Anno Accademico 2014-15

1. 04.03.2015 (2 ore).
   Introduzione al corso: programma, impostazione, motivazioni.
   Introduzione storica agli Elementi di Euclide, riflessione sugli assiomi Euclidei, cenni agli sviluppi successivi, in particolare all'opera di Hilbert.

   Bibliografia (le opere con asterisco sono quelle che piu' ho richiamato durante la lezione):
   Edizioni degli Elementi:
   (*) Gli elementi di Euclide, libro I
   Gli elementi di Euclide, testo greco a fronte
   (*) Elementi, traduzione e commento di Tartaglia
   (*) David Hilbert (1862-1943), The foundation of geometry (e-book), . Authorized translation by E. J. Townsend. L'originale in tedesco:Grundlagen der Geometrie (e-book).
   What is elementary geometry, Tarski
   Gustave Choquet (1915-2006), L'insegnamento della geometria, Feltrinelli, 1967. L'originale in francese: L'enseignement de la géométrie, Hermann, 1964.
   Una riflessione critica sull'assiomatica Euclidea:
   Euclid and its modern rivals, by Dodgson
   (*) Axiomatic Geometry, John M. Lee, Pure and Applied Undergraduate Texts, AMS, Vol. 21 (2013) Sul sito, al link "preview material" si trova il PDF del primo capitolo.
   Per un approfondimento storico segnalo:
   (*) Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach, Isaac Asimov (foreword) A History of Mathematics, Second Edition, Wiley, 1991. Prima edizione in pdf
   (*) J. Stillwell, Mathematics and Its History, GTM, Springer, terza edizione 2010. Il primo capitolo, molto bello, e' dedicato al teorema di Pitagora.
   Due riferimenti che ho trovato molto chiari sui paradossi di Zenone:
   Martin Gardner's Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American (W. H. Freeman, 1971), capitolo 17;
   I. Stewart, From Here to Infinity, Oxford University Press, 1996.

2. 18 Marzo 2015 (ore 2)
   Introduzione alle isometrie piane: trasformazioni del piano; la geometria come studio degli invarianti rispetto a un gruppo di trasformazioni. Un'isometria piana e' una applicazione biunivoca del piano in se' che conserva le distanze. La geometria Euclidea e' lo studio degli invarianti rispetto al gruppo delle isometrie. Proposta di esperienza didattica: scoprire le isometrie attraverso lo studio delle simmetrie di figure piane. Data una figura piana F, un'isometria T e' una simmetria di F se T(F)=F. Studiamo le simmetrie di un quadrato: troviamo l'identita', tre rotazioni e quattro riflessioni. Diamo la definizione di rotazione di centro un punto e angolo alpha (orientato) e la definizione di riflessione in una retta r. Mostriamo inoltre che l'insieme delle simmetrie del quadrato contiene al piu' 8 elementi. Concludiamo quindi che contiene esattamente 8 elementi. Notiamo che un'isometria ha sempre un'inversa, inoltre se un'isometria e' una simmetria di una figura F anche la sua inversa lo e'. Definiamo la composizione di isometrie. L'insieme delle simmetrie di una figura F e' chiuso rispetto alla composizione, contiene l'identita' e ogni elemento ha un inverso (vale inoltre, ho dimenticato di dirlo, la proprieta' associativa), e' quindi un gruppo rispetto alla composizione. Otteniamo quindi, considerando il quadrato, un esempio di gruppo, che denotiamo con D₄. Mostriamo che D₄ e' generato dalla rotazione rho con centro il centro del quadrato e angolo pi/2 e da una della riflessioni, sigma. D₄=< rho,sigma > e' un esempio di gruppo finito non commutativo. Il gruppo C₄=< rho >={id,rho,rho²,rho² > e' invece un esempio di gruppo ciclico finito. Introduciamo il gruppo diedrale D_n con n>2 come gruppo di simmetrie del poligono regolare di n lati e il gruppo C_n come gruppo delle simmetrie rotazionali del poligono regolare di n lati. D₁ e' il gruppo delle simmetrie di un triangolo isoscele (non equilatero) e D₂ e' il gruppo delle simmetrie di un rettangolo (non quadrato). Mostriamo che D_n e' generato da una rotazione e da una riflessione e ha esattamente 2n elementi. Teorema di Leonardo: un gruppo di isometrie piane finito e' o un gruppo ciclico o un gruppo diedrale. Corollario: il gruppo delle simmetrie di un poligono e' o C_n o D_n per qualche n.

