Classe di Ingegneria dell'Informazione
Corso di laurea in Ingegneria Informatica. Anno 2003-2004

Corso di Metodi Matematici

Tenuto da: prof. Giuseppe Modica modica@dma.unifi.it

Libri di consultazione

{\sc M. Giaquinta, G. Modica}, {\em Analisi Matematica III. Strutture lineari e metriche}, Pitagora editrice, Bologna.

{\sc E. Salinelli, F. Tomarelli}, Modelli dinamici discreti, Springer.

{\sc D. Spiegel}, Variabili complesse, Schaum 15, Mc Graw-Hill.

Lezioni svolte

• 04-05-04 --- 2 ore -
  • Introduzione al corso.
  • Principio di induzione. Proposizioni ricorsive. Stime elementari per induzione: binomio di Newton. Serie e integrali impropri. Serie geometrica: quadrato di Sierpinski. Serie armonica e sue stime logaritmiche. Stima del costo per algoritmi a partizionamento.
  • vedi G.-M., II, cap1, e cap.6, 2.3, 2.4, 2.5, 2.20, cap.8 n.1.6.
• 05-05-04 --- 2 ore -
  • Equazioni alle differenze del primo ordine onomegnee e non. Soluzioni. Esempi. Dinamica.
  • Richiami di algebra lineare: formula del rango, rango di di una matrice e della sua trasposta. Matrice associata ad un'aplicazione lineare. Cambiamenti di base.
• 06-05-04 --- 2 ore -
  • Prodotti scalari: norma associata ad un prodotto scalare. Teoremi di Carnot e Pitagora. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Teorema della proiezione ortogonale. teorema di Riesz. Operatore aggiunto. Teorema dell'alternativa.
  • vedi G.-M., III, cap. 3, Sezione 1 oppure le note prscalari.pdf
• 07-05-04 --- 2 ore - Dott.ssa F. Lascialfari
  • Esercizi su cambiamenti di base, prodotti scalari, procedimento di Gram-Schmidt.
• 11-05-04 --- 2 ore -
  • Operatore aggiunto e matrice trasposta. Il metodo dei minimi quadrati. Suo significato geometrico. Equazione canonica.
  • Vedi G.-M., III, sez. 1.2 n.1.18-1.20 oppute le note in prscalari.pdf
• 12-05-04 --- 2 ore -
  • Polinomi trigonometrici reali e complessi. Prodotto hermitiani. Significato geometrico dei coefficienti di Fourier. Uguaglianza dell'energia.
  • Sottospazi invarianti per un opratore lineare. Autovettori. Autovalori. Equazione caratteristica.
  • Vedi G.-M., III, cap. V, sez. 4, III, cap. III, sez. 4.2, n. 4.8-4.12, III, cap IV, sez. 1.
• 13-05-04 --- 2 ore -
  • Autovalori e autovettori di matrici complesse. Descrizione della forma canonica di Jordan e passi per ottenerla.
  • Vedi G.-M., III, cap. IV, sez. 4.3: la discussione precedente il teorema 4.3 e il teorema 4.3 (s.d.).
• 14-05-04 --- 2 ore - Dott.ssa F. Lascialfari
  • Matrici simmetriche e hermitiane, operatori autoaggiunti. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti.
• 18-05-04 --- 2 ore -
  • Teorema spettrale nelle varie forme. Forme quadratiche. Caratterizzazione variazionale del massimo e minimo autovalore. Operatori positivi: la matrice $A^TA$. Potenze di un operatore autoaggiunto
  • Vedi G.-M., III, cap. IV, sez. 2.1, 3.1, 3.2 n. 3.1 a 3.3, 3.14, 3.15.
• 19-05-04 --- 2 ore -
  • Sospesa dal preside per assemblea.
• 20-05-04 --- 2 ore - Dott. A. Calamai
  • Funzioni convesse di una variabile. Proprieta'. Diseguaglianza di Jensen.
  • Vedi ad esempio G.-M., vol. I o note convex1.pdf
• 21-05-04 --- 2 ore - Dott.ssa F. Lascialfari
  • Esercizi sul teorema spettrale e la decomposizione di Jordan.
• 25-05-04 --- 2 ore -
  • Forma polare. Valori singolari. Significato geometrico. Decomposizione di Shur di una matrice.
  • Ricorrenze lineari del primo ordine lineari onogeneee e non omogenee.
  • Sistemi di ricorrenze lineari del primo ordine lineari omogenee. Il caso di una matrice simmetrica.
  • Sistema di oscillatori lineari accoppiati.
  • Vedi G.-M. vol. III, Cap. IV, n. 3.18-3.20 e sez. 3.4.
