Classe di Ingegneria dell'Informazione
Corso di laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni. Anno 2001-2002
Periodo: 24 settembre - 11 Novembre 2001, 5 CFU
Tenuto da: prof. Giuseppe Modica modica@didattica.dma.unifi.it
{\sc M. Giaquinta, G. Modica}, {\em Analisi Matematica I. Funzioni di una
variabile}, Pitagora editrice, Bologna.
La numerazione citata si riferisce a capitoli, sezioni e sottosezioni o
alla numerazione delle definizioni, teoremi osservazioni ecc. del libro di
testo.
Vanno lette le osservazioni {\em precedenti} e successive
all'enunciato in oggetto.
Di norma le parti scritte in corpo piccolo, che non siano esempi,
possono essere lette eventualmente in un secondo tempo.
- 25-09-01 --- 2 ore -
- Introduzione al corso. Libro di testo.
- Numeri reali come modello della retta in geometria e del tempo in
fisica, estremo superiore, valore assoluto, numeri razionali,
$\sqrt{2}$ non e' razionale.
- Vedi pp. 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10.
- 26-09-01 --- 2 ore -
- Come si legge un libro di matematica. La sintassi, le proposizioni,
le implicazioni. Tabelle di verita', algebra di Boole,
dimostrazioni per assurdo. Negazioni di implicazioni.
- Vedi tavole relative (vedi indice delle tavole nel libro).
- 27-09-01 --- 2 ore -
- Insiemi: unioni, intersezioni. La sintassi degli insiemi.
- Funzioni: sintassi e prime proprieta' e definizioni: dominio, codominio,
legge. Funzioni iniettive, surgettive, bigettive. Immagine e
controimmagine. Funzioni composte.
- Funzione inversa. Funzioni di variabile reale a valori reale:
funzioni monotone.
- Vedi tavole relative (vedi indice delle tavole nel libro)
e pg.29-34, 39-41.
- 01-10-01 --- 2 ore -
- Definizione di continuita' e operazioni su
funzioni continue (s.d.). Continuit`a delle funzioni razionali (s.d.).
- Funzioni continue su intervalli.
Teorema degli zeri (s.d.). Estrazione di radice.
L'immagine continua di un intervallo e' un intervallo (s.d.).
Una funzione continua invertibile \`e monotona (s.d.).
L'inversa di una funzione continua su un intervallo
\`e continua (s.d.).
- Punti di massimo e minimo. Il teorema di Weierstrass (s.d.).
- Vedi Cap 2.2, nn.2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.11, 2.12, 2.13, 2.16, 2.20, 2.22.
- 02-10-01 --- 2 ore -
- La nozione di limite $f(x)\to L\in\mathbf{R}$ per
$x\to x_0\in\mathbf{R}$.
Esempi. Generalizzazione al caso di limiti infiniti e/o di limiti
all'infinito. Il linguaggio degli intorni.
- Alcune propriet\`a dell'operazione di passaggio al limite:
permanenza del segno, criterio del confronto,
limiti di funzioni monotone. (s.d.)
- Vedi Cap.2, nn. 1.1, 1.4, 1.5, 1.8, 1.11, 1.14, 1.19, 1.20,
1.24, 1.25, 1.33, 1.42, 1.43.
- 03-10-01 --- 2 ore -
- La nozione di derivata. Le funzioni derivabili sono continue.
- Significato geometrico: retta tangente e scoppiamenti.
- Regole di derivazione (s.d.).
- Derivazione dell'inversa (s.d.).
- Vedi Cap. 3, sez. 1.1, 1.2. Cap. 4, Sez. 1.2 nn. 1.9, 1.11, 1.15.
- 04-10-01 --- 2 ore -
- Il teorema di Fermat (con d.).
- Il teorema di Lagrange (con d.).
- Crescenza e decrescenza (con d.). Studi di funzione.
- Vedi. Cap 3, Sez. 1.1, 1.2, 1.4, Sez. 4.
- 08-10-01 --- 2ore
- I principi di minimo. Il principio di Erone e la riflessione della luce.
Proprieta' focali della parabola, dell'ellisse e dell'iperbole
(quest'ultima s.d.). Il principio di tempo minimo di Fermat (con d.).
- Vedi Cap. 3, Sez. 4 e Cap. 3, n.1.10 e Sez. 4, Cap. 6 Sez. 4.1 e
nn. 4.14, 4.15, 4.16, 4.17.
- 09-10-01 --- 2 ore
- La nozione di integrale di una funzione. Funzioni integrabili secondo
Riemann e integrale. Proprieta' della classe delle funzioni integrabili
(s.d.). L'integrale e' monotono e lineare (s.d). Diseguaglianza
del modulo (s.d). Alcune classi di funzioni integrabili: funzioni
continue e funzioni monotone (s.d). Il teorema fondamentale
del calcolo.
- Vedi Cap. 3, Sez. 2.1: fino al n. 2.2, poi n. 2.8 e da 2.12 alla
fine. Cap. 3, Sez. 2.2: n. 2.13, 2.14. Cap. 3, Sez. 3: tutta,
in particolare 3.5 (con dim.).
