Classe di Ingegneria dell'Informazione Corso di laurea in Ingegneria Informatica. Anno 2007-2008

Corso di Metodi Matematici

Periodo: 24 settembre 2007 - 7 dicembre 2007, 6 CFU. Tenuto dal prof. Giuseppe Modica giuseppe.modica@unifi.it

Libro di testo

• M. Giaquinta, G. Modica, Note di Metodi Matematici per Ingegneria Informatica, Edizione 2007, Pitagora editrice, Bologna.

• Varie - Uno script ingenuo per visualizzare una trasformazione $f:C\to C$, grid2.py

Lezioni svolte

• 26-09-07 --- 2 ore -
  • Introduzione al corso.
  • Richiami di algebra lineare in K^n. Teorema sul rango della trasposta.
  • Vedi cap. 1

• 27-09-07 --- 2 ore -
  • Sottospazi di K^n in forma implicita e parametrica.
  • Spazi vettoriali astratti. Matrice associata ad una applicaizone lineare. Cambiamenti di base.
  • Vedi cap. 1 e 2.

• 28-09-07 --- 2 ore -
  • Autovettori, autovalori, autospazi. Autovettori relativi ad autovalori distinti. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Polinomio caratteristico. Molteplicita' algebria e geometrica di un autovalore.
  • Vedi cap. 5.

• 03-10-07 --- 2 ore -
  • Matrici simili a matrici triangolari. Matrici simili a matrici a blocchi e autospazi invarianti. Autovettori generalizzati e decomposizione a blocchi.

• 04-10-07 --- 2 ore - Tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Esempi di decomposizioni di Jordan.
  • Vedi cap. 5.

• 05-10-07 --- 2 ore - Non tenuta

• 10-10-07 --- 2 ore -
  • Prodotto scalare standard in K^n. Matrice trasposta. Teorema dell'alternativa in K^n.
  • Prodotti scalari e hermitiani. Spazi euclidei e hermitiani. Formule di Carnot e Cauchy-Schwarz, Vettori ortonormali, coseni direttori, teorema di Pitagora. Metodo di Gram-Schmidt. Base ortonormale su V e isometria tra V e K^n. Teorema di Riesz. L'esempio della dualita' tra forza e lavoro.
  • Vedi Cap. 2 e 4.

• 11-10-07 --- 2 ore -
  • Operatori autoaggiunti. Proprieta' degli autovalori, degli autovettori e dei sottospazi invarianti.
  • Operatore aggiunto. Teorema dell'alternativa. Metodo dei minimi quadrati. Retta di regressione lineare. Inversa di Moore-Penrose.
  • Vedi cap. 4 e 6.

• 12-10-07 -- 2 ore --
  • Teorema spettrale. Varie forme del teorema spettrale. Forme quadratiche. Caratterizzazione variazionale del massimo e minimo autovalore. Caratterizzazione variazionale alla Courant degli autovalori. Classificazione delle coniche.
  • Vedi cap. 6.

• 17-10-07 -- 2 ore --
  • Potenze di un operatore autoaggiunto. Proprieta' di $A^*A$ e $AA^*$. La matrice $(A^*A)^{1/2}}$ e sua caratterizzazione. Valori singolari. $||A||$ e $||A||_2$ in termini di valori singolari.
  • Vedi cap. 7.

• 18-10-07 -- 2 ore --
  • Decomposizione polare. Esempi.
  • Decomposizione SVD secondo i valori singolari. Il calcolo dell'inversa di Moore-Penrose nel caso degenere: regolarizzazione di Tichonov.
  • Vedi cap. 7.

• 19-10-07 -- 2 ore --
  • Sistemi di ricorrenze discrete lineari, potenze di una matrice,
  • Il calcolo dei numeri di Fibonacci.
  • Vedi cap. 20.

• 24-10-07 -- 2 ore --
  • Funzioni derivabili in senso complesso. Differenziabilita'. Equazioni di Cauchy-Riemann.
  • Integrale di linea di una funzione continua a valori complessi.
  • Vedi cap. 8.

• 25-10-07 -- 2 ore --
  • Il teorema fondamentale del calcolo in C. Esistenza di una primitiva olomorfa e integrali su linee chiuse. Il caso del rettangolo e il caso di un dominio aperto.
  • Vedi cap. 9.

