Classe di Ingegneria dell'Informazione
Corso di laurea in Ingegneria Informatica. Anno 2002-2003

Corso di Metodi Matematici I

Periodo: 5 maggio 2003 - 20 Giugno 2003, 5 CFU

Tenuto da: prof. Giuseppe Modica modica@dma.unifi.it

Libri di consultazione

{\sc M. Giaquinta, G. Modica}, {\em Analisi Matematica II. Approssimazione e processi discreti}, Pitagora editrice, Bologna.

{\sc M. Giaquinta, G. Modica}, {\em Analisi Matematica III. Strutture lineari e metriche}, Pitagora editrice, Bologna.

{\sc E. Salinelli, F. Tomarelli}, Modelli dinamici discreti, Springer.

{\sc D. Spiegel}, Variabili complesse, Schaum 15, Mc Graw-Hill.

Lezioni svolte

05-05-03 --- 2 ore -
- Introduzione al corso.
- Funzioni convesse e loro proprieta'. Stime elementari derivanti dalla convessita'
- Vedi G.-M., Vol. I, cap 5, o note convex1.ps distribuite.
06-05-03 --- 2 ore -
- Diseguaglianza di Jensen, diseguaglianza di Jensen discreta. Media artimetica, media quadratica, media geometrica, media armonica.
- Diseguaglianza di Hadamard sulle matrici quadrate.
- Vedi note convex2.ps distribuite.
07-05-03 --- 2 ore -
- Media $p$, $p\in\gr$, diseguaglianza di Hadamard sulle matrici quadrate, entropia e massimo dell'entropia.
- Vedi note convex2.ps distribuite.
08-05-03 --- 2 ore -
- Numeri interi naturali. Principio di induzione. Numeri interi come sottoinsime dei reali. Proposizioni ricorsive. Stime elementari per induzione: diseguaglianza di Bernoulli, binomio di Newton. Serie e integrali impropri. Serie geometrica: quadrato di Sierpinski. Serie armonica e sue stime logaritmiche.
- G.-M., II, cap1, e cap.6, 2.3, 2.4, 2.5, 2.20.
12-05-03 --- 2 ore -
- Esercizi vari.
- Stime del tempo medio del quicksort. Stima del costo per algoritmi a partizionamento.
- G.-M., II, cap 6, 1.1-1.5, 2.20, 4.10-4.17.
13-05-03 --- 2 ore -
- Equazioni alle differenze del primo ordine onomegnee e non. Soluzioni. Esempi. Dinamica.
- G.-M., II, cap8, 1.2.
14-05-03 --- 2 ore -
- Equazioni alle differenze di ordine due e superiore a due omogenee. Soluzioni. Esempi. Dinamica.
- G.-M., II, cap 8, 1.2.
15-05-03 --- 2 ore -
- Equazioni alle differenze non omogenee. Soluzione particolare. Relazione con la formula di Duhamel per le equazioni differenziali ordinarie. Discussione sulla dinamica.
- Vedi note equa-diff.ps
- Equazioni alle differenze di ordine $k$ e sistemi di $k$ equazioni alle differenze del primo ordine. Potenze di una matrice.
- Richiami di algebra lineare. Matrici simili.
19-05-03 --- 2 ore -
- Non tenuta per festeggiamenti dei proff. R. Conti e G. Villari.
20-05-03 --- 2 ore -
- Prodotti scalari: norma associata ad un prodotto scalare. Teoremi di Carnot e Pitagora. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Teorema della proiezione ortogonale. teorema di Riesz. Operatore aggiunto. Teorema dell'alternativa.
- G.-M., III, cap. 3, Sezione 1 oppure le note prscalari.ps
21-05-03 --- 2 ore -
- Polinomi Trigonometrici. Uguaglianza dell'energia. Spettro. Funzione di Dirichlet. Campionamento.
- G.-M., III, Cap. 3, Sezione 4.2.
22-05-03 --- 2 ore -
- Il metodo dei minimi quadrati. L'equazione canonica. Il caso della retta di regressione.
- Vedi note prscalari.ps
26-05-03 --- 2 ore -
- Matrici diagonalizzabili e autovettori. Autovettori con autovalori diffferenti sono indipendenti.
- Operatori autoaggiunti. Gli autovalori sono reali. Se $V\sb\gr^n$ \`e invariante, allora $V^\perp$ \`e invariante. Il teorema spettrale nelle varie forme. Proiettori. Caratterizzazione delle matrici simmetriche.
