LA RULLETTA

Metodo Geometrico

Nella risoluzione di problemi inerenti lo studio di Base e Rulletta utilizziamo due sistemi di riferimento: uno “fisso“, rispetto al quale troviamo l’equazione della Base,  ed uno “mobile”, solidale con il sistema studiato rispetto al quale calcoliamo l’equazione della Rulletta.

Nel nostro caso, nello studio cioè del sistema costituito dalla Biella e dalla Manovella, va considerato come sistema di riferimento “fisso” una terna di coordinate destrorsa avente origine in O con asse delle ascisse orizzontale, asse delle ordinate verticale, i versi sono quelli indicati in Fig., ed asse delle quote ortogonale al foglio con verso uscente verso il lettore.

Come sistema di riferimento “mobile”, solidale con il movimento della biella, abbiamo considerato una terna di coordinate destrorsa avente origine coincidente con il piede di biella P, l’asse delle ascisse è diretto secondo l’asse della biella e l’asse delle ordinate è ortogonale a quello delle ascisse, i versi sono quelli indicati in Fig. , l’asse delle quote è ortogonale al piano del moto con verso individuato dalla “Regola della mano destra”.

Il sistema così individuato ha un solo grado di libertà : Si Individui con q la variabile del moto considerato (vedere Fig).

L'angolo q è quello che la manovella forma con l’orizzontale crescente in senso orario, con a, invece, quello che la biella forma con l’orizzontale, con l la lunghezza della Biella e con r quella della manovella.

Possiamo individuare la relazione trigonometrica che lega i due angoli a e q grazie al teorema dei seni:

PM cos a = OM sin q

cioè: 

l sin a = r sin q      
Quindi è possibile ricavare la seguente uguaglianza: 

a = [ arcsin  ( r sin q ) ] / l

Andiamo ora, invece, a calcolare due espressioni parametriche per l’ascissa e l’ordinata della Rulletta.

Per trovare l’ascissa del centro di istantanea rotazione nel sistema di riferimento mobile, solidale con il moto della biella, consideriamo il triangolo rettangolo PGC dove G è il piede della perpendicolare alla Biella passante per il punto C (vedere Fig.).

L’ascissa del centro di istantanea rotazione risulta determinata dalla seguente espressione:  

MG = PM - PC cos (p/2 - a)

cioè:  

xC = l - ( l cos a tg q + r sin q ) sin a

e ricordando la formula ( 2 ), si ottiene:   

xC(q) = l -  ( l ( cos ( arcsin ( ( r sin q ) / l ) ) ) tg q + r sin q ) ( sin ( arcsin ( ( r sin q ) / l ) ) ) 
Troviamo ora un’espressione per l’ordinata del centro di istantanea rotazione nel sistema di riferimento cosiddetto “mobile”:  

CG = PC sin (p/2 - a)

cioè:

yC =  ( l cos a tg q + r sin q ) cos a
che con la semplificazione della  ( 2 ) div enta: 

yC(q) =  ( l ( cos ( arcsin ( ( r sin q ) / l ) ) ) tg q + r sin q ) ( cos ( arcsin ( ( r sin q ) / l ) ) )