Classe di Ingegneria dell'Informazione
Corso di laurea in Ingegneria Informatica. Anno 2008-2009
Metodi Matematici per l'ingegneria (6 CFU)
- Periodo: 21 settembre 2008 - 19 dicembre 2008
- Tenuto da: prof. Giuseppe Modica modica@dma.unifi.it
Libro di testo
M. Giaquinta, G. Modica, Note di Metodi Matematici per Ingegneria Informatica, Edizione 2007,
Pitagora editrice, Bologna.
- Uno script ingenuo per visualizzare una trasformazione $f:C\to C$,
grid2py
Lezioni svolte
- 22-09-08 --- 2 ore -
- Introduzione al corso. Un esempio di equazione alle differenze.
- Richiami di algebra lineare. R^n. Spazi vettoriali astratti.
Operatori lineari, Cambiamenti di base. Prodotto scalare.
Teorema di Carnot. Teorema di Pitagora.
- Vedi Cap. 1, 2, 3.
- 23-09-08 --- 2 ore -
- Spazi vettoriali complessi. Prodotto Hermitiano. Teorema di Carnot.
- Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Vettori ortonormali, coseni direttori,
teorema di Pitagora. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
Base ortonormale su V e isometria tra V e K^n.
Teorema di Riesz. L'esempio della dualita' tra forza e lavoro.
- Vedi Cap. 4.
- 25-09-08 --- 2 ore -
- Operatore aggiunto. Teorema dell'alternativa.
Inversa di Moore-Penrose. Metodo dei minimi quadrati lineare.
- Vedi Cap. 4 e 6.
- 29-09-08 --- 2 ore -
- Retta di regressione lineare.
- Autovalori e autovettori. Sottospazi inverianti. Matrici simili.
Matrici diagonalizzabili. Polinomio caratteristico.
Molteplicita' algebria e geometrica di un autovalore.
- Vedi Cap. 5.
- 30-19-08 --- 2 ore -
- Matrici simili a matrici triangolari. Matrici simili a matrici a blocchi
e autospazi invarianti. Autovettori generalizzati e decomposizione a
blocchi.
- Vedi Cap. 5.
- 02-10-08 --- 2 ore -
- Decomposizione in forma di Jordan (s.d.). Un esempio di
decomposizione in forma di Jordan.
- Applicazione alla risoluzione dei sistemi di ricorrenze lineari
omogenee e al calcolo delle potenze di una matrice. Teorema di
stabilita' asintotica.
- Vedi Cap. 5 e 20.
- 06-10-08 --- 2 ore - non tenuta
- 07-10-08 --- 2 ore -
- Operatori autoaggiunti. Proprieta' degli autovalori, degli
autovettori e dei sottospazi invarianti.
- Teorema spettrale. Varie forme del teorema spettrale.
- Vedi cap. 6.
- 09-10-08 --- 2 ore -
- Polinomi omogenei di grado due. Forme quadratiche. Caratterizzazione
variazionale del massimo e minimo autovalore. Caratterizzazione variazionale
alla Courant degli autovalori (s.d.). Funzioni di operatori
autoaggiunti. Potenze. Radice quadrata di un operatore autoaggiunto
semidefinito positivo e sua caratterizzazione.
- Vedi cap. 6, 7.
- 13-10-08 --- 2 ore -
- Proprieta' di $A^*A$ e $AA^*$. La matrice $(A^*A)^{1/2}}$.
Valori singolari. $||A||$ e $||A||_2$ in termini di valori singolari.
- Decomposizione polare. Esempi.
- vedi Cap. 7.
- 14-10-08 --- 2 ore - non tenuta.
- 16-10-08 --- 2 ore -
- Decomposizione SVD. Esempi.
- I numeri di Fibonacci e la funzione generatrice (informale).
- Vedi Cap. 7 e 20.
- 18-10-08 -- 2 ore --
- Il calcolo dell'inversa di Moore-Penrose. Regolarizzazione di
Tychonov.
- Funzioni olomorfe. Definizione. Prime proprieta'.
- Differenziabilita' reale e equazioni di Cauchy--Riemann.
- Vedi Cap. 7 e 8.
- 20-10-08 --- 2 ore -
- Varie forme delle equazioni di Cauchy--Riemann.
- Integrale di linea di una funzione continua a valori complessi.
- Il teorema fondamentale del calcolo in C. Linee
chiuse in $\Omega$ e linee bordo di un aperto in $\Omega$.
Esistenza di una primitiva olomorfa e integrali su linee chiuse.
- Vedi cap. 9.
- 21-10-08 --- 2 ore -
- Serie di Taylor. La serie geometrica. Alcuni sviluppi in serie di
Taylor, logaritmo, esponenziale, seno e coseno.
- Vedi cap. 10.
