2°Anno, 2°Semestre
Docente: Prof. GIOVANNI FROSALI
ELEMENTI DI STATICA DEL CORPO RIGIDO. Sistemi rigidi liberi e
vincolati. Equazioni cardinali della statica. Sistemi materiali piani.
Esempi. Principali tipi di vincolo nel piano. Appogio semplice, cerniera,
incastro, pattino. Posizione del problema statico: problemi labile, isostatico,
iperstatico. Sistemi staticamente determinati. Vincoli efficaci. Alcuni
esempi di sistemi piani. Problemi di statica per sistemi formati da un
solo corpo rigido. Problemi di statica per sistemi formati da più
parti rigide. Arco a tre cerniere. Cenni di statica grafica. Poligono funicolare.
Osservazioni sul poligono funicolare. Condizione grafiche per l'equilibrio.
Alcuni esempi di risoluzione grafica: trave orizzontale ed obliqua, trave
incastrata, arco a tre cerniere.Teorema di Culmann ed applicazioni.
CINEMATICA DEL PUNTO.
Il problema fondamentale della cinematica del punto. Equazioni
differenziali di moto. Integrali primi di moto. Elementi di geometria differenziale
nello spazio. Richiami di elementi della teoria delle curve. Il triedro
principale, curvatura. Calcolo di t,n,b. Esempi: circonferenza,
parabola, elica cilindrica. Moti piani. Velocità e accelerazione
in coordinate polari, sferiche e cilindriche. Composizione di moti. Moti
centrali. Proprietà dei moti centrali. Velocità areolare.
Costanza della velocità areolare e conseguenze. Moto circolare.
Esercizi di cinematica del punto. Ricerca di legge oraria e traiettoria.
SISTEMI RIGIDI.
Definizione di sistema rigido. Gradi di libertà. Gli
angoli di Eulero. Sistemi rigidi vincolati all'esterno, particolari vincoli
esterni: appoggio, cerniera cilindrica e sferica, incastro. Sistemi costituiti
da parti rigide collegate tra loro. Sistemi isostatici e iperstatici, sistemi
staticamente determinati. Condizioni grafiche per l'equilibrio di un sistema
piano di forze applicate: chiusura del poligono delle forze e del poligono
funicolare. Analisi esterna ed analisi interna per un sistema rigido: sforzo
normale, sforzo di taglio, momente flettente e momento torcente. Caso dei
sistemi piani. Semplici applicazioni alle travi.
CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI.
Sistemi di riferimento fisso e solidale. Trasformazioni lineari
ortogonali. Trasformazione del piano in sé. Rotazioni nel piano.
Richiami di calcolo matriciale. Moti rigidi. Formule di Poisson. Esistenza
e unicità di .
Espressione di
in funzione di una coordinata angolare. Relazione fondamentale tra le velocità
simultanee di due punti. Velocità ed accelerazione dei punti di
un sistema rigido in moto. Asse istantaneo di moto, sua esistenza e ricerca
analitica. Rigata fissa e rigata mobile. Rigate di un moto rigido. Esempio:
rotolamento senza e con strisciamento di un disco su una guida rettilinea.
Moti rigidi particolari: traslazioni, rotazioni, precessioni. Moto rototraslatorio.
Moti rigidi piani. Polari di un moto rigido piano. Centro istantaneo di
moto nei moti rigidi piani. Teorema di Chasles. Esempi di moto rigido piano.
Moto di una asta rigida con gli estremi su due guide ortogonali. Ricerca
del centro istantaneo di moto e delle polari di moto. Centro delle accelerazioni,
circonferenza dei flessi e circonferenza di stazionarietà. Diagramma
delle accelerazioni Cenni sulle matrici ortogonali (autovalore 1). Teorema
di Eulero. Rotazioni finite e infinitesime. Matrici antisimmetriche e rotazioni
infinitesime.
come pseudovettore. Asse ed angolo di rotazione. Richiami di cinematica
relativa. Moto relativo e moto di trascinamento. Teorema fondamentale della
cinematica relativa. Teorema di Coriolis. Derivata assoluta e relativa.
Moto uniforme di un punto su una guida ruotante. Esempi per mostrare l'effetto
della accelerazione di Coriolis. Esercizi sui moti relativi. Composizione
di moti. Composizione di moti rigidi. Composizione di rotazioni. Moti epicicloidali
e ipocicloidali. L'esempio del differenziale.
DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE LIBERO E VINCOLATO.
Sistemi di riferimento. Sistema inerziale e postulato della
sua esistenza. Le leggi di Newton. Equazioni di moto dei sistemi materiali
isolati. Il principio di relatività galileiana. Sistemi non inerziali.
Derivata assoluta e relativa. Dinamica relativa. Equazioni di moto in un
riferimento non inerziale. Il peso. Esercizi di dinamica relativa.
QUESTIONI GENERALI DI DINAMICA DEL PUNTO.
