Classe di Ingegneria dell'Informazione
Corso di laurea specialistica in Ingegneria Matematica. Anno 2006-2007
Periodo: 22 gennaio 2007 - 25 marzo 2007, 5 CFU
Tenuto da: prof. Giuseppe Modica giuseppe.modica@unifi.it
- M. Giaqinta - G. Modica. Analisi Matematica, Vol. 3, 4, 5, 2000, 2005 e
2006, Pitagora Ed., Bologna.
- C. Evans, Partial Differential Equations, 1998, AMS, Providence,
Rhode Island.
- 26-01-07 --- 2 ore -
- Introduzione al corso. Spazi normati: definizione ed esempi.
Norme equivalenti. Il caso degli spazi di dimensione finita.
- 31-01-07 --- 2 ore -
- Completezza: succesioni di Cauchy. Contrazioni. Teorema di
punto fisso. Teorema di Baire.
- Compattezza per successioni e teorema di Weierstrass. Compattezza
via ricoprimenti, totale limitatezza. Compattezza in $C^0$: teorema
di Ascoli Arzela'.
- 02-02-07 --- 2 ore -
- Esercitazione: operatori lineari su spazi di dimensione finita.
- 07-02-07 --- 2 ore -
- Operatori lineari contini su spazi vettoriali normati. Teorema di
Banach-Steinhaus e conseguenze. Teorema dell'applicazione aperta.
- 09-02-07 --- 2 ore -
- Compattezza debole *. Spazi di Hilbert e operatori lineari su spazi
di Hilbert. Teoremi di Riesz e della proiezione ortogonale,
principio di Dirichlet. Metodo di Riesz di approssimazione.
- 14-02-07 --- 3 ore -
- Aggiunto di un operatore. Operatori e forme bilineari.
Forme bilineari continue, coercive. Teorema di Lax-Milgram. Metodo
di Faedo-Galerkin. Operatori a immagien chiusa e inversa di Moore-Penrose.
- 16-02-07 --- 3 ore -
- Operatori compatti e teorema spettrale per gli operatori compatti
autoaggiunti. Teoria di Courant--Hilbert--Schmidt.
- Misure esterne. Misura di Lebesgue e di Hausdorff. Costruzione
dell'integrale a partire da una misura. Formula di Cavalieri.
Diseguaglianza di Chebicev. Teorema di Beppo Levi. Predicati veri
quasi ovunque.
- 21-02-07 --- 2 ore -
- Esercitazione: teorema di Hahn--Banach e dualita' convessa.
- 23-02-07 --- 3 ore -
- Teorema di Fubini. Formula dell'area. Punti di Lebesgue. Teoremi
di passaggio al limite sotto il segno di integrale
per succesioni e serie. Continuita' e differenziabilita' di
integrali dipendenti da parametri.
- 28-02-07 --- 2 ore -
- Formula di coarea. Formule di Gauss--Green.
- Teorema di Lusin, Continuita' dell'integrale,
Densita' delle funzioni continue.
- 02-03-07 --- 3 ore -
- Mollificatori. Convoluzione. Proprieta' e teoremi di
approssimazione.
- Spazi $L^p(\Omega)$ e proprieta'.
- Spazio $L^{\ii}$.
- Caratterizzazione della convergenza in $L^\ii$ e teorema di Egorov.
- 07-03-07 -- 3 ore --
- Derivate deboli. Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni.
Derivate forti. Teorema H=W.
Regole di derivazione: somma prodotto, composta con una funzione
Lipschiziana. Se $f=0$ su $A$, allora $Df=0$ q.o su $A$.
- 09-03-07 -- 3 ore --
- Equazioni ellittiche variazionali del secondo ordine. Forma forte
e forma debole. Condizioni di Dirichlet e di Neumann in forma debole
e forte.
- Diseguaglianze di Poincare'. Coercivita' e esistenza di soluzioni
per il problema di Dirichlet e il problema di Neumann.
- Teorema di Rellich e autofunzioni e autovalori di equazioni ellittiche
del secondo ordine.
- 14-03-07 -- 2 ore - Esercitazione
- Teoremi di approssimazione e di estensione per funzioni W^{1.p}.
- 16-03-07 -- 2ore - Esercitazione
- Teorema di Rellich e diseguaglianze di Poincare.