Preliminari
Applicazioni lisce tra arbitrari sottoinsiemi degli spazi euclidei.
Diffeomorfismi. Teorema della funzione inversa locale. Teorema della
funzione implicita. Cono tangente ad un insieme in un punto. Spazio
tangente (come spazio generato dal cono tangente). Differenziale in un
punto di un'applicazione liscia tra arbitrari sottoinsiemi degli spazi
euclidei (come restrizione allo spazio tangente del differenziale di una
qualunque estensione liscia ad un intorno). Proprietà del
differenziale. Confine di un insieme (insieme dei punti singolari).
Teorema di invarianza del confine per un diffeomorfismo e conseguenze.
Fibrato tangente ad un arbitrario sottoinsieme di uno spazio euclideo.
Massimi e minimi per applicazioni reali (su arbitrari sottoinsiemi degli
spazi euclidei). Condizioni necessarie (del primo e del secondo ordine).
Condizioni sufficienti (del primo e del secondo ordine).
Varietà differenziabili
Varietà differenziabili negli spazi euclidei. Varietà con
bordo. Carte e parametrizzazioni. Proprietà dello spazio tangente
ad una varietà differenziabile in un punto. Primo teorema di
regolarità delle soluzioni (per varietà senza bordo). Punti
critici e regolari. Valori critici e regolari. Una dimostrazione del
Teorema Fondamentale dell'Algebra. Lemma di Sard. Lemma del taglio.
Secondo teorema di regolarità delle soluzioni (per varietà
con bordo). Fibrato tangente ad una varietà differenziabile.
Massimi e minimi sulle varietà differenziabili. Orientazione di un
varietà differenziabile. Varietà orientabili e non
orientabili.
Teoremi di punto fisso e grado topologico
Proprietà del punto fisso. Retratti di uno spazio topologico (e
legame con la proprietà del punto fisso). Teorema di punto fisso
di Brouwer. Teorema di punto fisso di Schauder. Teorema di esistenza di
Peano per le equazioni differenziali ordinarie. Applicazioni del teorema
di Schauder ai limiti per equazioni differenziali non lineari. Teoria del
grado topologico (di Brouwer) negli spazi euclidei. Assiomi di Amann-Weiss
sul grado topologico. Teorema di unicità di Amann-Weiss.
Applicazioni della teoria del grado ai problemi di esistenza e di
molteplicità delle soluzioni dei sistemi non lineari di n equazioni
in n incognite. Teoria della biforcazione in dimensione finita. Condizione
necessaria per la biforcazione. Condizione sufficiente per la biforcazione.
Cenni sul grado di Brouwer per applicazioni tra varietà orientate.
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