MECCANICA RAZIONALE

C. d. L. in INGEGNERIA MECCANICA - a.a. 2000-2001

Prof. Giovanni FROSALI

6 marzo

1. INTRODUZIONE. Che cos'è la Meccanica Razionale. I fenomeni fisici ed i loro modelli. Esempi. ed i sistemi dinamici.

2. Analogia fra un fenomeno meccanico ed uno elettrico. Primo esempio: oscillatore forzato e circuito LRC. Cosa si intende per modello matematico.

8 marzo

3. Le grandezze della meccanica: scalari, vettoriali e tensoriali. ELEMENTI DI CALCOLO VETTORIALE. Spazio di punti, spazio di vettori geometrici (spazio vettoriale). Vettori geometrici e rappresentazione di grandezze vettoriali con vettori geometrici.

4. Spazio affine. Vettori liberi e applicati. Cenni riassuntivi di calcolo vettoriale e notazioni. Rappresentazione cartesiana. Prodotto scalare, vettoriale.

9 marzo

5. Prodotto misto e doppio prodotto vettoriale. (Derivazione ed integrazione di vettori dipendenti da un parametro). Cenno alle unità di misura. Cenno alla dimensione delle grandezze fisiche.

6. TEORIA dei MOMENTI. Momento polare e momento assiale. Sistemi di vettori applicati e coppia di vettori applicati. Momento risultante di un sistema di vettori applicati. Variazione del momento al variare del centro di riduzione.

12 marzo

7. Coppia di vettori. Invariante scalare e vettoriale. Esistenza dell'asse centrale. Soluzione di e discussione.

8. Ricerca analitica dell'asse centrale. Equazione dell'asse centrale.

15 marzo

9. Sistemi equivalenti, sistemi equilibrati. Esempi di riduzione di sistemi di vettori nel piano. Caso . Sistemi di vettori applicati concorrenti, paralleli, complanari. Teorema di Varignon.

10. Vettori paralleli, centro di vettori paralleli. Sistemi di vettori riducibili al solo risultante applicato sull'asse centrale. Rappresentazione del campo vettoriale dei momenti.

11. Esercizi di calcolo di asse centrale. Ricerca dell'asse imponendo il parallelismo fra ed .

16 marzo

12. CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI. Definizione di sistema rigido. Gradi di libertà. Sistemi di riferimento fisso e solidale. Configurazione di un sistema rigido. Trasformazioni rigide. Trasformazioni lineari ortogonali.

13. Richiami sulle matrici ortogonali. Trasformazione del piano in sé. Rotazione del piano e matrice di rotazione. Esempi.

19 marzo

14. Gli angoli di Eulero. Trasformazioni ortogonali e loro rappresentazione con parametri angolari.

15. Formule di Poisson. Esistenza e unicità di . Espressione di in funzione di una coordinata angolare. Caratteristiche di un moto rigido.

22 marzo

16. Calcolo in alcuni casi, regola pratica per i moti piani. Relazione fondamentale tra le velocità simultanee di due punti. Velocità ed accelerazione dei punti di un sistema rigido in moto. Introduzione all'asse istantaneo di moto.

17. Asse istantaneo di moto. Rigata fissa e rigata mobile. Rigate di un moto rigido. Esistenza e ricerca analitica dell'asse istantaneo di moto.

23 marzo

18. Esempio di un disco che rotola senza strisciare. Velocità del centro istantaneo di moto, relativa, assoluta e di trascinamento. Moti rigidi particolari: traslazioni, rotazioni, precessioni.

19. Moti rigidi piani. Polari di un moto rigido piano. Centro istantaneo di moto nei moti rigidi piani. Teorema di Chasles. Rotolamento senza e con strisciamento di un disco su una guida rettilinea.

26 marzo

20. Esempi di moto rigido piano. Moto di una asta rigida con gli estremi su due guide ortogonali. Ricerca del centro istantaneo di moto e delle polari di moto. Esercizi su base e rulletta.

21. Asta su una guida circolare. Asta appoggiata ad un disco. Moto di un punto solidale ad una asta su due guide. Oscillografo. Ricerca analitica e geometrica.

29 marzo

22. Ricerca di base e rulletta per un sistema composto da un disco a contatto con un piano inclinato in movimento. Altri esercizi per la ricerca di base e rulletta per moti rigidi piani. Coppia di dischi a contatto di cui uno su un piano inclinato.

23. Cenni sulle matrici ortogonali (autovalore 1). Teorema di Eulero. Caso particolare di sistema piano e ricerca geometrica del punto di rotazione.

