Anno Accademico 2012-13

1. 21.02.13 (ore 2).
   Isometrie del piano, prima lezione
   Breve introduzione: trasformazioni del piano, la geometria come studio degli invarianti rispetto a un gruppo di trasformazioni e il concetto, collegato, di transitivita', che specifica quali oggetti sono, in una data geometria, indistinguibili. La geometria Euclidea e' lo studio degli invarianti rispetto al gruppo delle isometrie. Con queste idee in mente introduciamo in modo intuitivo le isometrie come movimenti rigidi del piano. Osserviamo che: vi e' un movimento che lascia tutto fermo (identita'); per ogni movimento T abbiamo il movimento inverso T^-1; possiamo eseguire due movimenti in successione (composizione); possiamo invertire una composizione.
   Esperienze di laboratorio. La prima e' volta a scoprire quali sono le isometrie del piano studiando il sottoinsieme (sottogruppo) di movimenti rigidi che lascia invariata una data configurazione. Abbiamo lavorato con poligoni regolari e con tassellature periodiche, che, a differenza dei poligoni, permettono di scoprire anche le traslazioni e le glissoriflessioni.
   La seconda studia la composizione di isometrie e in particolare di riflessioni, utilizzando le piegature di fogli di carta.
   Discussione sulle isometrie, le loro proprieta', i loro invarianti e su come migliorare e ampliare le esperienze svolte.
   Materiali utilizzati: zomes, tassellature stampate su carta da lucidi e carta bianca sovrapposte, fogli di carta A3 e "glitter" (il colore acrilico e' sconsigliato!).
   Testi di approfondimento
   Trasformazioni geometriche. Con una introduzione al modello di Poincaré, M. Dedò, Zanichelli, 1996.
   Transformation Geometry. An introduction to simmetry, G. E. Martin, Springer-Verlag, 1982.
   Symmetry, Herman Weyl, Princeton University Press, 1952.
   What is geometry? note di Nigel Hitchin (Oxford University).
   Argomenti collegati
   Una lista quasi casuale: costruzioni con riga e compasso; teoremi classici (Menelao, Ceva, Desargues, Pappo, Pascal, etc); vettori; matrici; similiarita', affinita', proiettivita', gruppi di simmetrie (diedrali, frieze e wallpaper groups, etc), gruppi di Lie, tassellature, ricostruzione di immagini, cristallografia.
   Altre letture:
   The Symmetries of Things, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss,A K Peters/CRC Press ( 2008).
   Tilings and Patterns, Branko Grunbaum, Geoffrey C. Shephard, W.H. Freeman & Company (1986).
   Costruzioni con riga e compasso, note di Giorgio Ottaviani (Universita' di Firenze).
   La scoperta matematica, G. Polya, Feltrinelli, 1971
   Cominciamo dal punto. Domande, risposte e commenti per saperne di più sui perché della Matematica (Geometria) Vinicio Villani, Pitagora Editrice, 2006.
   Multiple View Geometry in Computer Vision, Richard Hartley, Andrew Zisserman, Cambridge University Press; seconda edizione (2004).
   
