Universita' di Firenze
Facolta' di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Informatica

Corso di Complementi di matematica I

tenuto da: Giuseppe Modica modica@dma.unifi.it

Libri consigliati

• M. Giaquinta, G. Modica, Analisi Matematica, II, Approssimazione e processi discreti, Pitagora, Bologna.
• T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, Algoritmi, Jackson Libri.

Lezioni svolte

• 29-04-02 --- 2h
  • Introduzione al corso.
  • Principio di induzione. Esempi: $2^n\ge n$. Definizioni induttive. Potenze, Somma, Fattoriale, Somme parziali. Cap. 1, Sez.3 (escluso 3.16, per ora), Cap. 2, Sez. 1.1.
  • $\gN$ e $\gR$. Limiti e limiti di successioni. Cap. 2, tabella a p.48 (s.d.).
• 30-04-02 --- 2h
  • Approssimazione e formula di Taylor: Approssimazione di $e$ e di $\pi$. Cap. 6. Sez. 2.3 e Cap. 7 Esempio 4.3.
  • Binomio di Newton: $n!\ge n^n e^{-n}$ per induzione. Cenno alla formula di Stirling, Cap. 2, esempio 4.17 (s.d.) Stime sui coefficienti binomiali. Stima sulla coda della distribuzione binomiale.
  • La serie come integrale improprio. Serie armonica e logaritmo.
• 03-05-02 --- 2h
  • Funzioni convesse in una variabile. Proprieta' varie e applicazioni. Medie pesate. La diseguaglianza di Jensen con dimostrazione. Applicazione alla funzione entropia. Vedi note distribuite 2002-05-06.ps.
• 06-05-02 --- 2h
  • Medie. Media armonica, media quadratica, media geometrica. Applicazione della diseguaglianza di Jensen alla funzione $p\to $\ds{\frac{1}{n}\Big(\sum_{i=1}^n x_i^p\Big)^{1/p}}$. Stima $\set(A)\le n^{-n/2} ||A||_2$ per le matrici. Vedi note distribuite 2002-05-06.ps.
  • La serie come processo di somma. Analogia e interazioni con le equazioni differenziali. Serie geometrica. Vol. II Cap. 6 Sez.1
• 07-05-02 --- 2h
  • Interesse composto. Torre di Hanoi. Stime esponenziali. Costo dei algoritmi: stime polinomiali dall'alto.
• 08-05-02 --- 2h
  • Costo degli algoritmi: stime polinomiali dal basso. costo medio del quicksort e serie armonica. vedi Cap. 8, Esempio 1.6 e Cap. 8, Sez 1.1 (numeri 1.11. e 1.12)
  • Richiami sui numeri complessi: piano di Gauss, forma polare, formule di De Moivre e Eulero, moto circolare uniforme, applicazioni alla geometria del piano: criterio di congruenza di triangoli. Qualche illustrazione (s.d.): triangolo di Napoleone, punto di Fermat: soluzioni di Torricelli e Barrow, teorema di Morley, retta di Eulero e cerchio dei 9 punti, vedi Cap. 4, Sez 1.1 e Sez. 3.
• 10-05-02 --- 2h
  • Richiami sulle serie di potenze e sulle serie complesse. Trasformata $z$. Ricorrenze del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee: il metodo delle serie di potenze, l'equazione caratteristica e la soluzione generale. Prodotto di convoluzione di successioni e teorema di Cauchy. Vedi Cap. 6 Sez. 3.2, teorema 3.15 (s.d). Cap. 7 Sez. 6: Introduzione ed esempi 6.19 e 6.20, Cap. 8 sez. 1.13.
• 13-05-02 --- 2h
  • Risoluzione di ricorenze lineari a coefficienti costanti. I. La ricetta, II. Il metodo della $z$-trasformata. III. La riduzione a una ricorrenza del primo ordine per un vettore, e interpretazione come sistema di ricorrenze del primo ordine. Soluzione con potenze di una matrice. Vedi Cap. 8, Sez. 1.13, 1.14.
