Classe di Ingegneria dell'Informazione
Corso di laurea in Ingegneria Informatica. Anno 2004-2005

Corso di Metodi Matematici

Tenuto da: prof. Giuseppe Modica modica@dma.unifi.it

Libro di testo

Libri di consultazione

[G-M,3] {\sc M. Giaquinta, G. Modica}, {\em Analisi Matematica III. Strutture lineari e metriche}, Pitagora editrice, Bologna.

{\sc D. Spiegel}, Variabili complesse, Schaum 15, Mc Graw-Hill.

Note distribuite

• Sulle funzioni olomorfe, le serie di potenze e la $Z$- trasformata olomorfe.pdf
• Su alcuni complementi: miimi quadrati, teorema di punto fisso e alcune applicazioni puntofisso.pdf
• Uno script ingenuo per visualizzare una trasformazione $f:C\to C$, grid2.py

Lezioni svolte

• 20-09-04 --- 2 ore -
  • Introduzione al corso.
  • Numeri complessi. Definizione di derivata complessa e di funzione olomorfa. Esempi.
  • Integrale di linea di una funzione olomorfa.
  • vedi ad es. le note distribuite, cap. 1 e cap. 2.
• 22-09-04 --- 2 ore -
  • Esempi di integrali di linea.
  • Il teorema fondamentale del calcolo.
  • Richiami sulle serie di Taylor: il calcolo di $\pi$ e di $e$.
  • vedere ad es. le note distribuite, cap. 2 (con dimostrazioni), cap. 3 n.3.3, 3.4 e il resto del cap. 3 s.d..
• 23-09-04 --- 2 ore -
  • Spazi di Banach, completezza. Serie in spazi di Banach. Convergenza assoluta e convergenza in norma. Raggio di convergenza. La serie geometrica.
  • vedere ad es. le note distribuite, cap. 4 n. 4.1 - 4.15, (la dimostrazione del n. 4.10 e' facoltativa) e il n. 4.20.
• 24-09-04 --- 2 ore -
  • Esercizi sulla somma di serie di potenze.
• 27-09-04 --- 2 ore -
  • Convergenza uniforme. Continutinuita' della somma delle serie di potenze, derivazione e integrazione termine a termine.
  • vedere ad es. le note distribuite, sez 6.a, 6.b, 6.c, 6.d e 6.e (con dimostrazioni).
• 29-09-04 --- 2 ore - Tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Esempi di somme di serie di potenze. Esempi di funzioni olomorfe. Le funzioni esponenziali e logaritmo complesso.
  • vedere ad es. le note distribuite, sez. 3.9, 4.8, 5.a, 5.b, 5.c, 5.d e 5.e.
• 30-09-04 --- 2 ore -
  • Domini elementari. Teoremi di Goursat e Cauchy. Funzioni olomorfe e serie di potenze.
  • vedere ad es. le note distribuite, sez. 7.a, 7.b (la dimostrazione del n. 7.2 e' facoltativa), 7.c e 7.d con dimostrazioni.
• 01-10-04 --- 2 ore -
  • La funzione generatrice e la $z$-trasformata. Qualche formula di trasformazione. Campionamento lineare, esponenziale, periodico, shift in avanti e indietro.
  • vedere ad es. le note distribuite, n. 5.13, 5.14, 13.11 - 13.16.
• 04-10-04 --- 2 ore -
  • Punti singolari per funzioni olomorfe: singolarita' eliminabili, polari e essenziali e loro caratterizzazione. Calcolo dello sviluppo di Laurent e calcolo del residuo.
  • Calcolo di integrali di funzioni trigonometriche con i residui.
  • vedere ad es. le note distribuite, sez. 10.1 a 10.9 (s.d.), n. 10.10 a 10.18, n 10.19 s.d. e sez. 10.f.
• 06-10-04 --- 2 ore - Tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Esercizi sulla somma di serie di potenze. la funzione potenza complessa.
  • Metodi per il calcolo dei residui.
  • vedere ad es. le note distribuite, sez. 5.f, 5.g e 10.g.
• 07-10-04 --- 2 ore -
  • Qualche calcolo di integrale con il metodo dei residui: integrali generalizzati e di Fourier. Calcolo di somme di serie numeriche: $\ser n 1 ^\infinity 1/n^2=\pi^2/6$.
  • vedere ad es. le note distribuite, sez. 11.b, sez. 11.c da n. 11.7 a 11.10 e sez. 11.e da n. 11.15 a 11.17.
• 08-10-04 --- 2 ore -
  • Equazioni alle differenze del primo e del secondo ordine omogenee e non. Soluzione per induzione, per cambio di variabili, per trasformata $z$: numeri di Fibonacci.