- 23-10-08 --- 2 ore -
- Serie di potenze e serie di Taylor. Raggio di convergenza e suo
significato. Teorema di derivazione e integrazione per serie (s.d.).
Esercizi.
- Vedi Cap. 11.
- 27-10-08 --- non tenuta
- 28-10-08 --- non tenuta
- 30-10-08 --- 2 ore -
- Serie di Potenze. Serie di potenze di alcune funzioni elementari e
di loro derivate e integrali. Le funzioni $e^z$, $sin z$, $cos z$.
Il logaritmo complesso e la sua determinazione principale.
- Vedi Cap. 12.
- 03-11-08 --- 2 ore -
- Spazi di Banach. Convergenza assoluta e uniforme. Esempi.
Continuita' del limite uniforme. Continuita' della somma
di una serie di potenze.
- Derivazione e integrazione termine a termine di una serie di potenze.
- Vedi Cap. 13.
- 04-11-08 --- 2 ore -
- Prodotto di convoluzione e teorema relativo. La funzione generatrice
e sue proprieta'.
- Ulteriori esercizi sulle serie di potenze.
- Lemma di Goursat e conseguenze.
- Vedi Cap. 13 e 14.
- 06-11-08 --- 2 ore -
- Domini elementari. Teorema di Goursat. Prime conseguenze.
- Formula di Cauchy.
- Sviluppabilita' in serie delle funzioni olomorfe.
- Implicazioni varie.
- Vedi Cap. 14.
- 10-11-08 --- 2 ore -
- Teorema di Liouville e teorema fondamentale dell'algebra.
- Zeri di funzioni olomorfe e principi di identita'.
- Teorema di invertibilita' locale di una fuznione olomorfa.
- Vedi Cap. 15.
- 11-11-08 --- 2 ore -
- Singolarita' puntuali di una funzione olomorfa. Singolarita' eliminabili
e teorema di Riemann, poli e singolarita' essenziali.
- Serie di Laurent e sviluppi in serie di Laurent.
- vedi Cap. 17.
- 13-11-08 --- 2 ore -
- Resuiduo in un punto singolare. Calcolo del residuo nel caso di poli
semplici.
- Il calcolo di alcuni integrali con il metodo dei residui. Integrali
di tipo Fourier, $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\, dx$.
- vedi cap. 17 e 18.
- 17-11-08 --- 2 ore -
- Calcolo di integrali impropri e di serie con il metodo dei residui.
- vedi cap. 18.
- 18-11-08 --- 2 ore -
- la Z-trasformata. Applicazioni alla risoluzione di equazioni e
sistemi alle differenze.
- vedi cap. 21.
- 20-11-08 --- 2 ore -
- Una stima utile per la valutazione del costo degli algoritmi.
- Vedi cap. 19.
- 24-11-08 --- 2 ore -
- Funzioni convesse. Richiami delle loro proprieta'. Disuguaglianza di
Jensen discreta. Applicazione alle medie. Funzione entropia.
- Vedi cap. 19.
- 25-11-08 --- 2 ore -
- Il teorema di punto fisso di Banach. Risoluzione di sistemi lineari
per iterazione.
- Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine.
- Teorema di esistenza, unicita' e approssimazione.
- vedi cap. 22, 23.
- 27-11-08 --- 2 ore -
- Il caso omogeneo. Sistema fondamentale di soluzioni. Teorema di
Liouville.
- Il caso non omogeneo. Formula di Duhamel.
- Il caso a coefficienti costanti: il calcolo di un sistema
fondamentale di soluzioni.
- Vedi cap. 22 e 23.
- 01-12-08 -- 2 ore -
- Piccole oscillazioni attorno all'equilibrio: scomposizione in moti
armonici semplici.
- Somme finite di segnali periodici. Polinomi trigonometrici. In forma
di somme di seni e coseni, in forma complessa. Prodotto hermitiano
fra polinomi. Formula di inversione e uguaglianza dell'energia.
- vedi cap. 23 e 24.
- 02-12-08 -- 2 ore -
- Campionamento di un polinomio trigonometrico. Nucleo di Dirichlet.
DFT e IDFT.
- vedi cap. 24.
- 05-12-07 -- 2 ore -
- Coefficienti di Fourier e spettro. Somma parziale di Fourier.
Esempi classici: onda quadra, triangolare, a rampa, impulso,
raddrizzatore.
- vedi cap. 25.
- 09-12-07 -- 2 ore -
- Lemma di Riemann-Lebesgue e teorema d convergenza puntuale (c.d.).
- Teorema di convergenza uniforme per segnali $C^1$ (c.d.). Teorema di
Dirichlet-Jordan (s.d.).
- Le somme parziali come migliori approssimazioni in media. Teorema di
convergenza in media (c.d del teorema 27.4).
- vedi cap. 26 e 27.
Riepilogo