Lavoro e potenza. Teorema delle forze vive e integrale delle
forze vive. Forze conservative. Energia totale. Conservazione dell'energia
totale. Calcolo di lavoro. Forme differenziali esatte e chiuse. Primitiva
di una forma differenziale. Condizioni sufficienti per l'esattezza. Calcolo
del potenziale nei campi conservativi. Campi di forza. Linee di forza.
Differenza fra traiettoria e linea di forza. Esercizi di calcolo di linee
di forza. Calcolo di lavoro (integrali curvilinei). Forme differenziali
esatte e chiuse. Condizioni sufficienti per l'esattezza. Calcolo del potenziale
nei campi conservativi. Primitiva di una forma differenziale. Esercizi
di calcolo di potenziale. Il campo di Biot-Savart, generato dal passaggio
di una corrente in un filo rettilineo indefinito. Potenziale in coordinate
cartesiane e cilindriche. Calcolo di lavoro in un campo non conservativo.
Campi centrali. Richiami di calcolo differenziale. Derivata parziale e
gradiente. Funzioni differenziali e rappresentazione lineare. Campi scalari
e vettoriali. grad, div, rot: definizioni e proprietà.
Significato di gradiente di un campo scalare. Significato di rotore. Rappresentazione
in coordinate cartesiane del gradiente: Operatore .
Divergenza e rotore di un campo vettoriale. Flusso di un campo e teorema
della divergenza.
MOTI OSCILLATORI.
Fase ed ampiezza di una oscillazione. Uso dei numeri complessi.
Gli esponenziali complessi. Vettori rotanti. Moto armonico. Composizione
di due moti armonici su una retta con lo stesso centro. Accordo di fase,
opposizione di fase, quadratura di fase. Modulazione armonica dell'oscillazione
fondamentale. Il fenomeno dei battimenti. Composizione di due moti armonici,
aventi lo stesso centro, su assi ortogonali (figure di Lissajous). Composizione
di oscillazioni con l'uso degli esponenziali complessi. Oscillazioni libere
unidimensionali. Oscillatore lineare con termine forzante. Soluzioni di
equazioni differenziali del secondo ordine col formalismo dei numeri complessi.
Oscillatore smorzato. Moto oscillatorio smorzato, moto non oscillatorio.
Analogie elettriche: circuito LRC in serie. Oscillazioni forzate. Vibrazioni
armoniche permanenti. Diagramma del ritardo di fase. Risonanza e curve
di risonanza. Analogie elettriche: scarica di un condensatore su una bobina
con e senza resistenza. Circuito LRC in serie con d.d.p. applicata.
APPLICAZIONI DELLA LEGGE FONDAMENTALE DELLA DINAMICA DI
UN PUNTO MATERIALE.
Lancio di un grave nel vuoto. Gittata massima e parabola di
sicurezza di Torricelli. Resistenza nei mezzi. Resistenza lineare (viscosa)
e quadratica (idraulica). Effetti della resistenza viscosa sul lancio di
un punto materiale. Diminuzione della gittata. Soluzione esatta ed approssimata.
Moto verticale di un grave nell'aria (caso del paracadute). Esperienza
di Millikan e calcolo della carica elementare. Moto di una particella carica
in presenza di un campo magnetico (cenni). Moto di una carica elettrica
in un campo elettrico ed in un campo magnetico sovrapposti. Caso di B
ed E fra loro ortogonali.
DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE VINCOLATO.
Prima analisi del concetto di vincolo. Definizione di vincolo
semplice, doppio e triplo. Definizione e caratterizzazione delle velocità
possibili. Vincoli mobili. Velocità virtuali e velocità di
trascinamento. Significato ed esempi di velocità virtuale. Esempio
di vincolo semplice e doppio. Prima definizione di vincolo liscio. Caratterizzazione
dei vincoli lisci (potenza virtuale nulla). Principio dei lavori virtuali.
Considerazioni energetiche. Teorema delle forze vive per il punto vincolato.
Bilancio energetico in un sistema non inerziale. Equazioni di moto di un
punto vincolato ad una linea (fissa e liscia) o ad una superficie. Equilibrio
di un punto vincolato ad una linea. (Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange).
TEOREMI GENERALI SUI SISTEMI DI PUNTI MATERIALI.
Classificazione delle forze: forze interne ed esterne, forze
attive e reazioni vincolari. Equazioni cardinali della dinamica e loro
derivazione. Commenti sulle equazioni cardinali della dinamica. Equazioni
cardinali della statica. Caso dei sistemi rigidi. Sistemi composti da più
parti rigide. Questioni energetiche. Sistemi di forze conservative. Potenziale
di sistemi conservativi di forze interne e di forze esterne.
GEOMETRIA E CINEMATICA DELLE MASSE.
Centro di massa e proprietà. Centro di gravità.