   Bibliografia (le opere con asterisco sono quelle che piu' ho richiamato durante la lezione):
   *Transformation Geometry. An introduction to simmetry, G. E. Martin, Springer-Verlag, 1982.
   Symmetry, Herman Weyl, Princeton University Press, 1952.
   The Symmetries of Things, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss,A K Peters/CRC Press ( 2008).
   Geometry and groups, T. K. Carne.
   What is geometry? note di Nigel Hitchin (Oxford University).
   Trasformazioni geometriche. Con una introduzione al modello di Poincaré, M. Dedò, Zanichelli, 1996.

3. 8 Aprile 2015 (ore 3)
   Simmetrie dei fregi: definizione di traslazione e di glissoriflessione. Una glissoriflessione e' la composizione di una riflessione in una retta r e di una traslazione parallela a r. Un gruppo dei fregi e' un gruppo di isometrie piane che fissa una retta c e le cui traslazioni formano un sottogruppo ciclico generato da una sola retta. Si puo' dimostrare con strumenti di geometria elementare che i gruppi dei fregi sono 7. Lo studio delle simmetrie dei fregi, come quello dei poligoni, e' adatto a un approccio laboratoriale e interdisciplinare (storia dell'arte). Definizione di tassellatura e di tassellatura periodica. Un gruppo di carte da parati e' un gruppo di simmetrie il cui sottogruppo di traslazioni e' generato da due traslazioni indipendenti. Teorema di restrizione cristallografica: se una rotazione di angolo A appartiene a un gruppo di carte da parati, allora A=pi,2/3pi,pi/2,pi/3. I gruppi di carte da parati si possono classificare con strumenti di geometria elementare e sono 17. Lo studio delle tassellature periodiche e delle loro simmetrie si presta ad essere oggetto di esperienze laboratoriali e si possono proporre diversi approfondimenti: composizione di isometrie; tassellature nelle arti figurative e in architettura; tassellature archimedee e loro classificazione (ve ne sono 11); tassellature non periodiche, con particolare riferimento alle tassellature di Penrose.
   Dimostriamo che le applicazioni finora introdotte sono effettivamente isometrie. Dimostriamo alcune proprieta' delle isometrie, in particolare i Teoremi 4.4,5.1, 5.2 del libro di Martin. In particolare il teorema 5.2 ci assicura che due isometrie che coincidono in tre punti non allineati sono uguali.

   Bibliografia, aggiungo ai testi gia' citati per la lezione precedente:
   John Conway's Dance Step Frieze Patterns
   The symmetries of things conferenza di John Conway.
   The plane symmetry groups: Their recognition and notation, Doris Schattschneider, The American Mathematical Monthly 85 (6) (1978) 439-450, JSTOR 2320063.
   Tilings and Patterns, Branko Grunbaum, Geoffrey C. Shephard, W.H. Freeman & Company (1986).
   Penrose Tiles Talk Across Miles, David Austin, Feature column of the American Mathematical Society,
   Penrose Tilings Tied up in Ribbons, David Austin, Feature column of the American Mathematical Society,
   Martin Gardner, Penrose Tiles and Trapdoor Ciphers, W. H. Freeman, 1989.

   Argomenti collegati
   Una lista quasi casuale: costruzioni con riga e compasso; teoremi classici (Menelao, Ceva, Desargues, Pappo, Pascal, etc); vettori; matrici; similarita'; affinita'; proiettivita'; geometria proiettiva; gruppi discreti e di Lie e relative applicazioni alla fisica, ricostruzione di immagini.
   Projective Geometry Note di Nigel Hitchin (Oxford University).
   Costruzioni con riga e compasso, note di Giorgio Ottaviani (Universita' di Firenze).
   Groups and Physics J. A Coleman, Notices of the AMS, Vol. 44, No. 1 (1997).
   Multiple View Geometry in Computer Vision, Richard Hartley, Andrew Zisserman, Cambridge University Press; seconda edizione (2004).