• 14-05-02 --- 2h
  • Richiami di algebra lineare: vettori, coordinate. Cambi di coordinate. Covarianza e controvarianza. Prodotti scalari. Teorema di Gram-Schmidt. Matrice trasposta. Le righe di $A$ generano l'ortogonale al nucleo di $A$.
• 15-05-02 --- 2h
  • Teorema della proiezione ortogonale. Operatore aggiunto. Minimi quadrati e sua interpretazione come minima distanza da un $k$ piano parametrizzato. Equazioni canoniche. Esempi: retta e piano di regressione, retta di regressione in $\gr^3$, minimi quadrati pesati. Vedi ad esempio Vol. III, Cap. 3 Sez. 1, e Sez. 4.4 o note distribuite 2002-05-15.ps.
• 17-05-02 --- 2h
  • Non tenuta
• 20-05-02 --- 2h
  • Esempi ed esercizi sul metodo dei minimi quadrati.
• 21-05-02 --- 2h
  • Autovettori e direzioni invarianti. Diagonalizzabilita' di una matrice quadrata e esistenza di una base di autovettori. Caso reale e caso complesso. Autovalori. Equazioni caratteristica. Vedi note distribuite 2002-05-22.ps.
  • Teorema spettrale per operatori autoaggiunti nelle varie formulazioni. Vedi note distribuite 2002-05-22.ps.
  • Applicazioni: il metodo variazionale di Raleigh-Riesz, Riduzione a forma canonica di una forma quadratica, Operatori autoaggiunti positivi: potenze di una matrice autoaggiunta. forma polare, valori singolari e decomposizione SVD. Vedi note distribuite 2002-05-22.ps. n. 5.31-5.32, 5.33-5.34 (s.d.), 5.35, 5.36, 5.43-5.49.
• 22-05-02 --- 3h
  • Forma polare. Valori singolari. Teorema di Shur e algoritmo "singular value decomposition". Relazione tra autovalori e valori singolari. Massima dilatazione di una palla come piu' grande valore singolare. Vedi note distribuite 2002-05-22.ps, n. 5.72.
  • Cenni alla decomposizione spettrale sui complessi e agli operatori normali.
  • Applicazioni alle ricorrenze lineari $X_{k+1}=A\, X_k$. Il caso in cui $A$ ha autovalori tutti distinti. Il caso in cui $A$ e' autoaggiunta o normale.
  • La forma di Jordan. Autovettori generalizzati. Teorema di decomposizione. Vedi note distribuite 2002-05-22.ps, n. 5.56(s.d.), 5.4.3(s.d).
  • Svolgere alcuni esercizi proposti nelle Vedi note distribuite 2002-05-22.ps, ad esempio la sezione 5.4.3, o alcuni degli esercizi finali da 5.60 a 5.93.
• 24-05-02 --- 2h
  • Esercizi sui sistemi di equazioni alle differenze. Struttura delle generale delle soluzioni. Una applicazione ai sistemi di equazioni differenziali: sistema di oscillatori armonici.
• 27-05-02 --- 2h
  • Spazi metrici, distanze e topologia: definizioni e risultati rilevanti.
  • Vedi note distrinuite 2002-05-30.ps: guardare le Sez. 1,2,3,4 con lo scopo di imparare il linguaggio e fare semplici manipolazioni. Saltare le dimostrazioni. Fare comunque qualche esercizio e qualche dimostrazione.
• 28-05-02 --- 2h
  • Successioni di Cauchy. Spazi metrici completi. $\gr$, $\gr^n$ sono spazi metrici completi. Il teorema di punto fisso di Banach. Risoluzione di sistemi lineari per iterazione. Risoluzione di sistemi non lineari per iterazione. Applicazione alla invertibilita' locale di una mappa $\gr^n\to\gr^n$ (c.d.).