2. 28.02.13 (ore 2).
   Isometrie del piano, seconda lezione
   Definizione di isometria: una applicazione del piano in se' che conserva la distanza. Esempi: traslazioni, rotazioni. Definizione di riflessione. Proprieta' della riflessione. Una riflessione e' un'isometria suriettiva.Un'isometria conserva: la proprieta' di un punto di essere "tra due punti", punti medi, segmenti, semirette, rette, triangoli,, angoli, misura degli angoli, perpendicolarita'.
3. 14.03.13 (ore 2).
   Isometrie del piano, terza lezione
   Breve discussione sugli assiomi di Hilbert e cenno agli assiomi di Choquet.
   Breve discussione sulla lezione precedente.
   Proposizione: se un'isometria fissa due punti distinti A e B allora fissa ogni punto appartenente alla retta per A e B. Se un'isometria fissa tre punti non allineati allora e' l'identita'.
   Teorema: un'isometria e' la composizione di al piu' tre riflessioni.
   Corollario: (a) se un'isometria ha un punto fisso allora e' composizione di al piu' due riflessioni.
   (b) se ha due punti fissi allora e' una riflessione o l'identita'.
   Corollario: le isometrie sono suriettive e quindi invertibili e formano un gruppo.
   Breve discussione sulla definizione di traslazione. L'orientazione del piano. Le rotazioni.
   Testi di approfondimento
   David Hilbert (1862-1943), The foundation of geometry (e-book), . Authorized translation by E. J. Townsend. L'originale in tedesco:Grundlagen der Geometrie (e-book).
   Gustave Choquet (1915-2006), L'insegnamento della geometria, Feltrinelli, 1967. L'originale in francese: L'enseignement de la géométrie, Hermann, 1964.
4. 21.03.13 (ore 2).
   Isometrie del piano: per concludere abbiamo dimostrato che la composizione di due riflessioni in due rette parallele e' una traslazione e la composizione di due riflessioni in due rette incidenti e' una rotazione. Per l'analogo risultato sulle glissoriflessioni si rimanda al testo di G. Martin: le rette p,q,r non sono incidenti ne' hanno una perpendicolare comune se e solo se la composizione delle riflessioni nelle tre rette e' una glissoriflessione (se le tre rette sono incidenti o parallele la composizione e' una riflessione).
   Laboratorio sulle coniche. Scopi del laboratorio: suggerire possibili esperienze per presentare le coniche come, appunto, sezioni di un cono circolare; osservare come si puo' passare dalla sezione conica alla descrizione della stessa curva come luogo geometrico (e poi alla descrizione analitica); stimolare la discussione sulla ricchezza di una presentazione unitaria di queste curve.
   Per le esperienze la docente ha preso spunto da:
   la presentazione del Professor Ivan Casaglia (Liceo Scientifico Castelnuovo, Firenze), al 2° Seminario nazionale sul curricolo verticale "Percorsi a confronto: aspetti specifici e trasversali", organizzato da CIDI (Centro di iniziativa democratica degli insegnanti), Firenze, 2007, dell'esperienza condotta con Alessio Donadi nell'a.s. 2003-04, in una classe terza liceo scientifico PNI, dell'ISIS "Vasari" di Figline Valdarno. Titolo della tesi di Alessio Donadi: "Un'esperienza di uso didattico del Museo della Matematica" (relatore: Professor Brunetto Piochi, correlatore: Professor Enrico Giusti, a.a. 2003-04);
   il progetto dei docenti del liceo Scientifico Castelnuovo (Firenze): B. Bellaccini, I. Casaglia, M. Fabbrini, F. Parigi, in collaborazione con il Professor Riccardo Ricci.
