Classe di Ingegneria dell'Informazione
Corso di laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni. Anno 2005-2006
Periodo: 16 gennaio 2006 - 17 marzo 2006, 5 CFU
Tenuto da: prof. Giuseppe Modica giuseppe.modica@unifi.it
M.~Bramanti, C.D.~Pagani, S.~Salsa, Matematica, Calcolo
Infinitesimale e Algebra Lineare, Zanichelli, Bologna,
Capitoli 2.6 - 3.2 - 9 - 10 - 11 e 12 di
M. Giaquinta, G. Modica, Funzioni di più variabili, Note
distribuite.
- 16-01-06 --- 2 ore -
- Introduzione al corso. Introduzione alle curve.
- Vedi curveI.pdf
- 18-01-06 --- 2 ore -
- Introduzione alle funzioni di più variabili. Un piccolo
catalogo di funzioni.
- Spazi metrici. Succesioni convergenti. Esempi.
- 19-01-06 --- 2 ore -
- Aperti, chiusi, chiusura, frontiera, parte interna.
- Punti limite, punti isolati, punti di accumulazione.
- Successioni di Cauchy. Completezza.
- Vedi Spazi metrici, I
- 23-01-06 --- 2 ore -
- Funzioni continue tra spazi metrici. Limiti di funzioni tra
spazi metrici. Teorema di collegamento. Esempi di calcolo di limiti
in R^2: funzioni omogenee.
- La funzioni distanza da un sottoinsieme. Funzioni Lipschitziane.
- Vedi Spazi metrici, II
- 25-01-06 --- 2 ore -
- La funzione distanza da un sottoinsieme.
- Compattezza. Teorema di Weierstrass. Teorema di Bolzano-Weierstrass.
- Vedi Spazi metrici, II
- 26-01-06 --- 2 ore -
- Connessione. Spazi omeomorfi. R e R^2 non sono omeomorfi.
Gli intervalli [a,b], [a,b[, ]a,b[ e il cerchio non sono tra loro
omeomorfi.
- Richiami di algebra lineare. Matrice associata ad una mappa lineare.
Prodotto scalare. Teoremi di Gram-Schmidt e della proiezione
ortogonale.
- Vedi Spazi metrici, II e
Richiami di algebra, I, e
Richiami di algebra, II,
- 30-01-06 --- 2 ore -
- Richiami di algebra lineare. Matrice trasposta. Teorema
dell'alternativa. Inversa di Moore-Penrose e minimi quadrati.
- Autovalori e autovettori. Teorema spettrale per matrici simmetriche.
Caratterizzazione variazionale del massimo autovalore di una matrice
simmetrica.
- 01-02-06 --- 2 ore -
- Norma di una applicazione lineare e sua caratterizzazione
variazionale. Le applicazioni lineari sono lipschitziane.
- Funzioni scalari differenziabili. Matrice jacobiana, vettore
gradiente e suo significato geometrico. Esempi di funzioni non
differenziabili.
- Vedi Calcolo differenziale, I e
Calcolo differenziale, II
- 02-02-06 --- 2 ore -
- Spazio tangente e piano tangente al grafico in un punto.
Funzioni a valori vettoriali. Mappa lineare tangente. Matrice
jacobiana. Spazi tangente e normale al grafico e loro basi.
- Vedi Calcolo differenziale, II.
- 06-02-06 --- 2 ore -
- Calcolo dello spazio tangente e dello spazio normale
al grafico di una funzione.
- Differenziale della somma , del prodotto.
- Regola della catena. Esempi.
- Teorema del differenziale totale. Funzioni di classe C^1.
Funzioni di classe C^2, Teorema di Schwarz sulla matrice hessiana.
- Vedi Teoremi del Calcolo differenziale, I .
- 08-02-06 --- 2 ore -
- 09-02-06 --- 2 ore -
- Funzioni di classe C^2. Derivata seconda in una direzione. Formula
di Taylor con resto di Peano al secondo ordine.
- Punti critici. Teorema di Fermat.
Massimi e limini locali: condizioni necessarie e sufficienti in
termini degli autovalori della matrice hessiana.
- Vedi Teoremi del Calcolo differenziale, II.
- 13-02-06 --- 2 ore -
- Diffeomorfismi. Applicazioni di rango massimo. Esempi: grafico, curve
semplici. Spazio tangente all'immagine di un diffeomorfismo.
Invarianza rispetto a un cambio di parametrizzazione.
Teorema sulle mappe di rango massimo (con dimostrazione).
- Vedi Superfici.
- 15-02-06 --- 2 ore -
- k-superdici immerse e k-sottovarietà. Funzioni implicite. Il caso
lineare. Teorema delle funzioni implicite.
- Vedi Superfici e
Funzioni implicite.
- 16-02-06 --- 2 ore -
- Riduzione del teorema delle funzioni implicite al teorema di
invertibilità locale. Illustrazione
del teroma delle funzioni implicite. Intersezioni di superfici.
- Vinvoli unilateri, bilateri, bilateri lisci. Massimi e minimi locali
vincolati ad una superficie parametrizzata. Punti critici vincolati
ad una superficie diffeomorfa ad un aperto di R^k. Punti critici
vincolati ad un vincolo definito implicitamente nel caso di rango
massimo. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange.
- Vedi Funzioni implicite e
Applicazioni.
- 20-02-06 --- 2 ore - Esercitazione tenuta dalla dott. Lascialfari.
- Funzioni di più variabili e insiemi di livello: loro
utilizzo per lo studio del grafico, dei limiti e dei punti critici.
- 22-02-06 --- 2 ore -
- Il processo di somma o serie. Convergenza e divergenza. Serie e
integrali impropri. Serie a termini positivi. Criterio del confronto.
- La serie geometrica e esempi.
- La serie armonica ed esempi.
- Vedi Serie, I.
- 23-02-06 --- 2 ore -
- Misure esterne. Insiemi misurabili. Misure. La misura di Lebesgue
n-dimensionale.
- L'integrale. Formule di Cavalieri e Tchebicev. Integrale e
area del sottografico. Proprietà vere quasi ovunque.
- Vedi Integrale, I.
- 27-02-06 --- 2 ore -
- 01-03-06 -- 2 ore -
- 02-03-06 -- 2ore -
- Riassunto delle proprietà dell'integrale: formule di
Cavalieri e Tchebitcev, teoremi di Fubini e di cambio di variabili.
Teoremi della media e di derivazione dell'integrale.
- Una misura k-dimensionale in R^n: la misura di Hausdorff.
Formula dell'area. Realizzazioni della formula dell'area per
grafici di funzione e per funzioni a
simmetria polare. Formula di Cauchy.
- Vedi Integrale, II e Misura e Area.
- 06-03-06 -- 2 ore - Esercitazione tenuta dalla dott. Lascialfari.
- 08-03-05 --- 2 ore -
- Campi conservativi e potenziali (con dimostrazioni). Campi
irrotazionali e forme chiuse. Lavoro per un campo irrotazionale.
- Vedi Curve, II e Curve, III
n. 15.17 e seguenti.
- 09-03-05 --- 2 ore -
- Formule di Green. Teorema della divergenza. Calcolo di volumi mediante
integrali di superfici. Significato della
divergenza. Equazione di continuità in forma forte e debole.
- Vedi Le formule di Gauss-Green.
- 13-03-06 -- 2 ore - Esercitazione tenuta dalla dott. Lascialfari.
- 15-03-06 --- 2 ore -
- 16-03-06 --- 2 ore -
Lezioni : 48 h
Eserctazioni : 6 h