Programma del corso di

" MECCANICA RAZIONALE"

Corso di laurea in Ingegneria Meccanica - A.A. 1998-99

2°Anno, 2°Semestre

Docente: Prof. GIOVANNI FROSALI

INTRODUZIONE.
Che cos'è la Meccanica Razionale. I fenomeni fisici ed i loro modelli. Esempi. F = m a ed i sistemi dinamici. Analogia fra un fenomeno meccanico ed uno elettrico. Primo esempio: oscillatore forzato e circuito LRC. Cosa si intende per modello matematico. Le grandezze della meccanica: scalari, vettoriali e tensoriali. Sistema internazionale di misura.

ELEMENTI DI CALCOLO VETTORIALE.
Vettori geometrici e rappresentazione di grandezze vettoriali con vettori geometrici. Cenni riassuntivi di calcolo vettoriale e notazioni. Rappresentazione cartesiana. Prodotto scalare e vettoriale. Prodotto misto e doppio prodotto vettoriale. Cambiamento di riferimento. Punti e vettori funzioni di un parametro. Vettori funzione del posto. Derivazione ed integrazione.

TEORIA DEI MOMENTI.
Momento polare e momento assiale. Sistemi di vettori applicati e coppia di vettori applicati. Momento risultante di un sistema di vettori applicati. Variazione del momento al variare del centro di riduzione. Coppia di vettori. Invariante scalare e vettoriale. Esistenza dell'asse centrale. Soluzione di a = xb e discussione. Ricerca analitica dell'asse centrale. Equazione dell'asse centrale. Caso Mp = 0. Sistemi di vettori applicati concorrenti, paralleli, complanari. Teorema di Varignon. Sistemi equivalenti, sistemi equilibrati. Sistemi di vettori riducibili al solo risultante applicato sull'asse centrale. Rappresentazione del campo vettoriale dei momenti. Vettori paralleli, centro di vettori paralleli. Esercizi di calcolo di asse centrale per alcuni sistemi di vettori.

ELEMENTI DI STATICA DEL CORPO RIGIDO. Sistemi rigidi liberi e vincolati. Equazioni cardinali della statica. Sistemi materiali piani. Esempi. Principali tipi di vincolo nel piano. Appogio semplice, cerniera, incastro, pattino. Posizione del problema statico: problemi labile, isostatico, iperstatico. Sistemi staticamente determinati. Vincoli efficaci. Alcuni esempi di sistemi piani. Problemi di statica per sistemi formati da un solo corpo rigido. Problemi di statica per sistemi formati da più parti rigide. Arco a tre cerniere. Cenni di statica grafica. Poligono funicolare. Osservazioni sul poligono funicolare. Condizione grafiche per l'equilibrio. Alcuni esempi di risoluzione grafica: trave orizzontale ed obliqua, trave incastrata, arco a tre cerniere.Teorema di Culmann ed applicazioni.

CINEMATICA DEL PUNTO.
Il problema fondamentale della cinematica del punto. Equazioni differenziali di moto. Integrali primi di moto. Elementi di geometria differenziale nello spazio. Richiami di elementi della teoria delle curve. Il triedro principale, curvatura. Calcolo di t,n,b. Esempi: circonferenza, parabola, elica cilindrica. Moti piani. Velocità e accelerazione in coordinate polari, sferiche e cilindriche. Composizione di moti. Moti centrali. Proprietà dei moti centrali. Velocità areolare. Costanza della velocità areolare e conseguenze. Moto circolare. Esercizi di cinematica del punto. Ricerca di legge oraria e traiettoria.

