Classe di Ingegneria dell'Informazione
Corso di laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni. Anno 2004-2005
Periodo: 21 febbraio 2005 - 16 aprile 2005, 5 CFU
Tenuto da: prof. Giuseppe Modica giuseppe.modica@unifi.it
M.~Bramanti, C.D.~Pagani, S.~Salsa, Matematica, Calcolo
Infinitesimale e Algebra Lineare, Zanichelli, Bologna,
Capitoli 2.6 - 3.2 - 9 - 10 - 11 e 12 di
La numerazione citata e' quella del libro di testo.
- 21-02-05 --- 2 ore -
- Introduzione al corso.
- Esempi di funzioni di piu' variabili. Rappresentazioni parametriche
di superfici geometriche in $\gr^3$: sfera, iperboloide, toro,
ellissoide. Coordinate cartesiane, polari, cilindriche, sferiche.
- Richiami di algebra lineare: vettori, matrici, prodotto righe per
colonna, nucleo, immagine, prodotto scalare, vettori ortonormali,
proiezione perpendicolare, teorema di Pitagora.
- Vedi Cap.10 Sez. 1 e Cap. 10.
- 22-02-05 --- 2 ore -
- Richiami di algebra lineare: sottospazi ortogonali, matrice trasposta
e sua caratterizzazione. Applicazione trasposta e nucleo:
teorema dell'alternativa.
- Spazi metrici e distanza. Esempi. Successioni convergenti.
Sottoinsiemi aperti e chiusi. Punti aderenti, punti di frontiera.
Funzioni continue fra spazi metrici.
- Vedi Cap. 2 e cap. 11 Sez. 2 e 3.
- 24-02-05 --- 2 ore -
- Limiti in spazi metrici. Proprieta' e teorema di collegamento.
Esempi vari.
- Vedi Cap. 10 Sez. 2.
- 25-02-05 --- 2 ore -
- Sopra e sottolivelli di funzioni continue. Esempi di funzioni
continue: funzioni lipschitziane, applicazioni lineari,
funzione distanza da un sottoinsieme.
- La classe $C^0(X,\mathbb{R}^m)$.
- vedi Cap. 10 Sez. 2.
- 28-02-05 --- 2 ore -
- Distanza da un sottoinsieme. Insiemi chiusi e distanza.
- Funzioni continue: funzioni coordinate, applicazioni lineari.
Continuita' della somma del prodotto e del prodotto di composizione.
- 01-03-05 --- 2 ore -
- Derivate direzionali. Derivate parziali. Esempi: funzioni
omogenee di grado 1. Differenziale. Le funzioni differenziabili
sono continue e hanno derivate direzionali. Gradiente
e suo significato geometrico.
- Applicazione lineare tangente e piano tangente al grafico.
- vedi Cap. 10.
- 03-03-05 --- 2 ore - Non tenuta
- 04-03-05 --- 2 ore -
- Teorema del differenziale totale. Funzioni di classe $C^1$.
Regole di calcolo.
- Funzioni a valori vettoriali. Differenziale.
Matrice jacobiana. Applicazione lineare tangente e suo grafico.
Esempi.
- vedi Cap. 10.
- 07-03-05 --- 2 ore -
- Esercizi su applicazioni lineari tangenti, piano tangente al grafico,
grafico dell'applicazione lineare tangente e oortogonale al grafico
dell'applicazione lineare tangente.
- Differenziale composto. Teorema della media integrale. Funzioni
$C^2$ e teorema di Schwarz.
- vedi Cap. 10.
- 08-03-05 --- 2 ore -
- Matrice hessiana. Forme quadratiche e loro classificazione.
- Formula di Taylor del secondo ordine con resto di Peano per funzioni $C^2$.
- Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per i punti di massimo
e minimo liberi.
- vedi Cap. 10 Sez. 8.
- 10-03-05 --- 2 ore -
- Invertibilità locale.
- Superfici parametrizzate o varietà immerse. Il concetto di
diffeomorfismo. Piano tangente ad una varietà immersa.
Esempi.
- vedi Cap. 10.
- 11-03-05 --- 2 ore -
- Ulteriori esempi di superfici parametrizzate. Il teorema del rango
e suo legame con il teorema di invertibilità locale.