30 marzo

24. Rotazioni finite e infinitesime. Matrici antisimmetriche e rotazioni infinitesime. dcome pseudovettore. Asse ed angolo di rotazione.

25. Richiami di cinematica relativa. Moto relativo e moto di trascinamento. Teorema fondamentale della cinematica relativa. Teorema di Coriolis.

2 aprile

26. Derivata assoluta e relativa. Moto uniforme di un punto su una guida ruotante. Esempi per mostrare l'effetto della accelerazione di Coriolis.

27. Composizione di moti. Composizione di moti rigidi. La composizione di moti rigidi è ancora un moto rigido. Composizione di rotazioni. Coni di Poinsot.

5 aprile

28. Esercizio di composizione di moti. Composizione di rotazioni. Il differenziale. Esempi di composizioni di moti rigidi: il tecnigrafo.

29. Moti epicicloidali e ipocicloidali. Esercizio della ruota, con una seconda ruota in moto relativo. Calcolo del centro istantaneo di moto e base e rulletta del moto.

6 aprile

30. DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE LIBERO E VINCOLATO. Sistemi di riferimento. Sistema inerziale e postulato della sua esistenza. Le leggi di Newton. Equazioni di moto dei sistemi materiali isolati.

31. Il principio di relatività galileiana. Sistemi non inerziali. Dinamica relativa. Equazioni di moto in un riferimento non inerziale. Verifica del principio di relatività per due sistemi che traslano tra loro con velocità uniforme. Definizione di lavoro e potenza.

9 aprile

32. QUESTIONI GENERALI DI DINAMICA DEL PUNTO. Lavoro e potenza. Teorema delle forze vive e integrale delle forze vive. Forze conservative. Energia totale.

33. Conservazione dell'energia totale. Esempio di forza non conservativa. Bilancio energetico per un punto vincolato ad una guida ruotante, rispetto al sistema fisso e rispetto al sistema mobile.

12 -19 aprile - Vacanze di Pasqua

20 aprile

34. Campi di forza. Linee di forza. Differenza fra traiettoria e linea di forza. Forza elastica e suo potenziale. Esercizi di calcolo di linee di forza. Cambiamento di coordinate. Coordinate polari.

35. Calcolo di lavoro. Cenno sugli integrali curvilinei. Forme differenziali esatte e chiuse. Condizioni sufficienti per l'esattezza. Primitiva di una forma differenziale.

23 aprile

36. Calcolo del potenziale nei campi conservativi. Esercizi di calcolo di potenziale. Calcolo con il lavoro lungo cammini paralleli agli assi.

37. Il campo di Biot-Savart, generato dal passaggio di una corrente in un filo rettilineo indefinito. Calcolo di potenziale. Potenziale in coordinate cartesiane e cilindriche. Calcolo del lavoro.

26 aprile

38. Richiami di calcolo differenziale. Derivata parziale e gradiente. Funzioni differenziali e rappresentazione lineare. Campi scalari e vettoriali. grad, div, rot: definizioni e proprietà. Significato di gradiente di un campo scalare.

39. Divergenza di un campo vettoriale, flusso di un campo vettoriale e teorema di Gauss. Rotore di un campo vettoriale. Circuitazione. Teorema di Stokes. Significato di rotore. rot

27 aprile

40. DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE VINCOLATO. Prima analisi del concetto di vincolo. Definizione di vincolo semplice, doppio e triplo. (Introduzione delle coordinate lagrangiane nel caso di un punto).

41. Definizione e caratterizzazione delle velocità possibili. Vincoli mobili. Velocità virtuali e velocità di trascinamento.

30 aprile

Lezione non tenuta per ponte festivo (recuperata il ).

3 maggio

42. Significato ed esempi di velocità virtuale. Esempi di vincolo semplice e doppio. Velocità virtuale di un punto vincolato ad una circonferenza con raggio mobile. Altro esempio. Dinamica del punto materiale vincolato.

43. Reazioni vincolari. Prima definizione di vincolo liscio. Caratterizzazione dei vincoli lisci (potenza virtuale nulla). Principio dei lavori virtuali.

4 maggio

43. Teorema delle forze vive per il punto vincolato. Lavoro del vincolo mobile. Esercizio sull'equilibrio di un punto vincolato ad una linea. Punti di stazionarietà del potenziale. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.

44. ANALISI QUALITATIVA DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Sistema di equazioni differenziali delordine. Introduzione all'analisi qualitativa delle equazioni differenziali. Sistemi autonomi e non autonomi.