• 26-05-04 --- 2 ore -
  • Sistemi di ricorrenze lineari del primo ordine lineari omogenee. Potenze di una matrice e forma di Jordan. Decadimento e autovalori.
  • Sistemi di ricorrenze lineari non omogenee.
  • Vedi note sistemi.pdf
• 27-05-04 --- 2 ore - Dott. A. Calamai
  • Disuguaglianza di Jensen discreta nel caso strettamente convesso. Disuguaglianze sulle medie e disuguaglianza di Young. Entropia: motivazione e massimo dell'entropia.
  • Vedi note convex1.pdf
• 28-05-04 --- 2 ore -
  • Il metodo delle serie di potenze. Ricorrenze del primo ordine. Serie di potenze. La serie geometrica. Convergenza puntuale, uniforme, uniforme sui compatti. Raggio di convergenza.
  • Vedi G.-M. Vol. II.
  • Derivata complessa. Funzioni olomorfe e funzioni differenziabili. Equazioni di Cauchy-Riemann.
  • Vedi Spiegel o note olomorfe.pdf
• 01-06-04 --- 2 ore -
  • Il teorema fondamentale del calcolo per funzioni olomorfe.
  • La somma di una serie di potenze e' olomorfa e la derivata e' la serie derivata.
  • Curve chiuse e bordi di domini ammissibili. Il caso di $1/z$.
  • Enunciato del teorema di Morera. Cenno all'indice di allacciamento.
• 02-06-04 -- Festa nazionale
• 03-06-04 --- 2 ore -
  • Teoremi di Hadamard, Cauchy, Morera. Sviluppo in serie di potenze.
• 04-06-04 --- 2 ore - Dott.ssa F. Lascialfari
  • Esempi di funzioni olomorfe: $e^z$, $\log z$, $\sin z$.
  • Funzioni armoniche.
• 08-06-04 --- 2 ore -
  • Teorema di Liouville e teorema fondamentale dell'algebra.
  • Singolarita' puntuali di funzioni olomorfe. Teoremi di caratterizzazione delle singolarita' eliminabili, polari e essenziali (s.d.). Sviluppo in serie di Laurent.
  • Definizione di residuo.
• 09-06-04 --- 2 ore - Dott.ssa F. Lascialfari
  • Richiami su: integrali di funzioni olomorfe: definizione, teorema fondamentale del calcolo, teorema di Morera. teorema dei residui (solo enunciato). I tre tipi di singolarita'. Definizione di residuo.
  • Calcolo di residui direttamente dallo sviluppo in serie di potenze. Calcolo di residui nel caso di polo semplice e polo doppio. Formula per il calcolo del residuo per il rapporto tra due funzioni di cui quella al denominatore ha una zero semplice e il numeratore e' una funzione olomorfa.
  • Calcolo di integrali di funzioni razionali nelle variabili sen t e cos t
• 10-06-04 --- 2 ore - Dott.ssa F. Lascialfari
  • Calcolo di integrali impropri di funzioni olomorfe nel sempiniano Imz>0 e con la proprieta' all'infinito e il caso particolare del rapporto tra due polinomi con denominatore senza zeri reali.
  • Calcolo di integrali di tipo Fourier con il metodo dei residui.
  • Calcolo degli integrali di Fresnel. di $\int_0^\ii e^{-x^2}dx$ e di $\int_0^\ii \frac{\sin x}{x} dx$.
• 11-06-04 --- 2 ore -
  • Calcolo di integrali di tipo Fourier con il metodo dei residui.
• 15-06-04 --- 2 ore -
  • Calcolo degli integrali di Fresnel, di $\int_0^\ii e^{-x^2}dx$ e di $\int_0^\ii \frac{\sin x}{x} dx$.
  • Calcolo della somma di serie con il metodo dei resisui.
• 16-06-04 --- 2 ore -
  • Calcolo della somma di serie con il metodo dei resisui. Esempi $\ser n 1 \ii 1/n^2$, $\ser n 1 \ii 1/(n^2+a^2)$. Sviluppi di Mittag-Leffler e formula di Eulero per $\sin z/z$.
• 17-06-04 --- 2 ore -
  • La $z$-trasformata. Proprieta'. Prodotto di convoluzionei di due successioni. Teorema di Cauchy
  • Un esempio: i numeri di Fibonacci.
  • Estensioni del metodo della $z$-trasformata.
• 18-06-04 --- 2 ore - Non tenuta

Riepilogo

Lezioni svolte dalla dott. Lascialfari, titolare di un contratto di collaborazione didattica: 12

Lezioni tenute dal dott. A. Calamai: 4.