SISTEMI RIGIDI.
Definizione di sistema rigido. Gradi di libertà. Gli angoli di Eulero. Sistemi rigidi vincolati all'esterno, particolari vincoli esterni: appoggio, cerniera cilindrica e sferica, incastro. Sistemi costituiti da parti rigide collegate tra loro. Sistemi isostatici e iperstatici, sistemi staticamente determinati. Condizioni grafiche per l'equilibrio di un sistema piano di forze applicate: chiusura del poligono delle forze e del poligono funicolare. Analisi esterna ed analisi interna per un sistema rigido: sforzo normale, sforzo di taglio, momente flettente e momento torcente. Caso dei sistemi piani. Semplici applicazioni alle travi.

CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI.
Sistemi di riferimento fisso e solidale. Trasformazioni lineari ortogonali. Trasformazione del piano in sé. Rotazioni nel piano. Richiami di calcolo matriciale. Moti rigidi. Formule di Poisson. Esistenza e unicità di . Espressione di in funzione di una coordinata angolare. Relazione fondamentale tra le velocità simultanee di due punti. Velocità ed accelerazione dei punti di un sistema rigido in moto. Asse istantaneo di moto, sua esistenza e ricerca analitica. Rigata fissa e rigata mobile. Rigate di un moto rigido. Esempio: rotolamento senza e con strisciamento di un disco su una guida rettilinea. Moti rigidi particolari: traslazioni, rotazioni, precessioni. Moto rototraslatorio. Moti rigidi piani. Polari di un moto rigido piano. Centro istantaneo di moto nei moti rigidi piani. Teorema di Chasles. Esempi di moto rigido piano. Moto di una asta rigida con gli estremi su due guide ortogonali. Ricerca del centro istantaneo di moto e delle polari di moto. Centro delle accelerazioni, circonferenza dei flessi e circonferenza di stazionarietà. Diagramma delle accelerazioni Cenni sulle matrici ortogonali (autovalore 1). Teorema di Eulero. Rotazioni finite e infinitesime. Matrici antisimmetriche e rotazioni infinitesime. come pseudovettore. Asse ed angolo di rotazione. Richiami di cinematica relativa. Moto relativo e moto di trascinamento. Teorema fondamentale della cinematica relativa. Teorema di Coriolis. Derivata assoluta e relativa. Moto uniforme di un punto su una guida ruotante. Esempi per mostrare l'effetto della accelerazione di Coriolis. Esercizi sui moti relativi. Composizione di moti. Composizione di moti rigidi. Composizione di rotazioni. Moti epicicloidali e ipocicloidali. L'esempio del differenziale.

DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE LIBERO E VINCOLATO.
Sistemi di riferimento. Sistema inerziale e postulato della sua esistenza. Le leggi di Newton. Equazioni di moto dei sistemi materiali isolati. Il principio di relatività galileiana. Sistemi non inerziali. Derivata assoluta e relativa. Dinamica relativa. Equazioni di moto in un riferimento non inerziale. Il peso. Esercizi di dinamica relativa.

QUESTIONI GENERALI DI DINAMICA DEL PUNTO.
Lavoro e potenza. Teorema delle forze vive e integrale delle forze vive. Forze conservative. Energia totale. Conservazione dell'energia totale. Calcolo di lavoro. Forme differenziali esatte e chiuse. Primitiva di una forma differenziale. Condizioni sufficienti per l'esattezza. Calcolo del potenziale nei campi conservativi. Campi di forza. Linee di forza. Differenza fra traiettoria e linea di forza. Esercizi di calcolo di linee di forza. Calcolo di lavoro (integrali curvilinei). Forme differenziali esatte e chiuse. Condizioni sufficienti per l'esattezza. Calcolo del potenziale nei campi conservativi. Primitiva di una forma differenziale. Esercizi di calcolo di potenziale. Il campo di Biot-Savart, generato dal passaggio di una corrente in un filo rettilineo indefinito. Potenziale in coordinate cartesiane e cilindriche. Calcolo di lavoro in un campo non conservativo. Campi centrali. Richiami di calcolo differenziale. Derivata parziale e gradiente. Funzioni differenziali e rappresentazione lineare. Campi scalari e vettoriali. grad, div, rot: definizioni e proprietà. Significato di gradiente di un campo scalare. Significato di rotore. Rappresentazione in coordinate cartesiane del gradiente: Operatore . Divergenza e rotore di un campo vettoriale. Flusso di un campo e teorema della divergenza.

