Universita' di Firenze
Facolta' di Scienze M. F. N.
Corso di Laurea in Matematica

Corso di Analisi Superiore

tenuto da: Giuseppe Modica modica@dma.unifi.it

Primo modulo: Equazioni ellittiche

• E. Giusti, Metodi diretti nel calcolo delle Variazioni, UMI
• L. C. Evans, Partial Differential Equations, AMS

Lezioni svolte

• 01-10-01 --- 2h
  • Introduzione al corso.
  • Principio di Dirichlet, Teorema di Riesz e teorema delle proiezioni. $H$ e $\mathcal{L}(H,\mathbf{R})$ sono isomorfi. Operatore aggiunto.
  • Operatori e forme bilineari. Operatori e forme bilineari coercive: teorema di Lax-Milgram. Il caso degli spazi di Hilbert separabili. Metodo di Faedo-Galerkin.
• 02-10-01 --- 2h
  • Operatori compatti su uno spazio di Hilbert. Approssimazione con operatori di rango finito.
  • Teorema dell'alternativa per le perturbazioni compatte di un isomorfismo.
  • Cenni a operatori di Fredholm e parametrice.
  • Lo spettro di un operatore compatto su uno spazio di Hilbert.
• 08-10-01 --- 2h
  • Operatori continui autoaggiunti. Norma e localizzazione variazionale dello spettro. Teorema spettrale per gli operatori compatti autoaggiunti.
  • La teoria di Hilbert-Schmidt.
• 09-10-01 --- 2h
  • Caratterizzazione variazionale degli autovalori. Caratterizzazione Max-Min di Courant.
  • Teorema di differenziabilita' di Lebesgue. Lemma di ricoprimento. Funzione massimale. Stima debole
• 15-10-01 --- 2h
  • Punti di Lebesgue e rappresentante di Lebesgue.
  • Derivata debole. Spazi $W^{1,p}(\Omega)$. Completezza, separabilita'. Convoluzioni. Convergenza delle convoluzioni in $W^{1,p}_{\mathrm{loc}}$
  • Partizioni dell'unita'. Densita' di $C^\infty(\Omega)$ in $W^{1,p}(\Omega)$: teorema $H=W$.
• 16-10-01 ---2h
  • Composizione di funzioni $C^1$ con funzioni $W^{1,p}$.
  • Troncature, composizione di funzioni Lipschitziane con funzioni $W^{1,p}$.
  • Composizione di funzioni $W^{1,p}$ con diffeomorfismi. Localizzazione.
• 22-10-01 --- 2h
  • $C^\infty{\overline\Omega}$ \`e denso in $W^{1,p}(\Omega)$. Esetensioni di funzioni $W^{1,p}(\Omega)$. Tracce di funzioni $W^{1,p}(\O)$.
• 23-10-01 --- 2h
  • Funzioni a traccia nulla e $W^{1,p}_0(\Omega)$.
  • Differenziabilita' $L^p$ quasi ovunque. Differenziabilia classica q.o. per funzioni di $W^{1,p}$, $p>n$. Teorema di Morrey-Sobolev: locale h\"olderianita'.
• 29-10-01 --- 2h
  • Funzioni lipschitziane e $W^{1,\infty}$. Teorema di Rademacher. Teorema di tipo Lusin per funzioni $W^{1,p}$. Spazi di Morrey e h\"olderianita'. Teoremi di immmersione di Sobolev-Morrey e teorema di immersione di Gagliardo.
• 30-10-01 --- 2h
  • Criterio di compattezza in $L^p$. Teorema di Rellich. Disuguaglianze di tipo Poincare e Sobolev-Poincare. Rapporti incrementali.
• 05-11-01 --- Non tenuta
• 06-11-01 --- Non tenuta
• 09-11-01 --- 2h
  • Seminario dott.ssa A. Migliorini: Sulla convergenza debole in $L^1$
• 12-11-01 --- 2h
  • Equazioni in forma di divergenza. Operatori ellittici. Soluzioni deboli e soluzioni classiche. Coercivita'. Esistenza per il problema di Dirichlet. Stima ellittica.
• 13-11-01 --- 2h
  • Debole coercivita' e esistenza. Autovalori di un operatore ellittico. Teorema di Fredholm. Caratterizzazione variazionale degli autovalori.
  • La questione della regolarita' delle soluzioni deboli.
• 19-11-01 --- 2h
  • Rapporti incrementali e regolarizzazione hilbertiana. Stime all'interno. Diseguaglianza di Caccioppoli. Stime di decadimento per equazioni a coefficienti costanti.
• 20-11-01 --- 2h
  • Spazi di Campanato e caratterizzazione delle funzioni holderiane di Campanato. Un risultato modello di regolarita' h\"olderiana.
• 23-11-01 --- 2h
  • Seminario D. Karni: Sul principio di massimo di Alezandrov
• 26-11-01 --- 2h
  • Seminario dott. M. Romito: Moto browniano e Laplaciano
• 03-12-01 --- 2h
  • Il teorema di DeGiorgi-Nash-Moser. Limitatezza locale e stima di densita'
• 04-12-01 --- 2h
  • Holderianita' locale delle soluzioni
• 07-12-01 --- 2h
  • Seminario dott. P. Salani: Soluzioni viscosita' e equazioni di Monge-Ampere
• 10-12-01 --- 2h
  • Disuguaglianze di Harnack e Harnack debole
• 11-12-01 --- 2h
  • Seminario F. Dragoni: Equazioni paraboliche
• 14-12-01 --- 2h
  • Seminario dott. F. Chicco: Stime degli autovalori di un operatore ellittico.
• 17-12-01 --- 2h
  • Seminario dott. F. Bedulli: Il teorema di Hodge sulle forme armoniche
• 18-12-01 --- 2h
  • Seminario dott. G. Cupini: Alcuni risultati di regolarita' per minimi locali e quasi-minimi di funzionali integrali.
• 21-01-02 --- 2h
  • Seminario dott. Valdesalici: Stime di Schauder per operatori ellittici
• 01-02-02 --- 2h
  • Seminario D. Giorni: Stime $L^p$ per equazioni ellittiche e teorema di interpolazione di Stampacchia.

