Numeri complessi
Insieme dei numeri complessi come coppie ordinate di numeri reali. Somma e prodotto. Quoziente. Proprietà fondamentali. Modulo e coniugato di un numero complesso. Vari modi per esprimere i numeri complessi: forma algebrica, forma trigonometrica, forma esponenziale. Prodotto e quoziente in forma trigonometrica (ed esponenziale). Radici n-esime. Teorema fondamentale dell'Algebra (s.d.). Risoluzione delle equazioni di secondo grado in campo complesso. La funzione esponenziale in campo complesso. Formule di Eulero. Le funzioni trigonometriche e le funzioni iperboliche in campo complesso.

Serie numeriche in campo reale e complesso
Serie numeriche. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Serie geometriche. Serie a termini positivi. Principali criteri di convergenza delle serie: del confronto, del confronto asintotico, del rapporto, dell'assoluta convergenza, della radice, integrale, di Leibniz. Criterio della radice generalizzato (con il massimo limite). Prodotto alla Cauchy di due serie. Teorema sul prodotto alla Cauchy (s.d.).

Successioni e serie di funzioni
Successioni di funzioni. Convergenza semplice e uniforme. Teorema di continuità e di passaggio al limite sotto il segno di integrale. Serie di funzioni. Convergenza totale. Teorema di integrazione per serie. Serie di potenze in campo reale e complesso. Struttura dell'insieme di convergenza di una serie di potenze. Raggio di convergenza e metodi per la sua determinazione. Integrabilità e derivabilità delle serie di potenze. Funzioni analitiche. Sviluppo in serie di potenze (di centro zero) di expx, senx, cosx, senhx, coshx e 1/(1-x). Serie binomiale (s.d.). La funzione esponenziale, le funzioni trigonometriche e le funzioni iperboliche in campo complesso (definite come serie di potenze).

Elementi di topologia negli spazi euclidei
Spazi metrici. Spazi normati. Metrica indotta in un sottoinsieme di uno spazio metrico. Insiemi aperti e loro proprietà. Insiemi chiusi e proprietà. Frontiera di un insieme. Punti di accumulazione. Punti aderenti. Chiusura e interno di un insieme. Limiti per le funzioni di più variabili. Teorema del limite per componenti. Successioni. Teorema di collegamento per i limiti. Limite direzionale (e relazione con il limite). Principali teoremi sui limiti (teor. fondamentale, teor. dei carabinieri, teor. della permanenza del segno). Continuità. Teorema di collegamento per la continuità. Teorema di continuità per una funzione composta. Teorema fondamentale per la continuità. Insiemi connessi per archi. Insiemi compatti. Teorema di Bolzano-Weierstrass per successioni. Insiemi compatti. Primo teorema di Weierstrass (o dell'immagine compatta). Secondo teorema di Weierstrass (o dell'immagine connessa). Conseguenze dei teoremi di Weierstrass per funzioni a valori reali (esistenza dei punti estremanti ed esistenza dei valori intermedi). Funzioni uniformemente continue. Funzioni lipschitziane. Teorema di Cantor.

Calcolo differenziale negli spazi euclidei
Funzioni reali di più variabili reali. Derivate direzionali. Derivate parziali. Derivate successive. Teorema di Schwarz (s.d.). Classe di una funzione. Differenziale di una funzione. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Teorema del differenziale di una funzione composta. Matrice jacobiana e rappresentazione del differenziale. Gradiente di una funzione reale. Formula di Taylor per funzioni reali di più variabili. Espressioni differenziali (di grado uno). Operazioni ammissibili tra espressioni differenziali. Differenziali di ordine superiore. Matrice hessiana. Teorema della funzione implicita (s.d.). Teorema della funzione inversa locale (s.d.). Diffeomorfismi. Varietà differenziabili. Spazio tangente in un punto. Massimi e minimi relativi. Condizioni necessarie per l'esistenza di un punto estremante. Condizioni sufficienti per l'esistenza di un punto estremante. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

La misura di Lebesgue k-dimensionale
Intervalli k-dimensionali. Plurintervalli. Cenni sulla misura di Peano-Jordan-Riemann. Misura degli aperti. Misura dei compatti. Insiemi limitati e misurabili secondo Lebesgue. Insiemi misurabili (non necessariamente limitati) e loro proprietà (s.d.). Misura di Lebesgue. Proprietà della misura di Lebesgue (s.d.). Confronto tra la misura di Lebesgue e quella di Peano-Jordan.