MOTI OSCILLATORI.
Fase ed ampiezza di una oscillazione. Uso dei numeri complessi. Gli esponenziali complessi. Vettori rotanti. Moto armonico. Composizione di due moti armonici su una retta con lo stesso centro. Accordo di fase, opposizione di fase, quadratura di fase. Modulazione armonica dell'oscillazione fondamentale. Il fenomeno dei battimenti. Composizione di due moti armonici, aventi lo stesso centro, su assi ortogonali (figure di Lissajous). Composizione di oscillazioni con l'uso degli esponenziali complessi. Oscillazioni libere unidimensionali. Oscillatore lineare con termine forzante. Soluzioni di equazioni differenziali del secondo ordine col formalismo dei numeri complessi. Oscillatore smorzato. Moto oscillatorio smorzato, moto non oscillatorio. Analogie elettriche: circuito LRC in serie. Oscillazioni forzate. Vibrazioni armoniche permanenti. Diagramma del ritardo di fase. Risonanza e curve di risonanza. Analogie elettriche: scarica di un condensatore su una bobina con e senza resistenza. Circuito LRC in serie con d.d.p. applicata.

APPLICAZIONI DELLA LEGGE FONDAMENTALE DELLA DINAMICA DI UN PUNTO MATERIALE.
Lancio di un grave nel vuoto. Gittata massima e parabola di sicurezza di Torricelli. Resistenza nei mezzi. Resistenza lineare (viscosa) e quadratica (idraulica). Effetti della resistenza viscosa sul lancio di un punto materiale. Diminuzione della gittata. Soluzione esatta ed approssimata. Moto verticale di un grave nell'aria (caso del paracadute). Esperienza di Millikan e calcolo della carica elementare. Moto di una particella carica in presenza di un campo magnetico (cenni). Moto di una carica elettrica in un campo elettrico ed in un campo magnetico sovrapposti. Caso di B ed E fra loro ortogonali.

DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE VINCOLATO.
Prima analisi del concetto di vincolo. Definizione di vincolo semplice, doppio e triplo. Definizione e caratterizzazione delle velocità possibili. Vincoli mobili. Velocità virtuali e velocità di trascinamento. Significato ed esempi di velocità virtuale. Esempio di vincolo semplice e doppio. Prima definizione di vincolo liscio. Caratterizzazione dei vincoli lisci (potenza virtuale nulla). Principio dei lavori virtuali. Considerazioni energetiche. Teorema delle forze vive per il punto vincolato. Bilancio energetico in un sistema non inerziale. Equazioni di moto di un punto vincolato ad una linea (fissa e liscia) o ad una superficie. Equilibrio di un punto vincolato ad una linea. (Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange).

TEOREMI GENERALI SUI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI.
Classificazione delle forze: forze interne ed esterne, forze attive e reazioni vincolari. Equazioni cardinali della dinamica e loro derivazione. Commenti sulle equazioni cardinali della dinamica. Equazioni cardinali della statica. Caso dei sistemi rigidi. Sistemi composti da più parti rigide. Questioni energetiche. Sistemi di forze conservative. Potenziale di sistemi conservativi di forze interne e di forze esterne.