  • Vedi note distribuite 2002-05-30.ps: Sez. 5 (da 6.92 a 6.100 fare tutte le dimostrazioni)
• 29-05-02 --- 2h
  • Distanza da un sottoinsieme di un spazio metrico. Intormo tubolare. Eccesso. Distanza di Hausdorff tra sottoinsiemi. Lo spazio di Hausdorff. IFS di contrazioni e contrazioni sullo spazio di Hausdorff. Insieme invariante per un IFS di contrazioni. Insieme di Cantor. Curva di von Koch. Berretto di Sierpinski.
  • vedi note distribuite 2002-06-03.ps
• 31-05-01 --- 2h
  • IFS fortemente autosimili. Totale sconnessione. Rappresentazione di un IFS di $N$ contrazioni come successioni infinite di $N$ simboli.
  • Misura di Hausdorff. Dimensione di Hausdorff. Altre definizioi di dimensione: Minkowski, packing, box counting e relazioni fra loro.
  • vedi note distribuite 2002-06-03.ps
• 03-06-02 --- 1h
  • IFS di similitudini contrattive. Dimensione di similitudine. Condizione dell'aperto e insiemi invarianti autosimili. Il calcolo della dimensione per i vari berretti, tappeti e cubi di Sierpinski, la curva di von Koch, gli insiemi di Cantor.
  • vedi note distribuite 2002-06-03.ps
• 04-06-02 --- 2h
  • L'algoritmo di Euclide. L'algoritmo di Euclide per il massimo comun divisore (c.d.). Numeri razionali e irrazionali. Irrazionalita del rapporto fra lato e diagonale del pentagono (c.d.). Numeri di Fibonacci e numero di passi dell'algoritmo di Euclide: teorema di Lame' (c.d.)
  • vedi Vol. II, Cap. 3, Sez. 1 e Cormen e altri, cap. 33.
• 05-06002 --- 2h
  • Teorema di Bezout (c.d.). Risoluzione di equazioni a coefficienti interi lineari ax+by=c. Algoritmo di Euclide generalizzato per il calcolo di una soluzione di una equazione lineare intera (c.d.). Numeri primi. Teorema fondamentale dell'aritmetica (c.d.). Teorema di Euclide (c.d.). Distribuzione dei primi (s.d.). Congruenze e classi resto. $Z_p$.
  • vedi Vol. II, Cap. 3, Sez. 1 e Cormen e altri, cap. 33.
• 07-06-02 --- Non tenuta
• 10-06-02 --- 2h
  • La relazione di congruenza. Operazioni di somma e moltiplicazione modulare. $Z_p$. Risoluzione di equazioni lineari modulari (c.d.). Elementi invertibili di $Z_p$. Codifica modulare 1x1. Matrici $M_{n,n}(Z_p)$. Matrici invertibili modulo $p$ e determinante modulo $p$ (c.d.). Codifica $n\times n$ modulo $p$. Struttura ciclica di $Z_p$ come gruppo additivo.
  • vedi Vol. II, Cap. 3, Sez. 1 e Cormen e altri, cap. 33.
• 11-06-02 --- 2h
  • Il teorema cinese sui sistemi di congruenze.
  • Struttura moltiplicativa di $Z_p^*$. Gruppi ciclici. Elementi primitivi. Un esempio $Z_7$. Il teorma di Fermat. La generalizzazione al caso libero da quadrati. Funzione $\phi$ di Eulero e teorema di Eulero.
  • Comunicarsi una chiave su un canale insicuro con l'aritmetica modilare.
  • Il metodo di comunicazione della crittografia RSA a chiave pubblica.
  • --------- Fine del corso -------------
  • vedi Vol. II, Cap. 3, Sez. 1 e Cormen e altri, cap. 33.

Lezioni svolte:

Firenze 11-06-02

Giuseppe Modica