Elementi di teoria delle categorie
Categorie. Vari tipi di morfismi: monomorfismi, epimorfismi, retrazioni, coretrazioni, isomorfismi, endomorfismi. Prodotto e coprodotto. Groppo degli automorfismi. Principali esempi di categorie: insiemi, gruppi, spazi topologici, spazi metrici, spazi vettoriali, spazi di Banach, gruppi abeliani graduati, classi di omotopia tra spazi topologici, spazi topologici puntati, coppie di spazi topologici, varietà differenziabili (con applicazioni lisce). Categoria delle applicazioni multivoche. Categoria delle applicazioni locali. Funtori covarianti tra due categorie. Funtori controvarianti. Funtori smemorati. Funtori della Topologia Differenziale. Trasformazioni naturali tra due funtori. Categoria ammissibile (per la teoria dell'omologia).

Teoria dell'omologia
Assiomi di Eilemberg-Steenrod per la teoria dell'omologia. Principali conseguenze degli assiomi. Gruppi ridotti di omologia. Sospensione di uno spazio topologico. Funtore sospensione. Omologia delle sfere. Grado di un'applicazione continua da una sfera in sé. Teorema di Brouwer. Teorema di invarianza della dimensione. Teoria della biforcazione in dimensione finita. Condizione necessaria per l'esistenza di un punto di biforcazione. Condizione sufficiente per l'esistenza di un punto di biforcazione (come conseguenza della teoria del grado). Cenni sulla teoria della biforcazione in dimensione infinita. Simplessi. Orientazione di un simplesso. Complessi simpliciali. Poliedri. Poliedri topologici (spazi triangolabili). Numero di Eulero di un complesso simpliciale finito. Numeri di Betti di un poliedro topologico compatto. Caratteristica di Eulero-Poincaré di un poliedro topologico compatto. Numero di Lefschetz di un'applicazione continua da un poliedro topologico compatto in sé. Teorema di punto fisso di Lefschetz. Legame tra grado e numero di Lefschetz per un'applicazione continua da una sfera in sé. Teorema di Poincaré-Hopf (versione ridotta). Simplessi singolari in uno spazio topologico. Catene singolari. Bordo di una catena. Complesso delle catene singolari in uno spazio topologico. Gruppi di omologia singolare di uno spazio topologico. Omomorfismo indotto da un'applicazione continua tra spazi topologici. Complesso delle catene singolari di una coppia topologica. Gruppi di omologia relativa. Operatore bordo associato ad una coppia topologica. Omomorfismo tra i gruppi di omologia relativa indotto da un'applicazione continua tra coppie topologiche. Metodi euristici per il calcolo dei gruppi di omologia singolare di alcune varietà topologiche compatte bidimensionali (sfera, toro, bottiglia di Klein, spazio proiettivo).

TESTI CONSIGLIATI:
- Greenberg M.J., Lectures on Algebraic Topology, W.A. Benjamin, Inc., 1966.
- Hu S.T., Homology Theory, Holden-Day, 1970.