GEOMETRIA E CINEMATICA DELLE MASSE.
Centro di massa e proprietà. Centro di gravità. Calcolo del centro di massa di alcune figure piane e solide (triangolo, arco di circonferenza, settore circolare, semidisco, tetraedro). Momenti statici. Momenti di secondo grado (rispetto ad un punto, ad una retta, ad un piano). Momenti centrifughi. Espressione del momento d'inerzia rispetto ad una retta generica. Matrice di inerzia. Costruzione dell'ellissoide di inerzia. Richiami sul teorema spettrale per applicazioni lineari simmetriche. Assi principali di inerzia e forma canonica dell'ellissoide d'inerzia. Proprietà geometrico-materiali degli assi principali di inerzia. Esercizi ed esempi di ricerca della terna principale. Teorema di Huygens. Dimostrazione nel caso di momento d'inerzia rispetto ad un punto, una retta ed un piano e di un momento centrifugo. Determinazione di momenti d'inerzia di particolari sistemi materiali omogenei (asta, lamina rettagolare, quadrato, triangolo, parallelepipedo, cubo, circonferenza, disco, semidisco, superficie sferica, sfera, semisfera, cubo, cilindro, cono). Proprietà di stazionarietà degli assi principali. Punti stazionari di una forma quadratica. Ricerca degli assi principali in una lamina rettangolare. Esempio di diagonalizzazione dell'omografia di inerzia (per la lamina quadrata). Cinematica delle masse. Quantità di moto e momento della quantità di moto. Moto relativo al centro di massa. Teorema del centro di massa. Energia cinetica. Teorema di Konig. Dimostrazione. Il caso dei sistemi rigidi. Espressione di Q, T, K tramite la matrice d'inerzia. Le formule (O) e (O) . Calcolo di K e T nel caso di sistemi rigidi.

MECCANICA DEI SISTEMI OLONOMI.
Introduzione alla meccanica dei sistemi. Sistemi olonomi. Vincoli olonomi: compatibilità ed indipendenza. Coordinate lagrangiane. Spazio delle configurazioni. Esempi di spazi delle configurazioni. Velocità possibili. Stato cinematico di un sistema olonomo. Spazio delle fasi. Spazio tangente allo spazio delle configurazioni. Velocità virtuali. Caratterizzazione degli atti di moto virtuale. Spazio normale allo spazio delle configurazioni. Richiami della dinamica del punto vincolato ad una linea o ad una superficie. Vincoli olonomi lisci. Significato geometrico e meccanico del vincolo. Potenza virtuale delle reazioni. Principio dei lavori virtuali. Caratterizzazione di vincoli bilateri lisci. Equazioni di Lagrange di I specie. Forze generalizzate. Statica dei sistemi olonomi a vincoli lisci. Equazione simbolica della statica. Statica dei sistemi rigidi. Applicazione del principio dei lavori virtuali. Equazione simbolica della dinamica dei sistemi. Equazioni di Lagrange di II specie e loro dimostrazione. Sistemi di forze conservative e funzione Lagrangiana. Applicazioni del formalismo lagrangiano: il caso del punto libero nello spazio, il pendolo composto. Esercizi sulle equazioni di Lagrange e sulla dinamica dei corpi rigidi.

MECCANICA DEI SISTEMI RIGIDI.
Sistemi rigidi liberi. Precessioni. Equazioni di Eulero. Precessioni per inerzia. Moto alla Poinsot. Proprietà dinamiche degli assi principali d'inerzia. Rotazione di un corpo rigido intorno ad un asse fisso. Stabilità degli assi permanenti di rotazione. Cenni sugli effetti giroscopici.

COMPLEMENTI.

LIBRI di RIFERIMENTO:

G.Frosali, Appunti delle lezioni di Meccanica Razionale, Dispense distribuite a lezione, 1999
D.Quilghini, Appunti delle lezioni di Meccanica Razionale, Dattiloscritto, Firenze, 1995 A.Fasano, V.de Rienzo, A.Messina, Corso di Meccanica Razionale, Laterza, Bari, 1989.
G. Borgioli, Modelli Matematici di Evoluzione ed Equazioni Differenziali, Celid, Torino, 1996

Gli argomenti in corsivo sono facoltativi.

Firenze, 18 giugno 1999

Elenco delle lezioni tenute dal Prof. Frosali nel corso dell'anno acc. 1998-99

Programma del Corso dell'anno acc. 1997-98

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