemann, poli e singolarita' essenziali.
  • Serie di Laurent e sviluppi in serie di Laurent e teorema relativo.
  • Residuo in un punto e all'infinito. Teorema dei residui.
  • Un primo esempio di calcolo di integrale indefinito con il teorema dei residui.
  • vedi Cap. 17 e 18.

• 17-11-10 --- 1 or1 -
  • Il calcolo di alcuni integrali con il metodo dei residui. Integrali impropri. $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\, dx$ Integrali di tipo Fourier, .
  • vedi cap. 17 e 18.

• 18-11-10 --- 2 ore -
  • Esercizi di probabilita' elementare.
  • Probabilita' condizionata. esempi con i dadi. Formula di Bayes. Testi clinici. Filtri spam.

• 22-11-10 --- 2 ore -
  • Somma della serie $\sum_{n=1}^\ii \frac{1}{n^2}$ con il metodo dei residui.
  • la Z-trasformata. Formule varie.
  • Esempi di applicazioni alla risoluzione di equazioni e sistemi alle differenze.
  • vedi cap. 21.

• 23-11-10 --- 2 ore -
  • Concetto e definizione di variabile aleatoria. Eventi associati. Distribuzione dei valori. Legge. Proprieta' della legge. Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue. Esempio: tempo di attesa al semaforo.

• 24-11-10 --- 1 ora -
  • Valore atteso di una v.a.: caso discreto e caso assolutamente continuo. Integrale rispetto ad una misura.
  • Distribuzione e legge per la composizione di v.a.

• 25-11-10 --- 2 ore -
  • Integrale rispetto alla composizione di v.a.. Valore atteso in termini della funzione distribuzione.
  • Formula di Cavalieri. Diseguaglianze di Markov e Chebichev. Varianza. Varianza in termini della distribuzione dei valori.
  • Esempi di distribuzioni discrete: Prova di Bernoulli, Distribuzione binomiale, Distribuione di Poisson. Distribuzione geometrica e assenza di memoria. esempi di distribuzioni continue: distribuzione uniforme, legge normale.

• 29-11-10 --- 2 ore -
  • Funzioni olomorfe invertibili. La funzione $\log z$.
  • Lemma sul costo degli algoritmi.
  • Disegueglianza di Jensen e applicazioni: medie, funzione entropia.

• 30-11-10 --- 2 ore non tenuta

• 01-12-10 --- 1 ora
  • V.a. con distribuzione esponenziale. Assenza di memoria.

• 02-12-10 --- 2 ore
  • Distribuzione congiunta. Formula di composizione.
  • Indipendenza di eventi. Sistemi in serie e in parallelo.
  • Variabili aleatorie indipendenti. Misura prodotto. Teorema di Fubini.
  • Valore atteso del prodotto di v.a. indipendenti.

• 06-12-10 --- 2 ore
  • Sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a coefficienti costanti. Lemma di Gronwall e unicità per il problema di Cauchy. Esistenza di soluzioni per il problema di Cauchy. L'esponenziale di una matrice. Il calcolo dell'esponenziale con la decomposizione di Jordan. Teorema di stabilità. Proprietà di semigruppo.

• 07-12-10 --- 2 ore
  • Distribuzione della somma di v.a. indipendenti. Caso discreto e caso continuo.
  • Calcolo della distribuzione della somma di due variabili uniformemente distribuite.
  • Calcolo della distribuzione del minimo di due variabili esponenziali.
  • Esercizi vari.

• 09-12-10 --- 2 ore
  • Covarianza di variabili aleatorie. V.a. scorrelate e additivitaà delle varianze.
  • Convergenza in probabilità e convergenza quasi certa.
  • Lemma di Borel-Cantelli
  • Legge forte e debole dei grandi numeri (c.d.)
  • Teorema del limite centrale.

• 13-12-10 --- 2 ore -
  • Stima sul costo degli algoritmi. Diseguaglianza di Jensen discreta applicazone alle medie e alla funzione entropia.
  • Teorema di punto fisso di Banach. Risoluzione di equazioni lineari e non lineari. Inversa di una funzione C^1 (cenno).

• 14.12-10 --- 2 ore -
  • Applicazioni della legge dei grandi numeri e del teorema del limite centrale.

• 15-12-10 --- 1 ora -
  • Matrice di incidenza di un grafo.
  • Vettori e matrici stocastiche. Classi assorbenti. Classi assorbenti minimali e classi irriducibili.

• 16-12-10 --- 2 ore -
  • Classificazione degli stati. Stati transienti e stati ricorrenti.
  • Decadimento esponenziale della probailità di transito negli stati transienti. Forma canonica di una matrice stocastica.

• 20-12-10 --- 2 ore -
  • Somme finite di segnali periodici. Polinomi trigonometrici. In forma di somme di seni e coseni, in forma complessa. Prodotto hermitiano fra polinomi. Formula di inversione e uguaglianza dell'energia.
  • Campionamento di un polinomio trigonometrico. La funzione di Dirichlet.
  • Le trasformate discreta e discreta inversa di Fourier.
  • Coefficienti di Fourier e spettro. Somma parziale di Fourier.
  • Cenni sulla convergenza delle serie di Fourier. Teoremi di Dirichlet-Jordan e di convergenza in media quadratica (s.d.)
  • vedi cap. 24, 25, 26.

• 21-12-10 --- 2 ore -
  • Punti fissi di una matrice stocastica. Teorema di Perron-Frobenius.
  • Matrici regolari: proprietà di contrazione e onvergenza all'equilibrio.
  • Autovalori di matrici stocastiche regolari (s.d.)

• 10-01-11 --- 2 ore -
  • Catene di Markov discrete a stati finiti o numerabili. Proprietà di Markov e conseguenze. Processi omogenei.
  • Catene di Markov omogenee discrete a stati finiti o numerabili. Matrice di transizione.
  • Un esempio: Catena di Markov a due stati.

• 11-01-11 --- 2 ore -
  • Catene di Markov omogenee discrete a stati finiti o numerabili. Probailità di una visita. Probabiltà di più visite (s.d.). Numero medio di visite.

• 12-01-11 --- 1 ora - Non tenuta

• 13-01-11 --- 2 ore - Passi per una prima visita, tempi di ritorno. Tempi di ritorno e punto di equilibrio nel caso regolare.

• 14-01-11 --- 2 ore -
  • Catene omogenee a stati finiti o numerabili. Periodicità. Il teorema dei rinnovi (s.d.) Applicazioni.
  • Catene di Markov a tempo contiuo e stati finiti. Matrice di transizione. Equazioni di Chapman-Kolmogorov.

• 17-01-11 --- 2 ore -

• 18-01-11 --- 2 ore tenute dal prof E. Vicario
  • Seminario: Analisi probabilistica di un modello producer-consumer

Riepilogo

Lezioni: 77h Seminari : 2h