Calcolo del centro di massa di alcune figure piane e solide (triangolo,
arco di circonferenza, settore circolare, semidisco, tetraedro). Momenti
statici. Momenti di secondo grado (rispetto ad un punto, ad una retta,
ad un piano). Momenti centrifughi. Espressione del momento d'inerzia rispetto
ad una retta generica. Matrice di inerzia. Costruzione dell'ellissoide
di inerzia. Richiami sul teorema spettrale per applicazioni lineari simmetriche.
Assi principali di inerzia e forma canonica dell'ellissoide d'inerzia.
Proprietà geometrico-materiali degli assi principali di inerzia.
Esercizi ed esempi di ricerca della terna principale. Teorema di Huygens.
Dimostrazione nel caso di momento d'inerzia rispetto ad un punto, una retta
ed un piano e di un momento centrifugo. Determinazione di momenti d'inerzia
di particolari sistemi materiali omogenei (asta, lamina rettagolare, quadrato,
triangolo, parallelepipedo, cubo, circonferenza, disco, semidisco, superficie
sferica, sfera, semisfera, cubo, cilindro, cono). Proprietà di stazionarietà
degli assi principali. Punti stazionari di una forma quadratica. Ricerca
degli assi principali in una lamina rettangolare. Esempio di diagonalizzazione
dell'omografia di inerzia (per la lamina quadrata). Cinematica delle masse.
Quantità di moto e momento della quantità di moto. Moto relativo
al centro di massa. Teorema del centro di massa. Energia cinetica. Teorema
di Konig. Dimostrazione. Il caso dei sistemi rigidi. Espressione di Q,
T, K tramite la matrice d'inerzia. Le formule (O)
e
(O)
.
Calcolo di K e T nel caso di sistemi rigidi.
MECCANICA DEI SISTEMI OLONOMI.
Introduzione alla meccanica dei sistemi. Sistemi olonomi. Vincoli
olonomi: compatibilità ed indipendenza. Coordinate lagrangiane.
Spazio delle configurazioni. Esempi di spazi delle configurazioni. Velocità
possibili. Stato cinematico di un sistema olonomo. Spazio delle fasi. Spazio
tangente allo spazio delle configurazioni. Velocità virtuali. Caratterizzazione
degli atti di moto virtuale. Spazio normale allo spazio delle configurazioni.
Richiami della dinamica del punto vincolato ad una linea o ad una superficie.
Vincoli olonomi lisci. Significato geometrico e meccanico del vincolo.
Potenza virtuale delle reazioni. Principio dei lavori virtuali. Caratterizzazione
di vincoli bilateri lisci. Equazioni di Lagrange di I specie. Forze generalizzate.
Statica dei sistemi olonomi a vincoli lisci. Equazione simbolica della
statica. Statica dei sistemi rigidi. Applicazione del principio dei lavori
virtuali. Equazione simbolica della dinamica dei sistemi. Equazioni di
Lagrange di II specie e loro dimostrazione. Sistemi di forze conservative
e funzione Lagrangiana. Applicazioni del formalismo lagrangiano: il caso
del punto libero nello spazio, il pendolo composto. Esercizi sulle equazioni
di Lagrange e sulla dinamica dei corpi rigidi.
MECCANICA DEI SISTEMI RIGIDI.
Sistemi rigidi liberi. Precessioni. Equazioni di Eulero. Precessioni
per inerzia. Moto alla Poinsot. Proprietà dinamiche degli assi principali
d'inerzia. Rotazione di un corpo rigido intorno ad un asse fisso. Stabilità
degli assi permanenti di rotazione. Cenni sugli effetti giroscopici.
MECCANICA DEI SISTEMI CONTINUI.
Sistemi materiali continui: forze di massa e forze di superficie.
Stato di tensione. Teorema di Cauchy. Equazione indefinita di equilibrio.
Simmetria degli sforzi. Caso dei fluidi: l'equazione della fluidostatica,
caso dei fluidi barotropici, l'energia delle pressioni e integrazione dell'equazioni
di equilibrio. Caso dei gas perfetti in condizioni isoterme, l'equazione
barotropica. Caso dei liquidi e statica dei liquidi pesanti. Dinamica dei
fluidi perfetti. Punto di vista euleriano e punto di vista di flusso. Il
trinomio di Bernoulli. Il teorema di Bernoulli sia in generale che nella
forma degli idraulici.
COMPLEMENTI.
G.Frosali, Appunti delle lezioni di Meccanica Razionale, Dispense
distribuite a lezione, 1998
D.Quilghini, Appunti delle lezioni di Meccanica Razionale, Dattiloscritto,
Firenze, 1995 A.Fasano, V.de Rienzo, A.Messina, Corso di Meccanica Razionale,
Laterza, Bari, 1989.
G. Borgioli, Modelli Matematici di Evoluzione ed Equazioni Differenziali,
Celid, Torino, 1996
Gli argomenti in corsivo sono facoltativi.
Firenze, 9 giugno 1998