Classe di Ingegneria dell'Informazione Corso di laurea in Ingegneria Informatica. Anno 2009-2010

Corso di Analisi Matematica, 12 CFU

• Corso in coaffidamento.
  • Parte prima - Periodo: 15 settembre 2009 - 18 dicembre 2009, tenuta dal prof. Giuseppe Modica
  • Parte seconda Periodo: 22 febbraio 2010 - 4 giugno 2010, tenuta dalla prof.ssa Roberta Fabbri

Libri di testo

• M. Giaquinta, G. Modica, Note di Analisi Matematica: Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, Bologna, 2005.

• M. Giaquinta, G. Modica, Note di Analisi Matematica: Funzioni di piu' variabili, Pitagora Editrice, Bologna, 2006.

• Cormen et. al., Introduction to Algorithms 2nd Edition., Appendici A e C

• Una breve introduzione ai numeri complessi

Lezioni svolte - Parte Prima

• 15-09-09 --- 2 ore -
  • Introduzione al corso. La matematica nelle scienze e le applicazioni. Cenni storici.

• 16-09-09 --- 2 ore -
  • Richiami di calculus. Riferimento cartesiano. Traslazioni nel piano. Cambio di coordinate piane. Equazione parametrica della retta. Equazione della parabola. Metodo del completamento del quadrato. Proprieta' focali della parabola.
  • Vedi Cap. 2

• 21-09-09 --- 2 ore -
  • Ellissse e iperbole. Equazioni. Iperbole equilatera. Proprieta' fcali dell'ellisse e dell'iperbole (s.d.)
  • Vedi Cap. 2

• 22-09-09 --- 2 ore -
  • Numeri per misurare. $\sqrt{2}$ non e' razionale. I due problemi: rappresentazione numerica della retta: riferimento cartesiano e continuita' del tempo in fisica classica. $\sqrt{2}$ non e' razionale. (c.d.).
  • Numeri reali. Operazioni algebriche e di ordine.
  • Massimo e Maggioranti, minimo e minoranti di un sottoinsieme di R. Insiemi limitati superiormente e/o inferiormente. Estremo superiore. Estremo inferiore. L'assioma di continuita' dei reali. Proprieta' caratteristiche dell'estremo superiore.
  • Vedi Cap.~1.

• 23-09-09 --- 2 ore -
  • Linguaggio e matematica: 'il', 'un', costanti, variabili, 'per ogni', 'esiste'.
  • Logica Elementare: roposizioni e predicati. Connettivi logici 'e', 'o', 'non' 'implica'. La dimostrazione per assurdo. Negazione di frasi.
  • Insiemi, sottoinsiemi e proposizioni. Unione, Intersezione, Complementare. Formule di De Morgan.
  • Vedi Cap. 3.

• 28-09-09 --- 2 ore -
  • Esercizi su maggioranti, minoranti, Negazione di proposizioni.
  • Vedi Cap. 1.

• 29-09-09 --- 2 ore -
  • La nozione di funzione. Dominio e codominio. Immagine e controimmagine. Funzioni iniettive, surgettive, bigettive. Funzioni monotone.
  • La nozione di continuita'.
  • Vedi Cap. 4.

• 30-09-09 --- 2 ore -
  • Esercitazione scritta in aula.

• 05-10-09 --- 2 ore -
  • La nozione di continuita'. Esempi elementari. Teorema sulla somma di due funzioni continue. Prodotto e conposizione di funzioni continue. Teorema della permanenza del segno. Locale limitatezza.
  • Teorema degli zeri e applicazioni.
  • Vedi Cap. 7.

• 06-10-09 --- 2 ore -
  • Immagine di un intervallo. Funzioni iniettive continue definite su un intervallo. Esistenza della radice quadrata.
  • Limiti finiti e infiniti. Relazione con la nozione di continuita'. Teorema della permanenza del segno. Unicita' del limite, localizzazione, giunzione, e restrizione. Criterio del confronto.
  • Vedi Cap. 7.

• 07-10-09 --- 2 ore -
  • Limiti per funzioni monotone.
  • Funzione inversa. Esempi vari. Continuita' dell'inversa di una funzione continua.
  • Il calcolo dei limiti.
  • vedi Cap. 7.

• 12-10-09 --- 2 ore -
  • La nozione di derivata. Formulazione equivalente alla Lagrange. Scoppiamento. Retta tangente al grafico. Le funzioni derivabili sono continue.
  • Il calcolo delle derivate. Derivata della funzione composta e della funzione inversa.
  • Vedi Cap. 10.

• 13-10-09 --- 2 ore -
  • Massimi e minimi. Riflessione della luce su uno specchio piano. Il teorema di Fermat. Rifrazione della luce attraverso una superficie piana. Un algoritmo per il calcolo dei puni di massimo e minimo.
  • Esistena si punti di massimo e minimo assoluti: il teorema di Weierstrass.
  • vedi Cap. 11.

• 14-10-09 --- 2 ore -
  • Esercitazione in aula

• 19-10-09 --- 2 ore -
  • I teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy. Studi di funzioni.
  • vedi Cap. 12

• 20-10-09 --- 2 ore -
  • I teoremi di de L'Hopital. Limiti notevoli.
  • Studi di funzione.
  • vedi Cap. 12

• 21-10-09 --- 2 ore -
  • Studi di funzione e esercizi vari.
  • vedi Cap.12.