• 26-10-07 -- 2 ore --
  • Serie di Taylor. La serie geometrica. Il calolo approssimato di pi greco. Altri sviluppi in serie di Taylor, logaritmo, esponenziale, seno e coseno.
  • Vedi cap. 10.

• 31-10-07 -- 2 ore --
  • Serie di potenze e serie di Taylor. Raggio di convergenza e suo significato. Teorema di derivazione e integrazione per serie (s.d.). Esercizi.
  • Vedi cap. 11.

• 02-11-07 - Non tenuta -

• 07-11-07 -- 2 ore --
  • Spazi di Banach. Convergenza assoluta e uniforme. Esempi. Continuita' del limite uniforme. Continuita' della somma di una serie di potenze.
  • Vedi cap. 13.

• 08-11-07 -- 2 ore --
  • Derivazione e integrazione termine a termine di una serie di potenze.
  • Prodotto di convoluzione. Esempi. Teorema di Cauchy
  • Lemma di Goursat.
  • Vedi cap. 14.

• 09-11-07 -- 2 ore --
  • Insiemi elementari. Teorema di Goursat.
  • La formula di Cauchy. Le funzioni olomorfe sono sviluppabili localmente in serie di potenze. Teorema di Morera. Equivalenza tra olomorfia e sviluppabilita' in serie di potenze.
  • Teorema di Liouville e teorema fondamentale dell'algebra.
  • vedi cap.7.
  • Vedi cap. 14 e 15..

• 14-11-07 -- 2ore - non tenuta

• 15-11-07 -- 2ore -
  • Zeri di una funzione olomorfa e principio di identita'. Proprieta' della media e principio di massimo.
  • La funzione generatrice e sue proprieta'.
  • Singolarita' eliminabili, polari ed essenziali di una funzione olomorfa.
  • vedi cap. 17.

• 16-11-07 -- 2ore -
  • Definizione di Residuo. Teoremi sui redisui di una funzione olomorfa. Il calcolo dei residui. Il calcolo di alcuni integrali con il metodo dei residui:
    • vedi cap. 17 e 18.

• 21-11-07 -- 2ore -
  • Calcolo di integrali impropri e di serie con il metodo dei residui.
    • vedi cap. 18.

• 22-11-07 -- 2ore -
  • La Z-trasformata. Definizione e proprieta'. Esempi di campioni discreti e campionamenti. Prodotto di convoluzione. I numeri di Fibonacci mediante la Z-trasformata.
    • vedi cap. 20 e 21.

• 23-11-07 -- 2ore -
  • Ricorrenze lineari discrete. Il calcolo dele soluzioni con la Z-trasformata.
  • Il teorema di punto fisso di Banach. Applicazione alla risolubiita' per iterazione delle equazioni lineari.
  • vedi cap. 21 e 22.

• 28-11-07 -- 2ore -
  • Sistemi di ODE lineari. esistenza e unicita' per il problema di Cauchy. Il caso a coefficienti costanti. La funzione $e^{tA}$.
  • Proprieta' della matta $e^{tA}$. Formula di Liouville. Propriet\a di semigruppo.
  • vedi cap. 23.

• 29-11-07 -- 2 ore -
  • Il calcolo di $e^{tA}$ con l'uso della decomposizione di Jordan. Conseguenza sulla stabilita'.
  • Il caso non homogeneo. Formula risolutiva.
  • Equazioni di ordine superiore. Riduzione ad un isstema del primo ordine e formula di Duhamel.
  • vedi cap. 23

• 30-11-07 -- 2 ore -
  • Somme finite di segnali periodici. Polinomi trigonometrici. In forma di somme di seni e coseni, in forma complessa. Prodotto hermitiano fra polinomi. Formula di inversione e uguaglianza dell'energia.
  • vedi cap. 24.

• 05-12-07 -- 2 ore -
  • Campionamento di un polinomio trigonometrico. Nucleo di Dirichlet. DFT e IDFT.
  • vedi cap. 24.

• 06-12-07 -- 2 ore -
  • Coefficienti di Fourier e spettro. Somma parziale di Fourier. Esempi classici: onda quadra, triangolare, a rampa, impulso, raddrizzatore.
  • vedi cap. 25.

• 07-12-07 -- 2 ore -
  • Convergenza puntuale (c.d.), uniforme e in media per le serie di Fourier (c.d del teorema 27.4).
  • vedi cap. 26 e 27.

Riepilogo

• Lezioni : 56 h
• Esercitazioni : 2 h