   Materiali utilizzati: una torcia; una sfera di polistirolo poggiata a una base di compensato su cui si e' fissata un'asticella di legno ortogonale ortogonale al piano e tangente alla sfera (gentilmente prestata dal Professor Ivan Casaglia, che ringrazio anche per le informazioni sulle pubblicazioni di Emma Castelnuovo che riporto qui di seguito).
   Testi di approfondimento
   Emma Castelnuovo, Claudio Gori Giorgi, Daniela Valenti, "La matematica nella realtà - Geometria analitica, logaritmi, geometria dello spazio, statistica", La Nuova Italia Editrice, Scandicci, 1986 (in cui viene trattata l'esperienza "ombra di una palla su un tavolo")
   Emma Castelnuovo, Mario Barra, "Matematica nella realtà", Boringhieri, Torino, 1976 (in cui viene trattata l'esperienza delle piegature (conica come inviluppo delle tangenti)), In particolare il libro illustra i contenuti di una della "esposizioni", precisamente quella del 1974, che Emma Castelnuovo faceva realizzare ai suoi allievi della scuola media.
   La mostra del 1971 è descritta in: Emma Castelnuovo, " Documenti di un'esposizione matematica", Boringhieri, Torino, 1972.
   D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, American Mathematical Society, 1999. Originally published: New York : Chelsea Pub. Co., 1952 (prima edizione tedesca 1932). Edizione italiana: "Geometria intuitiva", Boringhieri, Torino, 1972.
   Capitolo primo
   R. Courant, H. Robbins, revised by I. Stewart, What is Mathematics? Oxford University Press, 2 edition (July 18, 1996).
   Capitolo 4, sezione 8.
   Apollonio di Perga, Treatise on conic sections, edited in modern notation with introductions including an essay on the earlier history of the subject by L.T. Heath, Cambridge University Press.
5. 11.04.13 (ore 2).
   Continuimo la discussione sulle coniche. Come approfondimento di quando visto durante la lezione precedente dimostriamo del fatto seguente: la sezione piana di un cono circolare e' il luogo dei punti P del piano tali che il rapporto tra la distanza di P da un punto F detto fuoco e la distanza di P da una retta d detta direttrice e' costante.
   Cambiando totalmente punto di vista descriviamo un metodo che, senza fare uso di strumenti matematici complessi, permette di classificare, dal punto di vista affine, una conica di equazione generale a₁₁x²+a₁₂xy+a₂₂y²+ a₁x+a₂y+a₀=0, ossia il metodo del completamento dei quadrati.
6. 16.05.13 (ore 2).
   Geometria dello spazio: rette e piani, equazioni vettoriali, parametriche e cartesiane. Angoli diedri. Distanze: tra due punti, punto-piano, punto-retta, tra rette parallele, tra rette sghembe. Posizioni reciproche.
7. 23.05.13 (ore 2).
   Poligoni e poliedri sono noti fin dall'antichita', eppure e' solo nel 1640 che Cartesio intuisce la formula di Eulero, poi riscoperta da Eulero nel 1752.
   Introduzione alla formula di Eulero attraverso un percorso di domande e congetture, seguendo la presentazione di G. Polya (cfr. bibliografia). Dimostrazione della formula di Eulero per poliedri omeomorfi a una sfera, seguendo l'argomento di Cauchy (cfr. Courant-Robbins e Lakatos, citati in bibliografia). La formula di Eulero e' all'origine della moderna teoria dei politopi convessi, inoltre e' fondamentale la sua collocazione, dovuta a Poincare', nella topologia, nata successivamente. Brevissimo cenno agli sviluppi successivi in queste due direzioni.