7 maggio

45. Spazio delle configurazioni e spazio delle fasi. Scopi dell'analisi qualitativa delle equazioni differenziali. Sistema di due equazioni differenziali delordine. Piano delle fasi. Orbite. Spazio delle fasi e delle fasi estesi. Campo di direzioni. Cenno allo studio del campo delle direzioni e del flusso. Esempi: il sistema predatore-preda.

46. Oscillatore armonico. Studio dell'equazione . Analisi qualitativa dell'oscillatore armonico. Punto di equilibrio. Centro. L'equazione . Punto di sella.

10 maggio

47. Punti di equilibrio. Punti di equilibrio stabile e di equilibrio instabile. Cenno alla stabilità di sistemi non lineari. Cenno all'analisi qualitativa del pendolo nonlineare.

48. Sistemi lineari a due dimensioni. Cenno alla ricerca delle soluzione tramite autovalori ed autovettori. Pozzo, sorgente, centro, nodo stabile, instabile, punto sella, fuoco stabile ed instabile.

11 maggio

49. TEOREMI GENERALI SUI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI. Classificazione delle forze: forze interne ed esterne, forze attive e reazioni vincolari. Equazioni cardinali della dinamica e loro derivazione.

50. Centro di massa e proprietà. Teorema del moto del centro di massa. Commenti sulle equazioni cardinali della dinamica. Equazioni cardinali della statica. Caso dei sistemi rigidi. Sistemi composti da più parti rigide. Questioni energetiche. Sistemi di forze conservative. Potenziale di sistemi conservativi di forze interne e di forze esterne.

14 maggio

51. GEOMETRIA E CINEMATICA DELLE MASSE. Momenti statici. Momenti di secondo grado (rispetto ad un punto, ad una retta, ad un piano). Cenno alla struttura di inerzia.

52. Momenti di secondo grado (rispetto ad un punto, ad una retta, ad un piano). Momenti centrifughi. Espressione del momento d'inerzia rispetto ad una retta generica di coseni . Matrice di inerzia. Costruzione dell'ellissoide di inerzia.

15 maggio

53. Prova a correzione automatica.

54. Prova a correzione automatica.

17 maggio

55. Teorema di Huygens. Dimostrazione nel caso di momento d'inerzia rispetto ad un punto, una retta ed un piano e di un momento centrifugo.

56. Struttura d'inerzia di un sistema materiale. Ellissoide di inerzia. Assi principali di inerzia e forma canonica dell'ellissoide d'inerzia. Richiami sul teorema spettrale per applicazioni lineari simmetriche. Determinazione di momenti d'inerzia (asta, lamina rettagolare, quadrato, parallelepipedo).

18 maggio

57. Determinazione di momenti d'inerzia (anello, disco, sfera, cubo). Matrice o tensore d'inerzia. Direzioni principali d'inerzia: autovettori e autovalori della matrice d'inerzia. Proprietà di stazionarietà degli assi principali. Esempi: lamina quadrata e rettangolare, sfera e cubo.

58. Proprietà geometrico-materiali degli assi principali di inerzia. Esempi di sistemi piani. Disco e semidisco. Quadrato e mezzo quadrato. Altri esempi.

21 maggio

59. Ricerca della terna principale. Esempi ed sercizi. Ricerca degli assi principali in una lamina rettangolare. Esempio di diagonalizzazione dell'omografia di inerzia (per la lamina quadrata).

60. Cinematica delle masse. Quantità di moto e momento della quantità di moto. Moto relativo al centro di massa. Teorema del centro di massa. Energia cinetica. Teorema di König. Dimostrazione.

24 maggio

61. Il caso dei sistemi rigidi. Espressione di , T, tramite la matrice d'inerzia. Le formule e . Calcolo di nel caso di sistemi rigidi.

62. Ancora sul calcolo di quantità meccaniche.

25 maggio

63. MECCANICA DEI SISTEMI OLONOMI. Introduzione alla meccanica dei sistemi. Sistemi olonomi. Vincoli olonomi: compatibilità ed indipendenza. Coordinate lagrangiane. Spazio delle configurazioni. Esempi di spazi delle configurazioni. Velocità possibili.

64. Stato cinematico di un sistema olonomo. Spazio delle fasi. Spazio tangente allo spazio delle configurazioni. Velocità virtuali. Caratterizzazione degli atti di moto virtuale. Spazio normale allo spazio delle configurazioni.

28 maggio

65. Vincoli olonomi lisci. Potenza virtuale delle reazioni. Principio dei lavori virtuali. Caratterizzazione di vincoli bilateri lisci. Equazioni di Lagrange di I specie. Forze generalizzate.

66. Statica dei sistemi olonomi a vincoli lisci. Equazione simbolica della statica. Statica dei sistemi rigidi. Applicazione del principio dei lavori virtuali.