  • Proprieta' della $z$-trasformata.
  • vedere ad es. le note distribuite, sez. 12.a, 12.b, 12.c, 12.d e cap. 13.
• 11-10-04 --- 2 ore -
  • Spazi vettoriali, applicazioni lineari, basi e matrici associate.
  • Cambio di coordinate. Matrici simili.
  • vedere ad es. [G-M,3] cap. II e cap. IV sez. 1.
• 13-10-04 --- 2 ore -- Tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Esercizi sul calcolo di integrali con il metodo dei residui.
  • vedere ad es. le note distribuite, sez. 11.a, 11.b, n. 11.11, e sez. 11.e.
• 14-10-04 --- 2 ore -
  • Sottospazi invarianti per una applicazione lineare. Decomposizione in sottospazi invarianti di uno spazio vettoriale e matrici a blocchi. Autovettori. Autovalori. Ogni matrice con autovalori distinti e' diagonalizzabile. Potenze di matrici simili. Numeri di Fibonacci.
  • vedere ad es. [G-M,3] cap. IV sez. 1.
• 15-10-04 --- 2 ore -
  • Molteplicita' algebrica e geometrica. Autovettori generalizzati. Base di Jordan. Forma di Jordan di una matrice.
  • Potenze di una matrice.
  • Stabilita' per il sistema $X_{n+1}=A X_n$.
  • vedere ad es. [G-M,3] cap. IV, teoremi 4.7 e 4.9 (s.d.) e le note distribuite, sez. 12.e.
• 18-10-04 --- 2 ore -
  • Prodotto scalari. Teorema della proiezione ortogonale, Teorema di Riesz. Teorema dell'alternativa.
  • vedere ad es. [G-M,3] cap. III, in particolare i quadri a p. 60 e 65 e le dimostrazioni relative.
• 20-10-04 --- 2 ore - non tenuta
• 21-10-04 --- 2 ore - non tenuta
• 22-10-04 --- 2 ore - non tenuta
• 25-10-04 --- 2 ore
  • Il metodo dei minimi quadrati. Distanza da un piano. Equazione canonica. Minimi quadrati pesati.
  • Confronto tra funzionali costo: somma delle distanze da tre punti, somma dei quadrati delle distanza da tre punti, massimo delle distanza da tre punti.
  • vedere ad esempio le note distribuite cap1.
• 27-10-04 --- 2 ore - Tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Propriet\`a qualitative delle funzioni olomorfe. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Principio di massimo. Funzioni armoniche. Zeri di funzioni olomorfe.
  • vedere ad esempio le note distribuite sulle funzioni olomorfe, sez. 8.a, 8.b(facoltativo), 8.c.
• 28-10-04 --- 2 ore
  • Prodotto hermitiani. Sovrapposizione di segnali periodici. Polinomi trigonometrici. Uguaglianza dell'energia. Funzione di Dirichlet. Campionamento di un polinomio trigonometrico.
  • vedere ad es. [G-M,3] cap. III, sezione 4.2.
• 29-10-04 --- 2 ore
  • DFT e IDFT su N punti.
  • Il teorema spettrale per operatori autoaggiunti.
  • Diagonalizzazione delle forme quadratiche. Caratterizzazione variazionale del massimo e minimo autovalore di un operatore autoaggiunto. Morma di una matrice e autovalori di $\overline{A}^TA$.
  • vedere ad es. [G-M,3] cap. III, sezione 4.3, cap IV n. 2.1-2.10, n.2.15-2.18 e n. 3.1-3.3.
• 02-11-04 --- 2 ore
  • Piccole ascillazioni e autovalori.
  • Il teorema di punto fisso di Banach.
  • Cenno agli insiemi autosimilari.
  • vedere ad es. [G-M,3] cap. IV, sezione 3.4 e le note complementari, cap 2.
  • vedere ad esempio http://math.rice.edu/~lanius/fractals/
• 03-11-04 --- 2 ore - Tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Ancora sulla caratterizzazione variazionale degli autovalori
  • Forma polare, Decomposizione SVD e applicazioni.
  • vedere ad es. [G-M,3] cap. IV, sezione 3.3.
• 04-11-04 --- 2 ore
  • Teorema di punto fisso e risoluzione di equazioni $f(x)=y$.
  • Sviluppo di $(Id-A/z)^{-1}$ per $|z|>||A||$
  • Esistena e unicit\`a per il problema di Cauchy per un sistema di equazioni ordinarie del primo ordine.
  • vedere ad es. le note sulle funzioni olomorfe, [G-M,3] n.13.20 e le note complementari cap 2 e sezione 3.a.

Lezioni: 38 h.
Esercitazioni: 8 h.