• 26-10-09 --- 2 ore -
  • La nozione di integrale secondo Riemann. Integrale superiore e inferiore con le somme di Riemann. Proprieta delle funzioni integrabili secondo Riemann. Proprieta' dell'integrale.
  • Integrabilita' delle funzioni monotone limitate. Integrabilitia' delle funzioni limitate e con un numero finito di discontinuita' (s.d.) - vedi Cap. 13.

• 27-10-09 --- 2 ore -
  • Il teorema fondamentale del calcolo. Esempi.
  • Definizione e proprieta' della funzione logaritmo. Numero e e funzione esponenziale e^x
  • vedi Cap. 14 e 15.

• 28-10-09 --- 2 ore -
  • L'equazione del decadimento ragdioattivo. Soluzione e unicita' della stessa. Raffreddamento Newtoniano: soluzione e unicita'.
  • La definizone formale di pi greco, angolo in radianti e funzione arcotangente. Funzioni trigonometriche.
  • vedi Cap. 15 e 16.

• 02-11-09 --- 2 ore -
  • Moto armonico semplice. Soluzione e unicita'. Formule di addizione e sottrazione.
  • Esercizi sullo studio di funzioni.
  • vedi Cap. 16.

• 03-11-09 --- 2 ore -
  • Moto armonico semplice: Ripetizione di: Unicita' per il problema di Cauchy.
  • Esercizi sullo studio di funzioni.
  • vedi Cap. 16.

• 04-11-09 --- 2 ore -
  • Esercitazione in aula

• 09-11-09 --- 2 ore -
  • Il calcolo degli integrali. La notazione di integrale indefinito.
  • Integrali di funzioni razionali con denominatore di grado non superiore a due.
  • vedi Cap. 17.

• 10-11-09 --- 2 ore - Integrali per parti. Integrali di funzioni razionali con denominatore di grado non superiore a due. Integrazione per sostituzione.
  • vedi Cap. 17.

• 11-11-09 --- 2 ore -
  • Il calcolo di pi greco. La formula di Taylor con resto integrale.
  • vedi Cap. 20.

• 16-11-09 --- 2 ore -
  • Formula di Taylor con resto di Peano. Caratterizzazione del polinomio di Taylor.
  • Le notazioni di Landau. Sviluppi notevoli. Il calcolo degli sviluppi. Applicazione al calcolo dei limiti.
  • vedi Cap. 20 e 21.

• 17-11-09 --- 2 ore -
  • Le notazioni di Landau. Sviluppi notevoli. Il calcolo degli sviluppi. Applicazione al calcolo dei limiti.

• 18-11-09 --- 2 ore -
  • Cos'e' una EDO lineare del secondo ordine. Soluzioni. Struttura dell'integrale generale.
  • EDO a coefficienti costanti del secondo ordine non omogeneee. Soluzioni della equazioni omogenea. Soluzione particolare in casi particolari. Integrale generale
  • Esempi.
• vedi Cap. 22 e 23.

• 23-11-09 --- 2 ore -
  • EDO a coefficienti costanti del secondo ordine non omogeneee. Il metodo della variazione delle costanti.
  • Esempi.
• vedi Cap. 22 e 23.

• 24-11-09 --- 2 ore -
  • Integrali generalizzati per funzioni nonnegative.
  • Esercizi.
  • vedi Cap. 18.

• 25-11-09 --- 2 ore -
  • Integrali generalizzati. Esempi e stime.
  • Integrali generaliizati per funzioni di segno variabile. Integrale improprio.
  • vedi Cap. 18.

• 30-11-09 --- 2 ore -
  • Numeri interi come sottoinsieme dei reali. Principio di induzione. Esercizi. Definizioni induttive. Dimostrazioni per induzione. Stima di Bernoulli. Binomio di Newton. Somma di progressioni aritmetiche.
  • vedi Cap. 24.

• 01-11-09 --- 2 ore -
  • Il processo di somma finita. Esercizi: Serie geometrica, serie aritmetica. serie aritmetico-geometrica. Binomio di Newton. Somme pesate di coefficienti binomiali. Somme e integrali. Stime per la serie armonica e la serie armonica generalizzata.
  • vedi Cap. 24 e 25.

• 02-12-09 --- 2 ore -
  • Il processo di somma infinita: serie numeriche. Definizioni. Esempi: Serie geometrica. Serie aritmetico geometrica. Serie armonica. Serie armonica generalizzata. Serie come integrale generalizzato. Serie armonica genralizzata.
  • vedi cap. 25.

• 07-12-09 --- 2 ore -
  • Esempi di serie a termini positivi: convergenza e stime.
  • vedi cap. 25.

• 08-12-09 --- 2 ore -
  • Limiti di successioni. Teorema di collegamento. Proprieta' dei limiti di successione. Limiti notevoli.
  • vedi cap. 26.

• 09-12-09 --- 2 ore -
  • Qualche limite di successione. Teorema di Cesaro. Limite del rapporto e della radice $n$-esima. Limiti legati al fattoriale e formula di Stirling (s.d.).
  • vedi cap. 26.

• 14-12-09 --- 2 ore -
  • Successioni di Cauchy. Il criterio di convergenza di Cauchy.
  • Massimo e minimo limite. Proprieta'.
  • Teorema di Bolzano--Weierstrass. Ulteriore dimostrazione del teorema di Weierstrass.
  • vedi ad es. M. Giaquinta, G. Modica, Note di Analisi Matematica Vol. 2, p.40-43.

Riepilogo

Lezioni: 72 h

Esercitazioni: 6h