L'integrale secondo Lebesgue
Funzioni a valori reali estesi. Funzioni misurabili. Proprietà delle funzioni misurabili. Integrale di una funzione misurabile e non negativa (come misura dell'ipografico positivo). Funzioni integrabili. Funzioni sommabili. L'integrale di Lebesgue su un insieme. Proprietà dell'integrale di Lebesgue. Teorema di Beppo Levi (s.d.). Teorema della convergenza dominata (s.d.). Teorema di Fubini (s.d.). Formule di riduzione deducibili dal teorema di Fubini. Formule delle fette e formule degli spaghetti. Cambiamento di variabili negli integrali (s.d.). Misura di un insieme come integrale. Primo e secondo teorema della media. Baricentro di un insieme. Momento d'inerzia. Volume dei solidi di rotazione. Integrali dipendenti da uno o più parametri e derivazione sotto il segno di integrale.

Curve e superfici
Curve parametriche. Curve parametriche semplici. Curve parametriche regolari. Archi di curva (come sostegno). Curve chiuse (come sostegno). Orientazione di un arco di curva e di una curva chiusa (come sostegno). Curve generalmente regolari (chiuse e non chiuse). Curve di Jordan nel piano. Teorema di Jordan (s.d.). Integrale di una espressione differenziale esteso ad una curva parametrica. Elemento di lunghezza (come espressione differenziale). Lunghezza di una curva. Integrali curvilinei (per curve parametriche e per curve sostegno). Lavoro di un campo di forze lungo una curva. Placche piane. Superfici parametriche. Espressioni differenziali di grado due. Elemento di area (come espressione differenziale di grado due). Integrale di una espressione differenziale di grado due esteso ad una superficie parametrica. Elemento di area (come espressione differenziale di grado due). Area di una superficie parametrica. Placca di superficie. Bordo di una placca. Integrale su una placca di una espressione differenziale ottenuta moltiplicando una funzione per l'elemento di area.

Forme differenziali e campi vettoriali
Forme differenziali di grado uno. Forme esatte. Forme chiuse. Condizione necessaria affinché una forma sia esatta. Formula fondamentale per gli integrali curvilinei. Condizione necessaria e sufficiente affinché una forma differenziale sia esatta (con gli integrali curvilinei - s.d.). Teorema di invarianza per omotopia per gli integrali curvilinei di forme chiuse (s.d.). Indice di avvolgimento di una curva chiusa rispetto ad un punto del piano. Insiemi semplicemente connessi. Forme differenziali chiuse su regioni di Jordan forate e condizione necessaria e sufficiente affinché una forma chiusa sia esatta. Campi vettoriali associati alle forme differenziali (in 2 e 3 dimensioni). Divergenza di una campo vettoriale. Orientazione di una placca. Flusso di un campo vettoriale attraverso una placca orientata. Teorema della divergenza (s.d.).

Equazioni differenziali
Equazioni del primo ordine. Equazioni di ordine n. Sistemi di equazioni differenziali. Trasformazione di un'equazione di ordine n in un sistema del primo ordine. Equazioni lineari. Soluzioni massimali (non prolungabili). Teorema di massimalità (s.d.). Teorema di globalità (s.d.). Problema di Cauchy. Teorema di esistenza di Peano (s.d.). Teorema di esistenza e unicità (s.d.). Struttura dell'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare (omogenea e non omogenea). Equazioni a variabili separabili. Equazioni esatte. Funzioni linearmente indipendenti. Determinante wronskiano. Metodo di variazione della costante per le equazioni lineari del primo ordine. Integrazione delle equazioni lineari del primo ordine. Equazioni di Bernoulli. Integrazione delle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti (in campo reale e complesso). Metodi per la determinazione di un integrale particolare per le equazioni lineari non omogenee. Equazioni del tipo y"=f(y,y'). Equazioni del tipo y"=f(y) e il loro integrale primo.

Testi utili:
- A. Bacciotti - F. Ricci, Analisi Matematica, Vol. II, Editrice Levrotto e Bella, Torino.
- R.A. Adams, Calcolo differenziale, Voll. 1 e 2, Casa Editrice Ambrosiana.
- B. Demidovitch, Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti.
- A. Bacciotti - P. Boieri - D. Farina, Esercizi di Analisi Matematica II, Progetto Leonardo, Bologna.
- M.R. Spiegel, Analisi Matematica, Collana Schaum, McGraw-Hill libri Italia.