   Bibliografia
   Per riferimenti storici e per una introduzione matematica alla formula di Eulero rimandiamo alle seguenti letture:
   G. Polya, La scoperta Matematica, Volume II, Feltrinelli, 1971.
   R. Courant, H. Robbins, revised by I. Stewart, What is Mathematics? Oxford University Press, 1996.
   G. M. Ziegler, C. Blatter, Euler's polyhedron formula-a starting point of today's polytope theory.
   J. Malkevitch, Euler's Polyhedral Formula, Feature Column of the American Mathematical Society.
   J. Malkevitch, Euler's Polyhedral Formula: part II, Feature Column of the American Mathematical Society.

   Sul sito The Geometry Junkyard, computational and recreational geometry pointers. David Eppstein, Theory Group, ICS, UC Irvine: Twenty Proofs of Euler's Formula: V-E+F=2.

   Per una discussione approfondita della dimostrazione vista a lezione: I. Lakatos, Proofs and Refutations. The logic of Mathematical Discovery, Cambridge University Press, 1976.

   Un riferimento sulla moderna teoria dei politopi convessi:
   G. Ziegler, Lectures on polytopes, GTM 152, Springer-Verlag, 1994.

8. 30.05.13 (ore 4).
   Politopi convessi, generalizzazione della formula di Eulero e ulteriori sviluppi. L'idea e' cercare di mostrare che, dalla formula di Eulero, e' nata una teoria matematica ricca e tuttora estremamente vivace.
   Definizione di politopo convesso come inviluppo convesso di un numero finito di punti in R^d e come intersezione limitata di un numero finito di semispazi chiusi. (per la dimostrazione dell'equivalenza tra queste due definizioni vedere per esempio il libro di Ziegler sopra citato). Definizione di faccia (chiusa). L'insieme delle facce, comprendente il politopo stesso e l'insieme vuoto, e' un insieme parzialmente ordinato, in particolare e' un reticolo. Due politopi sono combinatorialmente equivalenti se e solo e i reticoli della facce corrispondenti sono isomorfi, cioe' se e solo se esiste una applicazione biunivoca tra i due reticoli che conserva la relazione d'ordine. Definizione di f-vettore di un politopo convesso.
   Teorema di Steinitz (1906) (vedere ad esempio l'articolo di Ziegler e Blatter sopra citato): (f₀,f₁,f₂) in N³ e' l'f-vettore di un qualche poliedro convesso se e solo se f₀-f₁+f₂=2, f₂<=2f₀-4,f₀<=2f₂-4. Osservazioni sull'enunciato. Esempio di due poliedri con lo stesso f-vettore e diverso tipo combinatorio. In dimensione maggiore non abbiamo una caratterizzazione completa dell'f-vettore di un politopo convesso. Vale, per ogni politopo convesso, la seguente generalizzazione della formula di Eulero: formula di Eulero-Poincare': l'f-vettore f=(f₀,f₁,...,f_d-1) di un politopo di dimensione d soddisfa le seguente proprieta': f₀-f₁+...+(-1)^d-1f_d-1 e' 0 se d e' pari e 2 se di e' dispari. Un politopo convesso di dimensione d si dice simpliciale se tutte le sue facce di dimensione d-1 sono simplessi (esempi: il tetraedro, l'ottaedro, l'icosaedro). Un politopo convesso di dimensione d si dice semplice se da ogni vertice escono esattamente d lati (esempi: il tetraedro, il cubo, il dodecaedro). Quello che abbiamo e' una caratterizzazione completa dell'f-vettore dei politopi simpliciali (equivalentemente dei politopi semplici). Congetturata da McMullen nel 1970, dimostrata da Billera e Lee (1980) (parte necessaria: ossia se l'f-vettore soddisfa certe condizioni allora esiste un politopo convesso che ha quell'f-vettore) e da Stanley (1981) (parte sufficiente: ossia se f e' l'f-vettore di un politopo convesso, allora soddisfa certe condizioni. Esempio dell'enunciato in dimensione 4 (vedere ancora l'articolo di Ziegler e Blatter).
   Torniamo al teorema di Steinitz e dimostriamo la parte sufficiente. Si sfrutta il fatto che: ogni faccia contiene almeno 3 lati e ogni lato e' contenuto in esattamente due facce; da ogni vertice escono almeno tre lati e ogni lato contiene esattamente due vertici. Da questo si dimostra anche che: ogni poliedro convesso ha almeno una faccia con non piu' di 5 lati; ogni poliedro convesso ha almeno un vertice da cui escono non piu' di 5 lati (vedere ad esempio il libro di Bona sotto citato). Si mostra inoltre che i poliedri regolari sono i 5 solidi platonici (vedere per esempio Courant-Robbins).
   Ampia discussione sulla definizione di poligono e poliedro (vedere l'articolo di Malkevitch e quelli di Grunbaum sotto citati).
   Grafi e la formula di Eulero: definizione di grafo, grafo semplice, grafo piano, facce di un grafo piano, grafo connesso. Il grafo di un poliedro omeomorfo a una sfera. Dimostrazione della formula di Eulero: e' essenziale il teorema di Jordan (nel piano ogni curva semplice (ossia senza autointersezioni) e chiusa divide il piano in 3 regioni (la curva, l'esterno e l'interno) e il mostrare che, per ogni albero (in questo caso un albero generatore del grafo del poliedro) vale la formula di Eulero (cfr. ad esempio il libro di Bona). Per una bella esposizione di questa dimostrazione vedere il primo articolo di Malkevitch sopra citato. Piu' in generale: ogni grafo piano connesso soddisfa la formula di Eulero (per una dimostrazione per induzione vedere il libro di Bona).
   Teorema di Stenitz (1922) Un grafo planare e' il grafo di un politopo convesso se e solo se e' 3-connesso. 3-connesso significa che ogni coppia di vertici puo' essere collegata da tre cammini a due a due disgiunti (tranne ovviamente i due vertici estremi).
   Brevissimo cenno alle implicazioni topologiche della formula di Eulero, si rimanda, per una esposizione introduttiva delle idee, al libro di Courant e Robbins. Per chi fosse interessato a una lettura dal punto di vista dei grafi vedere il libro di Gross e Tucker sotto citato.

   Bibliografia
   B. Grunbaum: Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs, Discrete Mathematics 307(3-5): 445-463 (2007).
   B. Grunbaum: Are Your Polyhedra the Same as My Polyhedra?
   M. Bona, A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory, World Scientific Publishing Company; 3 edition (May 9, 2011).
   J. L Gross, T. W. Tucker, Topological graph theory, DOVER PUBN Incorporated, 2001.

   Pensando a Grunbaum suggerisco, per chi e' interessaton alle tassellature: B. Grunbaum, G. C. Shephard Tilings and Patterns, W.H. Freeman & Company (August 1986)