ANALISI MATEMATICA - Mod. 1

C. d. DIPLOMA in INGEGNERIA MECCANICA - a.a. 1999-2000

Prof. Giovanni FROSALI

NUMERI E FUNZIONI. Nomenclatura sui numeri. Numeri naturali N, interi Z, razionali Q, reali R. Irrazionalità di radice di 2. Continuità della retta. Cenno alle proprietà di R (densità e completezza). Distanza fra due punti. Valore assoluto. Intervallo aperto e chiuso. Insieme limitato superiormente ed inferiormente. Maggioranti e minoranti. Massimo e minimo. Esempi nel continuo (intervallo), esempi nel discreto. Estremo superiore ed inferiore come massimo dei minoranti e come minimo dei maggioranti.

Concetto di funzione fra insiemi. Funzioni reali. Dominio e codominio. Asse cartesiano, piano cartesiano, spazio cartesiano. Funzioni pari e dispari. Grafico di una funzione. Le funzioni sin x e cos x. Funzione iniettiva, suriettiva e biunivoca. Funzioni elementari (retta, parabola, arco di circonferenza, valore assoluto, segno di x, parte intera di x). Composizione di funzioni. Definizione di funzione inversa.

LIMITI DI FUNZIONI. Introduzione al concetto di limite. Esempi e definizione matematica. Caso di funzione continua. Verifica del limite. Determinazione di d in funzione di e . Esempio di non esistenza di limite. Successioni di punti con limite diverso. Limite destro e sinistro. Limite infinito. Limitazione di una funzione con limite L. Permanenza del segno. Calcolo di limiti. Teoremi sui limiti: somma di limiti, prodotto di limiti, quoziente di limiti. Teorema del sandwich (con dimostrazione). Quoziente di funzioni infinitesime, e loro confronto. Quoziente di funzioni infinite, e loro confronto. Forme indeterminate. Funzioni crescenti e funzioni decrescenti. Limiti di funzioni monotone.

FUNZIONI CONTINUE. Introduzione alle funzioni continue. Funzioni continue. Continuità a sinistra e a destra. Funzioni discontinue. Discontinuità eliminabili. Discontinuità di I specie (salto) e di II specie (limite infinito, non esiste). Verifica di continuità per alcune funzioni. Proprietà delle funzione continue. Continuità della somma e del prodotto di funzioni continue. Funzione composta e continuità della funzione composta. Composizione di funzione continue. Continuità della funzione inversa. Funzioni continue su un intervallo. Teorema degli zeri (con dimostrazione). Suriettività delle funzioni continue. Una funzione continua trasforma intervalli in intervalli. Teorema dei valori intermedi. Massimi e minimi. Il teorema di Weierstrass. Metodi approssimati per il calcolo degli zeri. Cenno al metodo delle corde e delle tangenti.

DERIVATA. Introduzione al concetto di derivata. Derivata di una funzione. Significato geometrico. Equazione della retta tangente. Procedura di scoppiamento. Derivata di funzioni elementari. Differenziale. Funzione differenziabile. Funzione lineare approssimante. Derivata destra e sinistra. Continuità e derivabilità. Regole di derivazione. Derivata di una somma, del prodotto, del quoziente di due funzioni (con dim.). Derivata di una funzione composta. Funzione inversa. Derivata di una funzione inversa. Punti di massimo e di minimo. Legami fra derivata e punti di massimo e minimo. Punti critici. Teorema di Fermat (con dim.). Teorema di Rolle e significato geometrico (con dim.). Teorema di Lagrange o del valore medio e significato geometrico (con dim.). Approssimazione di una funzione e formula degli accrescimenti finiti. Calcolo di limiti. Regole di De L'Hopital. Forme indeterminate. Approssimazione di una funzione tramite un polinomio di grado n. Formula di Taylor. Il numero e. Crescita di una popolazione con coefficiente di proporzionalità uguale ad uno. La funzione exp x. Alcuni commenti sulla funzione esponenziale.

INTEGRALI. Introduzione all'integrazione. Area racchiusa da un ramo di parabola. Definizione di integrale di Riemann. Criterio di integrabilità. Integrabilità di funzione: continue monotone, continue, continue a tratti. Primitive e loro proprietà. Funzione integrale e sue proprietà. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Ricerca di primitive. Integrazione diretta e primitive più importanti. Alcuni esempi di funzioni non integrabili. Cenno all'integrale generalizzato. Regole di integrazione. Integrazione per sostituzione. Integrazione per parti. Integrazione di funzioni razionali. Decomposizione di un polinomio in fattori. Cenni agli integrali impropri. Ancora sul calcolo degli integrali definiti ed indefiniti. Applicazioni del calcolo di integrali. Calcolo di momento di inerzia.

COMPLEMENTI. Funzioni elementari. Funzioni exp e log. Funzioni trigonometriche e proprietà. Ampiezza, periodo, fase, argomento. Numeri complessi. Alcuni elementi di calcolo combinatorio.

LABORATORIO DIDATTICO. Uso di MapleV per il calcolo di limiti e derivate. Studio di funzioni. Calcolo di integrali.

LIBRO di RIFERIMENTO:

M. Giaquinta e G. Modica - Analisi Matematica - Funzioni di una variabile, Pitagora Editrice, Bologna, 1998.

Il titolare del corso

(Prof. Giovanni Frosali)

Firenze, 20 dicembre 1999