Registro delle lezioni tenute per il corso di Geometria differenziale e proiettiva, titolare Prof. Luigi Verdiani. A.A. 2008/09.

  1. 3.11.08 (ore 3).
    Definizione di superfice. Esempi: superfici topografiche; la sfera (le 6 carte e le 2 della proiezione stereografica dai poli); retroimmagine di valori regolari (richiamo enunciato thm funzione implicita, esempio esplicito, come varia la retroimmagine al variare di un parametro); superfici di rotazione (condizione sufficiente di regolarita', catenoide e toro).
  2. 4.11.08 (ore 2)
    Elicoide. Superfici parametrizzate. Richiamo dell'enunciato del teorema della funzione inversa (in R^n). Il cambio di carte e' un diffeomorfismo. Curve su una superficie. Riparametrizzazione passando dalla carta. Span{x_u,x_v} contiene tutti e soli i vettori tangenti a curve della superficie. Definizione di spazio tangente (vettoriale) e cenno al piano tangente.
  3. 10.11.08 (ore 3)
    Spazio tangente, piano tangente, versore normale, esempi di calcolo con l'iperboloide. Definizione di superficie orientabile, esempi. Definizione di carte compatibili. Superfici non orientabili, l'esempio del nastro di Moebius. Mappa di gauss, definizione ed esempi. Differenziale di una applicazione tra due superfici. Operatore di Weingarten. E' autoggiunto. Curvature principali.
  4. 11.11.08 (ore 2)
    Prima e seconda forma fondamentale, matrici rispetto alla base {x_u,x_v}, esempio di calcolo sull'iperboloide. Seconda forma fondamentale: curvatura normale, sezione normale (esempio sfera), formula di Eulero, k_1 e k_2 massimo e minimo valore della curvatura normale. Prima forma fondamentale: lunghezza di una curva (esempio piano--cilindro), angoli.
  5. 17.11.08 (ore 3)
    Nozioni intrinseche ed estrinseche. Comincio a introdurre l'idea: I forma fondamentale=intrinseco che Angolo tra due curve nel punto di intersezione. Area di una regione di superficie, calcolo dell'area del toro assegnato come esercizio. Curvatura gaussiana e curvatura media, calcolo della curvatura gaussiana e della curvatura media. Esempio delle superfici di rotazione e in particolare per il toro calcolo di K. Esempi: piano, cilindro (punti parabolici); punti interni toro (punti iperbolici); punti esterni toro (punti ellittici). Per il piano--cilindro si nota che K rimane invariata (intrinseca) mentre H cambia (estrinseca). Configurazione della superficie rispetto al piano tangente in un intorno di un punto ellittico/iperbolico. La prima forma fondamentale e la seconda sono invarianti per movimenti rigidi. Teorema fondamentale della teoria locale delle superfici. Definizione di isometria locale. Esempi. I movimenti rigidi sono isometrie. Una applicazione tra due sup e' un'isometria locale se e solo se conserva le lunghezze (senza dim). Definizione di distanza tra due punti. Teorema di Gauss e relative osservazioni.
  6. 18.11.08 (ore 2)
    Definizione di campo vettoriale su una superficie. Derivata covariante. Definizione di campo parallelo e curva geodetica. Proprieta' delle geodetiche ed esempi. Curvatura geodetica. Triangolazione di una regione e caratteristica di Eulero. Genere di una superficie, esempio relazione tra V,L e F del cubo, sfere con g manici. Teorema di Gauss--Bonnet. Caso di M compatta senza bordo. Caso del triangolo geodetico. Esempi di un triangolo geodetico su una sfera, somma angoli interni maggiore di \pi; disco iperbolico, un esempio di prima forma fondamentale non indotta dall'immersione, geodetiche, triangolo geodetico somma angoli interni minore di \pi.