4. 22 aprile 2015 (ore 2)
   Teorema: un'isometria piana e' la composizione di al piu' tre riflessioni (dimostrazione tratta dal libro di Dedo'). Cosa si ottiene componendo delle riflessioni? Proposta di laboratorio tratta dal libro di Martin sulla composizione di riflessioni mediante piegature di fogli di carta. Materiale: fogli di carta A3 e glitter. E' facile osservare che: la composizione di due riflessioni in due rette parallele, prima nella retta r e poi nella retta s, e' una traslazione in direzione ortogonale a r ed s, verso da r a s, modulo il doppio della distanza da r a s; la composizione di due riflessioni in due rette incidenti, prima nella retta r e poi nella retta s, e' una rotazione di centro il punto di incidenza e angolo con misura doppia di uno dei due angoli orienatati da r ad s. Teorema di classificazione delle isometrie piane: Ogni isometria piana diversa dall'identita' e' esattamente una delle seguenti: traslazione, rotazione, riflessione, glissoriflessione. Per la dimostrazione si mostra quanto appena descritto per la composizione di due riflessioni. Resta da mostrare che la composizione di tre riflessioni e' una riflessione se le tre rette sono parallele o incidenti in un punto, e' una glissoriflessione in tutti gli altri casi. Non facciamo la verifica in tutti i casi ma solo nel caso particolare in cui si abbiano due delle tre rette parallele e l'altra ortogonale alle prime due. Per un approfondimento sugli altri casi si rimanda al libro di Martin.
5. 29 aprile 2015 (ore 3)
   Le sezioni coniche. Breve introduzione storica e motivazioni per un approccio sintetico: la scoperta di queste curve e' attribuita a Menecmo (380-320 AC), sembra vi sia giunto lavorando al problema della duplicazione del cubo. Ellissi, parabole e iperboli si ottengono intersecando tre tipi distinti di coni circolari retti con piani sempre ortogonali a una generatrice, precisamente l'angolo al vertice del cono dovra' essere acuto, retto e ottuso rispettivamente. Proposta di laboratorio sulle coniche tratta dall'esperienza al Liceo Vasari citata in bibliografia. Apollonio di Perga (262-190 AC) mostra che i tre tipi di curve si possono ottenere da un unico cono, non necessariamente circolare retto, variando l'inclinazione del piano secante. Il trattato di Apollonio introduce in nomi ellisse, iperbole e parabola, che sono ora viste come curve appartenenti ad un'unica famiglia. In laboratorio questo punto di vista puo' essere analizzato utilizzando ad esempio la luce di una torcia proiettata sul muro. L'approccio sintetico permette di dare una descrizione qualitativa delle coniche, di vedere come si passa con continuita; dalle ellissi, alla parabola, alle iperboli, e come in questo passaggio si passi da un insieme di curve chiuse, a una curva con un punto all'infinito, a curve con due punti all'infinito. Per vedere le proprieta' delle sezioni coniche come luoghi geometrici utilizziamo la costruzione di di Dandelin (1794-1847): individuiamo i fuochi e dimostriamo che l'ellisse e' il luogo dei punti del piano la cui somma delle distanze dai fuochi e' uguale alla lunghezza dell'asse maggiore.
6. 6 maggio 2015 (ore 3)
   Si continua a studiare la costruzione di Dandelin e si dimostra che l'ellisse e' il luogo dei punti del piano il cui rapporto tra la distanza da un fuoco e dalla relativa direttrice e' una costante maggiore di 1. Si individuano quindi anche l'eccentricita' e le direttrici. Tutte le dimostrazioni con la costruzione di Dandelin sono fatte cercando di riportarsi alla dimostrazioni di geometria piana fin dai primi passi e cercando di utilizzare solo pochi e intuitivi pre-requisiti.
   Una volta ottenuta una descrizione delle coniche come luoghi geometrici piani e' facile ricavarne una descrizione analitica. Scegliendo il riferimento cartesiano in modo opportuno si ottengono cosi' le equazioni canoniche di ellissi, parabole e iperboli. Si arriva quindi a una descrizione di queste curve come luoghi di zeri di equazioni polinomiali di secondo grado. Si ricorda che questa fu una delle scoperte fondamentali di Descartes e Fermat: una equazione polinomiale in due indeterminate determina una curva. In particolare una equazione polinomiale di secondo grado in due indeterminate determina una conica. Diamo l'idea della dimostrazione di questa affermazione: in un riferimento cartesiano ortogonale si considera il luogo degli zeri di un'equazione polinomiale di secondo grado nelle indeterminate x e y. Si dimostra che esiste un nuovo sistema di riferimento cartesiano ortogonale in cui il luogo di punti dato e' il luogo degli zeri di una delle equazioni canoniche trovate sopra, e' quindi un'ellisse, una parabola o un iperbole. L'argomento, che non utilizza strumenti matematici sofisticati come il teorema spettrale per matrici simmetriche, ma solo le prime nozioni di trigonometria, e' tratto dal libro di Stillwell (esercizio 7.2.1). Cenno al problema di Pappo.