- vedi Cap. 10.
- 14-03-05 --- 2 ore -
- Linee di livello e funzioni definite implicitamente. Esempi.
- Sottovarietà. Il teorema delle funzioni implicite, caso scalare
e caso vettoriale. Piano tangente ad una linea di livello.
Calcolo delle derivate successive. Esempi.
- vedi Cap. 10.
- 15-03-05 --- 2 ore -
- Esercizi sul teorema delle funzioni implicite
- Massimi e minimi vincolati: vincoli unilateri e bilateri.
Condizione di stazionarietà, moltiplicatori di Lagrange.
- vedi Cap 10.
- 17-03-05 --- 2 ore -
- Curve regolari, semplici di classe $C^1$. Curve chiuse. Traiettoria.
Curva come $1$-superficie immersa: retta e spazio tangente ad una curva
in un punto. Lungheza di una curva e suo calcolo come
integrazione del modulo della velocita'. Integrale di una funzione
lungo una curva. Esempi.
- vedi Cap. 9.
- 18-03-05 --- 2 ore -
- Campi, lavoro di una campo lungo una curva. Campi potenziali. Campi
conservativi. Un campo ha potenziale se e solo se e' conservativo.
- Campi irrotazionali. Enunciato del teorema sul'invarianza del lavoro
per deformazioni continue di una curva. Conseguenze: Lemma di Poincare'
e insiemi semplicemente connessi in $\gr^2$ e $\gr^3$ .
- vedi cap. 9e Cap. 11 Sez. 5.
- 21-03-05 --- 2 ore -
- Il processo di somma o serie. Serie convergenti, divergenti
e indeterminate. Serie a termini positivi.
La serie armonica e la serie geometrica. Qualche esempio
concreto in cui si manifestano.
- vedi Cap. 3 Sez. 2
- 22-03-05 --- 2 ore - tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
- 24-03-05 --- 2 ore -
- La nozione di area e di volume. Integrazione per fette.
Esempi a simmetria sferica. Formula di riduzione per gli integrali
doppi e tripli per funzioni nonnegative.
- Vedi Cap. 12.
- 31-03-05 --- 2 ore - non tenuta per elezioni
- 01-04-05 --- 2 ore - non tenuta per elezioni
- 04-04-05 --- 2 ore -
- Formula di riduzione per gli integrali doppi e tripli
- Calcolo di integrali doppi e tripli con la formula di riduzione.
- Vedi Cap. 12.
- 05-04-05 --- 2 ore - tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
- Esercitazione sulle funzioni definite implicitamente.
- 07-04-05 --- 2 ore -
- Variazione di volume per trasformazioni lineari.
La formula di cambiamento di variabile generale.
Esempi vari. Il calcolo dell'integrale della funzione gaussiana.
- Vedi Cap. 12.
- 08-04-05 --- 2 ore -
- Il problema dello scambio dei limiti. Integrali dipendenti da
parametri. Integrali di tipo Fourier.
- Vedi Cap. 12.
- 11-04-05 --- 2 ore -
- Forma polare di una matrice simmetrica. Valori singolari.
Area dell'immagine di un aperto tramite un'applicazione lineare.
Formula generale dell'area. Il calcolo dell'area di alcune superfici
geometriche.
- Vedi Cap. 12.
- 12-04-05 --- 2 ore - tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
- Esercitazione sull'integrazione di funzioni in due e tre variabili.
- 14-04-05 --- 2 ore - tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
- Esercitazione sull'integrazione di funzioni in due e tre variabili.
- 15-04-05 --- 2 ore
- Normale esterna ad un dominio a frontiera regolare: il caso di un
grafico e quello di una linea di livello.
- Enunciato delle formule di Green. Formule di integrazione per parti.
- Il teorma della divergenza. Significato della divergenza
come misura di flusso e come variazione del volume. Applicazione
al calcolo di volumi e/o di superfici.
- Le formule di Green nel piano e il teorema di Stokes. Teorema di
Stokes su una superficie. Significato geometrico del rotore come
misura della circuitazione.
- Vedi Cap. 12.
Lezioni : 44
Eserctazioni : 8