Riassunto

• Lezioni svolte: 34h
• Seminari : 20h

Secondo Modulo: Teoria della Misura

• W. Rudin, Analisi reale e Complessa, Boringhieri
• L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara, Functions of Bounded variation and free discontinuity problems, Clarendon Press, Oxford.

Lezioni svolte

• 25-02-02 --- 2h
  • L'integrale rispetto ad una misura
• 26-02-02 --- 2h
  • Misure e misure esterne. Il metodo I di costrunzione di misure esterne La misura di Lebesgue, la misura di Stieljes-Lebesgue
• 04-03-02 --- 2h
  • Misure prodotto. Spazi metrici e misure di Borel e borel regolari. Il metodo II di costruzione delle misure. Criterio di Caratheodory. Proprieta di approssimazione con aperti e con chiusi. Teorema di Lusin.
• 05-03-02 --- 2h
  • Misure di Hausdorff. Dimensione. Prime proprieta'. Densita'.
• 06-03-02 --- 2h
  • Stime di densita' e prime conseguenze. Teoremi di ricprimento e stime di densita'.
• 12-03-02 --- 2h
  • Spazi localmente compatti, partizioni dell'unita' a supporto compatto. Teorema di Lusin.
  • Teorema di Radon-Nykodym. Integrale di Stieljes-Lebesgue. Derivabilta' quasi ovunque delle funzioni monotone. Teorema di Vitali sulle funzioni assolutamente continue. Derivabilita' delle funzioni lipschitziane di variabile reale.
  • Teorema di rappresentazione di Riesz
• 15-03-02 --- 2h
  • Seminario del dott. M. Focardi: Integrazione e disintegrazione di misure.
• 18-03-02 --- 2h
  • Seminario della dott.ssa A. Migliorini: Convergenza debole di misure e topologie deboli in Analisi Funzionale.
• 19-03-02 --- 2h
  • Teoremi di ricoprimento di Besicovitch e Vitali. Teorema di differenziazione di Besicovitch.
• 25-03-02 --- 2h
  • Seminario del dott. F. Bedulli: Connessioni di Yang-Mills in dimensione superiore a 4.
• 08-04-02 --- 2h
  • Distanza di Hausdorff. Spazio di Hausdorff e completezza. Contrazioni e contrazioni sullo spazio di Hausdorff. Insiemi autosimilari. Trasformazioni di similitudine. Dimensione di similitudine. Misura invariante associata ad un sistema di mappe iterate.
• 09-04-02 --- 2h
  • Stime di densita' per la misura invariante. Distanza tra misure di probabilita' e convergenza debole.
• 15-04-02 --- 2h
  • Non tenuta (seminario prof. Isopi)
• 16-04-02 --- 2h
  • Non tenuta (sciopero generale)
• 19-04-02 --- 2h
  • La formula dell'area
• 21-04-02 --- 2h
  • Non tenuta
• 22-04-02 --- 2h
  • Non tenuta
• 29-04-02 --- 2h
  • Insiemi rettificabili e varie caratterizzazioni come unioni numerabili di grafici $C^1$ e lipschitziani.
• 30-04-02 --- 2h
  • Blow-up di misure, piano tangente approssimato. Rettificabilita' e blow-up.
• 06-05-02 --- 2h
  • Misure vettoriali. Variazione totale. Esempi: integrale di linea, Derivata distribuzione di una funzione caratteristica di un insieme regolare. Funzioni $W^{1,1}$ a tratti su una partizione regolare.
• 07-05-02 --- 2h
  • Misure vettoriali. Forma polare. Teorema di Riesz. Convergenza debole.
• 13-05-02 --- 2h
  • Funzioni BV. Variazione totale. Proprieta' funzionali. Teorema di approssimazione. Stime di tipo Poincare e Sobolev-Poincare
• 14-05-02 -- 2h
  • Seminario dott. F. Maggi: Insiemi di perimetro finito e diseguaglianza isoperimetrica nel lavori di De Giorgi.
• 20-05-02 --- 2h
  • Insiemi di perimetro finito. Rettificabilita' della frontiera ridotta e della frontiera nel senso della GMT.
• 21-05-02 --- 2h
  • Formula di Fleming-Rishel. Decomposizione del gradiente di una funzione $BV$. Punti di salto e tracce di una funzione $BV$ lungo l'insieme di salto.

Riassunto

• Lezioni svolte: 32h
• Seminari : 8h

Giuseppe Modica