   Indicazioni bibliografiche e link utili.
   

   Per una trattazione storica

   Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach, Isaac Asimov (foreword) A History of Mathematics, Second Edition, Wiley, 1991. Prima edizione in pdf
   Carl B. Boyer History of analytic geometry, Dover Books on Mathematics, Dover publications (2004)
   J. Stillwell, Mathematics and Its History, GTM, Springer, terza edizione 2010. Il testo contiene, tra le altre cose, una bellissima introduzione al teorema di Pitagora.
   Apollonio di Perga, Treatise on conic sections, edited in modern notation with introductions including an essay on the earlier history of the subject by L.T. Heath, Cambridge University Press.
   Due riferimenti che ho trovato molto chiari sui paradossi di Zenone:
   Martin Gardner's Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American (W. H. Freeman, 1971), capitolo 17;
   I. Stewart, From Here to Infinity, Oxford University Press, 1996.

   Le sfere di Dandelin

   R. Courant, H. Robbins, revised by I. Stewart, What is Mathematics? Oxford University Press, 2 edition (July 18, 1996). Capitolo 4, sezione 8.
   A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, Geometry of Conics, Mathematical World (Book 26), American Mathematical Society (2007)
   Per una trattazione dei casi della parabola e dell'iperbole

   Per le proprieta' ottiche vedere per esempio il libro di Akopyan.

   Per una descrizione di esperienze di laboratorio

   presentazione del Professor Ivan Casaglia (Liceo Scientifico Castelnuovo, Firenze), al 2° Seminario nazionale sul curricolo verticale "Percorsi a confronto: aspetti specifici e trasversali", organizzato da CIDI (Centro di iniziativa democratica degli insegnanti), Firenze, 2007, dell'esperienza condotta con Alessio Donadi nell'a.s. 2003-04, in una classe terza liceo scientifico PNI, dell'ISIS "Vasari" di Figline Valdarno. Titolo della tesi di Alessio Donadi: "Un'esperienza di uso didattico del Museo della Matematica" (relatore: Professor Brunetto Piochi, correlatore: Professor Enrico Giusti, a.a. 2003-04);
   il progetto dei docenti del liceo Scientifico Castelnuovo (Firenze): B. Bellaccini, I. Casaglia, M. Fabbrini, F. Parigi, in collaborazione con il Professor Riccardo Ricci.
   