- 10-10-01 --- 2 ore
- Teorema della media (s.d). Dimostrazione del teorema fondamentale del
calcolo. La funzione integrale come primitiva.
- Logaritmo in base $e$, esponenziale in base $e$ e proprieta'.
Logaritmo e esponenziale con altre basi e funzione $x^\alpha$,
$x>0$, $\alpha\in\mathbf{R}$.
- Vedi Cap. 3, n.3.5 e seguenti. Cap. 4 nn. 6.2 e 6.3.
- 11-10-01 --- 2 ore
- Legge di Malthus, decadimento radioattivo, scarica del condensatore.
L'equazione $y'=ky$. Esistenza di soluzioni.
Condizione iniziale. Unicita' e determinismo.
Cambio di variabili nella variabile indipendente e nell'incognita.
- Vedi Cap. 4, Sez. 3
- 15-10-01 --- 2 ore
- $\pi$, la funzione arcotangente, la funzione tangente,
seno e coseno.
- Vedi Cap. 4, n. 6.1.
- 16-10-01 --- 2 ore
- Moto circolare uniforme. Propblema di Cauchy. Conservazione
dell'energia e unicita' della soluzione del problema di Cauchy (con d.).
Formule di addizione e sottrazione (con d.).
- Vedi Cap. 3, Sez. 2, Cap. 4, n. 6.1.
- 17-10-01 --- 2 ore
- Esercitazione tenuta dalla dott.ssa A. Migliorini.
- 18-10-01 --- 2 ore
- Integrali per parti e per sostituzione (s.d). La ricerca delle primitive
con esempi vari.
- Vedi Cap. 4, Sez. 5.1, 5.2 nn. 5.1-5.9, 5.13-5.19, 5.28.
- 22-10-01 --- 2 ore
- Il calcolo e l'approssimazione. Calcolo approssimato di $\log 2$.
Il calcolo approssimato di $\pi$. La formula di Taylor con resto
integrale (con d.). Il calcolo approssimato di $e$ e di $\sin 1$.
- Vedi Cap. 5, nn. 1.1, 1.2, 1.3, figure 1.4 e 1.5 e tabella degli
sviluppi.
- 23-10-01 --- 2 ore
- Esercitazione tenuta dalla dott.ssa A. Migliorini.
- 24-10-01 --- 2 ore
- Le equazioni differenziali del primo ordine lineari a coefficienti
variabili. Unicita' della soluzione del problema di Cauchy. Integrale
generale. Metodo della variazione delle costanti.
- Il calcolo dei limiti: limiti notevoli di
$\frac{\sin x}{x}$, $\frac{e^x-1}{x}$, $\frac{\log(1+x)}{x}$,
$(1+1/x)^x$, $(1+x)^{1/x}$, $\frac{\arctan x}{x}$.
I teoremi di de l'Hopital (s.d.) e limiti di
$\frac{1-cosx}{x^2}$ per $x\to 0$, $x^a \log^b(x)$ per
$x\to 0,+\infty$ e $\frac{e^{ax}}{x^b}$ per $x\to\pm\infty$.
- Vedi Cap. 6, Sez. 1.3., Cap. 5, nn. 3.1-3.7.
- 25-10-01 --- 2 ore
- Esercizi di stime e studi di funzione elementari.
- Vedi Cap. 5, nn. 4.1 e nn. 5.1.
- 29-10-01 --- 2 ore
- Numeri complessi. Il piano di Gauss. Significato geometrico della
moltiplicazione. Formule di De Moivre. Esponenziale complesso e
formule di Eulero.
- Applicazione alla ricerca di soluzioni particolari di eqazioni
differenziali ordinarie del secondo ordine a coefficienti costanti.
- Vedi: appunti distribuiti.
- 30-10-01 --- 1 ora
- Problemi vari con equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine
- Vedi Cap. 6, nn. 1.5
- 31-11-01 --- 2 ore
- Esercitazione della dott.ssa A. Migliorini.
- 05-11-01 --- 2 ore
- Formula di Taylor con resto di Peano. Il calcolo degli sviluppi.
- Integrali impropri all'infinito. Stima di $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$,
Stima di $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha}$, $\alpha>1$.
- Vedi Cap. 5, proposizione 1.11 e sez 1.3. Cap. 4, esempio 7.8
e la definizione in Cap. 4, sezione 7.3.
- 06-11-01 --- 2 ore
- Esercitazione della dott.ssa A. Migliorini.
- 07-11-01 --- 2 ore
- Esercitazione della dott.ssa A. Migliorini.
- 08-11-01 --- 2 ore
- Esercitazione in aula. Fine del corso.
- Lezioni svolte dal titolare: 26 h
- Esercitazioni svolte dal titolare: 14 h
- Esercitazioni svolte dalla dott.ssa Migliorini: 10 h
Firenze 30 Novembre 2001 Giuseppe Modica