Classe di Ingegneria dell'Informazione Corso di laurea specialistica in Ingegneria Matematica. Anno 2008-2009

Equazioni alle Derivate Parziali

• Periodo: 20 aprile 2009 - 20 giugno 2009, 6 CFU

Libri di testo

• M. Giaquinta, G. Modica, Analisi Matematica, Vol. 3, 4, 5, 2000, 2005 e 2006, Pitagora Ed., Bologna.
• C. Evans, Partial Differential Equations, 1998, AMS, Providence, Rhode Island.

Lezioni svolte

• 21-04-09 --- 1 ora -
  • Introduzione al corso

• 22-04-09 --- 2 ore -
  • Spazi di Banach. Norme equivalenti. Esempi. Operatori lineari continui. Norma duale. Spazio duale.

• 28-04-09 --- 2 ore -
  • Convergenza forte e convergenza debole - di operatori lineari. Esempi. Chiusura debole. Semicontinuita' della norma.

• 29-04-09 --- 2 ore -
  • Compatezza debole * (dimostrazione nel caso del duale di un separabile). Metrizzabilita' rispetto alla convergenza debole *.
  • Teoremi di Banach-Steinhaus, del grafico chiuso e dell'applicazione aperta (s.d.). Corollari.

• 05-05-09 --- 2 ore
  • Spazio $L^\infty$.
  • Spazi $L^p$. Disuguaglianze di Holder e Minkowski. Completezza.
  • Approssimazione: Teoremi di Lusin. Densita' delle funzioni continue a supporto compatto. Continuita' in media. Convoluzione. Mollificatori. Densita' delle funzioni $C^\infty$ a supporto compatto.
  • Separabilita'.
  • Caratterizzazione del duale di $L^1$.

• 06-05-09 --- 2 ore - tenuta dallo studente Volpi.
  • Esercitazione: Analisi Funzionale

• 12-05-09 --- 2 ore -
  • Misure positive. Misure reali. Variazione totale. Variazione totale su un aperto in termini di integrali. Misure di Radon. Misure assolutamente continue. Teorema di Radon-Nikodym (c.d.). Rappresenzazione di una misura in termini della sua variazione totale.

• 13-05-09 --- 2 ore -
  • Operatori lineari e continui su $C^0$. Teorema di rappresenzazione di Riesz.
  • Convergenza debole * per le misure di Radon. Chiusura debole * e teorema di compattezza.
  • Caratterizzazione del duale di $L^p$, $1<p<\ii$. Convergenza debole * in $L^p$: chiusura debole * e teorema di compattezza.

• 14-05-09 --- 2 ore - tenuto dallo studente Ricci
  • Esercitazione: Spazi di Hilbert. Separabilita'  e basi numerabili. Serie di Fourier in spazi di Hilbert. Principio di Dirichlet, teorema d Riesz e teorema della proiezione ortogonale.

• 19-05-09 --- 2 ore - tenuto dallo studente Tigli
  • Esercizatione: Operatori compatti, operatori autoaggiunti e teoria di Courant-Hilbert-Schmidt.

• 20-05-09 --- 2 ore -
  • Formule di Gauss-Green. Spazi di Sobolev. Sono spazi di Banach. Definizioni e prime proprieta'. Convergenza debole *. compattezza e chiusura debole *.

• 26-06-09 --- 2 ore -
  • Teoremi di approssimazione, estensione, traccia (s.d.) per funzioni di Sobolev.

• 27-06-09 --- 2 ore - tenuta dallo studente Pompili
  • Teoremi di traccia. Spazio W^{1,\infty} e funzioni Lipschitziane.

• 03-06-09 --- 2 ore -
  • Teoremi di immersione. Disuguaglianze di Poincare. Teorema di Rellich.

• 09-06-09 --- 2 ore - tenuta dalla prof.ssa F. Bucci
  • Introduzione alla teoria dei semigruppi. Soluzione del problema di Cauchy u'=Au, u(0)=x, se A e' un operatore lineare limitato in uno spazio di Banach X.
  • Operatori lineari non limitati: un esempio.
  • Semigruppi. Definizione, proprieta' elementari. La proprieta' di forte continuita'. Il generatore infinitesimale. Proprieta' differenziali dei semigruppi.

• 10-06-09 --- 2 ore - tenuta dalla prof.ssa F. Bucci
  • Proprieta' del generatore A: D(A) e' denso, A e' un operatore chiuso. Proprieta' asintotiche del semigruppo. "Tipo" di un semigruppo. Semigruppi di contrazioni.

• 16-06-09 --- 2 ore - tenuta dalla prof.ssa F. Bucci
  • Proprieta' spettrali del generatore infinitesimale. Insieme risolvente, operatore risolvente. Il Teorema di Hille-Yosida (s.d.)
  • Il caso dei semigruppi di contrazioni.
  • Il problema di Cauchy. Applicazione allo studio di problemi al contorno e ai valori iniziali per EDP. Il caso dell'equazione del calore.

• 18-06-09 --- 2 ore - tenuta dalla prof.ssa F. Bucci
  • Applicazione del Teorema di Hille-Yosida per lo studio di un problema al contorno e ai valori iniziali per l'equazione delle onde.
  • Cenni ad ulteriori sviluppi: (i) operatori dissipativi, il Teorema di Lumer-Phillips; (ii) semigruppi analitici; (iii) l'equazione non omogenea u'=Au+f, soluzioni generalizzate; (iv) semigruppi di operatori non lineari.

• 29-06-09 --- 1h30 - tenuta dallo studente Tigli
  • Insiemi e funzioni convesse. Coni. Lemma di Farkas. Dualita' in programmazione lineare.

• 29-06-09 --- 1h30 - tenuta dallo studente Pompili
  • Insiemi e funzioni convesse. Programmazione convessa. Teoremi di von Neumann e Nash in teoria dei giochi.

• 13-07-09 --- 1h30 - tenuta dallo studente Ricci
  • Metodi numerici per sistemi di equazioni differenziali ordinarie.

• 31-07-09 --- 1h30 - tenuta dallo studente Tigli
  • Funzioni $\l$-convesse.

• 31-07-09 --- 1h30 - tenuta dallo studente Pompili
  • Gradient flow in spazi di Hilbert.
    === Riepilogo ===

• Lezioni: 29h
• Esercitazioni: 8h+7.5h