   Ulteriori indicazioni bibliografiche

   D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, American Mathematical Society, 1999. Originally published: New York : Chelsea Pub. Co., 1952 (prima edizione tedesca 1932). Edizione italiana: "Geometria intuitiva", Boringhieri, Torino, 1972.
   Emma Castelnuovo, Claudio Gori Giorgi, Daniela Valenti, "La matematica nella realtà - Geometria analitica, logaritmi, geometria dello spazio, statistica", La Nuova Italia Editrice, Scandicci, 1986 (in cui viene trattata l'esperienza "ombra di una palla su un tavolo")
   Emma Castelnuovo, Mario Barra, "Matematica nella realtà", Boringhieri, Torino, 1976 (in cui viene trattata l'esperienza delle piegature (conica come inviluppo delle tangenti)), In particolare il libro illustra i contenuti di una della "esposizioni", precisamente quella del 1974, che Emma Castelnuovo faceva realizzare ai suoi allievi della scuola media.
   La mostra del 1971 è descritta in: Emma Castelnuovo, " Documenti di un'esposizione matematica", Boringhieri, Torino, 1972.
   

7. 13 Maggio 2015 (ore 1)
   Esperienza con il software libero geogebra, con particolare attenzione allo studio delle coniche.

   Il programma geogebra e' libero e scaricabile a questo sito, dove e' disponibile anche tantissimo materiale didattico, guide, manuale, etc. Una versione pdf del manuale e' disponibile ad esempio qui.

8. 20 maggio 2015 (ore 3)
   Poligoni e poliedri sono noti fin dall'antichita', eppure e' solo nel 1640 che Cartesio intuisce la formula di Eulero V-E+F=2, poi riscoperta da Eulero nel 1752. Introduzione alla formula di Eulero attraverso un percorso di domande e congetture, seguendo la presentazione di G. Polya (cfr. bibliografia). Dimostrazione della formula di Eulero per poliedri omeomorfi a una sfera, seguendo l'argomento di Cauchy (cfr. Courant-Robbins e Lakatos, citati in bibliografia). La formula di Eulero e' all'origine della moderna teoria dei politopi convessi, inoltre e' fondamentale la sua collocazione, dovuta a Poincare', nella topologia, nata successivamente. Dalla formula di Eulero alla combinatoria dei politopi convessi: brevi cenni sugli sviluppi successivi della formula di Eulero. Dalla formula di Eulero alla topologia delle superfici: si definisce genere g di una superficie chiusa il massimo numero di curve semplici che non si intersecano che puo' essere tracciato sulla superficie. Una sfera ha genere 0, un toro 1 e cosi' via. Si suddivida una superficie chiusa in un certo numero di regioni, prendendo dei punti sulla superficie (vertici) e collegandoli con degli archi. Si da' una dimostrazione intuititiva che V-E+F=2-2g seguendo l'argomento della sezione 4, cap. V, del libro di Courant e Robbins.

   Bibliografia

   Per riferimenti storici e per una introduzione matematica alla formula di Eulero rimandiamo alle seguenti letture:
   G. Polya, La scoperta Matematica, Volume II, Feltrinelli, 1971.
   R. Courant, H. Robbins, revised by I. Stewart, What is Mathematics? Oxford University Press, 1996.
   G. M. Ziegler, C. Blatter, Euler's polyhedron formula-a starting point of today's polytope theory.
   J. Malkevitch, Euler's Polyhedral Formula, Feature Column of the American Mathematical Society.
   J. Malkevitch, Euler's Polyhedral Formula: part II, Feature Column of the American Mathematical Society.

   Sul sito The Geometry Junkyard, computational and recreational geometry pointers. David Eppstein, Theory Group, ICS, UC Irvine: Twenty Proofs of Euler's Formula: V-E+F=2.

   Per una discussione approfondita della dimostrazione vista a lezione: I. Lakatos, Proofs and Refutations. The logic of Mathematical Discovery, Cambridge University Press, 1976.

   Un riferimento sulla moderna teoria dei politopi convessi:
   G. Ziegler, Lectures on polytopes, GTM 152, Springer-Verlag, 1994.
   B. Grunbaum: Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs, Discrete Mathematics 307(3-5): 445-463 (2007).
   B. Grunbaum: Are Your Polyhedra the Same as My Polyhedra?
   M. Bona, A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory, World Scientific Publishing Company; 3 edition (May 9, 2011).
   J. L Gross, T. W. Tucker, Topological graph theory, DOVER PUBN Incorporated, 2001.