- Forma quadratica associata ad una matrice simmetrica. Caratterizzazione variazionale degli autovalori.
- Funzione di matrici simmetriche. Calcolo delle potenze.
- La matrice $(A^*A)^{1/2}$.
- Vedi G.-M., III, cap. 4, 0.1-2.10, 3.1,3.2,3.3,3.6,3.7,3.14-3.17.
27-05-03 --- 2 ore -
- Decomposizione polare di una matrice. Decomposizione SVD.
- Autovalori generalizzati. Decomposizione a blocchi. matrici nilpotenti. Forma di Jordan.
- Vedi G.-M., III, Cap. 4, 3.18-3.20.
28-05-03 --- 2 ore - Tenuta dalla dott.ssa Chiara Brambilla
- Proiettori. Diagonalizzazione. Piccole oscillazioni. Sistemi di equazioni differenziali ordinarie tempo invarianti. Vedi G.-M., III, Cap 4, 5.37 e Sez. 3.4.
29-05-03 --- 2 ore -
- Esercizi: Il metodo dei minimi quadrati. Applicazione della diagonalizzazione e della forma di Jordan ai sistemi lineari di equazioni alle differenze.
- Teorema di stabilit\`a per le soluzioni di sistemi di equazioni alle differenze omogenee.
03-06-03 --- 2 ore -
- Lavoro e forza. Forme differenziali e campi. Campi conservativi e potenziali. Lavoro di un campo o di una forma differenziale lungo una curva. Invarianza del lavoro di una forma rispetto alle coordinate e alle parametrizzazioni. Teorema fondamentale del calcolo.
04-06-03 --- 2 ore -
- Funzioni olomorfe. Le fuznioni olomorfe sono differenziabili. Equazioni di cCuachy-Riemann e loro interpretazione geometrica. Differenziali olomorfi, primitive olomorfe e campi conservativi.
05-06-03 --- 2 ore - Tenuta dalla dott.ssa Chiara Brambilla
- esempio di decomposizione polare
- esempio di forma canonica di Jordan
- funzioni olomorfe: richiami su definizione, condizioni di Cauchy-Riemann, legame con trasformazioni conformi dirette del piano
- esempio: f(z)=1/z.
06-06-03 --- 2 ore -
- non tenuta per workshop sulla sicurezza delle reti.
09-06-03 --- 2 ore -
- Funzioni olomorfe, teorema fondamentale del calcolo. Olomorfia e forme chiuse. Propriet\`a delle forme chiuse.
- Vedi note olomorfe.ps.
10-06-03 --- 2 ore -
- Caratterizzazione delle funzioni olomorfe in termini della formula di Cauchy e degli sviluppi in serie di potenze.
- Vedi Spiegel, cap 4,5. e/o note olomorfe.ps.
11-06-03 --- 2 ore -
- Zeri di funzioni olomorfe. Teorema di Liouville, Teorema fondamentale dell'algebra.
- Sigolarit\`a puntuali di funzioni olomorfe. Singolarita' eliminabili: teorema di Riemann, singolarita' polari, siingolarita' essenziali.
- Vedi Spiegel, cap 5,6. e/o note olomorfe.ps.
12-06-03 --- 2 ore -
- Serie di Laurent. Teorema dei residui.
- Esempi di funzioni olomerfe. Invertibilita' locale. Logaritmo complesso. Potenze.
- Vedi Spiegel, cap 6. e/o note olomorfe.ps
16-06-03 --- 2 ore -
- La $z$-trasformata e suo uso nella risoluzione delle equazioni alle differenze.
17-06-03 --- 2 ore -
- Calcolo di integrali con il metodi dei residui. Integrali impropri su $\gr$, integrali di tipo Fourier, $\int_0^\infty \sinx/x dx$.
- vedi Spiegel cap. 7 e/o note olomorfe.ps
18-06-03 --- 2 ore - Tenuta dalla dott.ssa Chiara Brambilla
- Trasformazione di domini del piano complesso, funzione esponenziale
- Richiami ed esempi di singolarita' puntuali
- Integrali di Fresnel
- Funzione Gamma
- vedi Spiegel,cap.7 e 11,12,13,14 pagg 280-281.
19-02-03 --- 2 ore -
- Residui e calcolo della somma di alcune serie (ad es. $\sum_{k=1}^\infty 1/k^2$)
- Prodotto do convoluzione e prodotti di somme: il teorema di Cauchy.
- vedi Spiegel cap. 7.
- FINE CORSO

Riepilogo

Lezioni svolte: 44 ore
Esercitazioni svolte dalla dott.ssa Chiara Brambilla : 6 ore
Totale: 50 ore.