31 maggio

67. Equazione simbolica della dinamica dei sistemi. Equazioni di Lagrange di specie e loro dimostrazione. Sistemi di forze conservative e funzione Lagrangiana.

68. Commenti sulle equazioni di Lagrange di II specie. Applicazioni del formalismo lagrangiano: il pendolo composto.

1 giugno

69. Applicazioni del formalismo lagrangiano: il caso del punto libero nello spazio, nel piano in coordinate polari, la macchina di Atwood. Integrali primi di moto.

70. Commenti sulle equazioni di Lagrange di II specie. MECCANICA DEI SISTEMI RIGIDI. Sistemi rigidi liberi. Precessioni.

4 giugno (lezione non tenuta per partecipazione a Convegno) (lezione tenuta dall'Ing. Di Giorgi)

70bis. Prova a correzione automatica.

70ter. Prova a correzione automatica.

7 giugno (lezione non tenuta per partecipazione a Convegno)

8 giugno (lezione non tenuta per partecipazione a Convegno)

11 giugno

71. Equazioni di Eulero. Precessioni per inerzia. Integrali primi di moto. Moto alla Poinsot. Proprietà dinamiche degli assi principali d'inerzia.

72. Stabilità degli assi permanenti di rotazione. Cenno alla rotazione intorno ad un asse fisso. Analisi del momento delle reazioni. Calcolo del momento delle forze centrifughe.

12 giugno

73. Introduzione ai fenomeni giroscopici. Cenno ai corpi con struttura giroscopica. Introduzione al problema delle piccole oscillazioni. Approssimazione dell'energia cinetica e del potenziale.

74. Lagrangiana per le piccole oscillazioni. Cenno ai modi normali di oscillazione. Alcuni esempi di applicazione delle equazioni di Lagrange. Esercizio della ruota con un momento motore.

13 giugno

75. Prova scritta su problemi di dinamica dei sistemi.

76. Prova scritta su problemi di dinamica dei sistemi.

ARGOMENTI FACOLTATIVI

ELEMENTI DI STATICA DEL CORPO RIGIDO. Terminologia. Sistemi rigidi liberi e vincolati. Gradi di libertà. Equazioni cardinali della statica. Sistemi materiali piani. Esempi. Principali tipi di vincolo nel piano. Appoggio semplice, cerniera, incastro, pattino. Posizione del problema statico: problemi labile, isostatico, iperstatico. Sistemi staticamente determinati. Vincoli efficaci. Alcuni esempi di sistemi piani. Problemi di statica per sistemi formati da un solo corpo rigido. Problemi di statica per sistemi formati da piu` parti rigide. Arco a tre cerniere. Cenni di statica grafica. Poligono funicolare. Osservazioni sul poligono funicolare. Condizione grafiche per l'equilibrio. Alcuni esempi di risoluzione grafica: trave orizzontale ed obliqua, trave incastrata, arco a tre cerniere.

ELEMENTI DI MECCANICA DEI CONTINUI. Generalità sui sistemi continui. Rappresentazione lagrangiana ed euleriana. Derivata locale e derivata sostanziale. Linee di flusso. Linee di vortice. Moti stazionari. Equazione di continuità in forma euleriana ed in forma lagrangiana. Moti solenoidali. Legge di Castelli. Forze di massa e forze di superficie. Stato di tensione. Equazioni cardinali della statica e della dinamica. Teorema di Cauchy. Tensore degli sforzi. Equazione indefinita di equilibrio e di moto. Simmetria degli sforzi. ELEMENTI DI FLUIDOSTATICA E DI FLUIDODINAMICA. Fluido. Teorema di Pascal. Equazione della fluidostatica. Fluidi barotropici. Pressione e potenziale delle pressioni. Equazione dell'idrostatica. Fluidi perfetti. Trinomio di Bernoulli. Teorema di Bernoulli o delle tre quote.

IL PROBLEMA DELLE PICCOLE OSCILLAZIONI. Il problema delle piccole oscillazioni attorno alla configurazione di equilibrio stabile. La Lagrangiana per le piccole oscillazioni. Equazioni di moto per le piccole oscillazioni per un sistema conservativo a vincoli fissi. Cenno ai modi normali di oscillazione. Coordinate e oscillazioni normali. Esempi.

LIBRO di RIFERIMENTO:

Fasano - de Rienzo - Messina, Corso di Meccanica Razionale, Laterza, Bari, 1989.

Gli argomenti in corsivo sono facoltativi

Firenze, 14 giugno 2001

Il titolare del corso

(Prof. Giovanni Frosali)