Indico con s.d. i risultati enunciati senza dimostrazione.

• 03.05.2011 (2 ore)
  Lo spazio proiettivo: definizione. Lo spazio proiettivo P(Rⁿ⁺¹) può essere pensato come la sfera n-dimensionale con i punti antipodali identificati. Coordinate omogenee. Pⁿ(R)=Rⁿ⁺¹∪P^n-1(R). In dettaglio i casi n=1 e n=2.
• 06.05.2011 (2 ore)
  Sottospazi lineari di uno spazio proiettivo. Relazione di Grassmann (s.d.). Per due punti distinti in un spazio proiettivo passa una e una sola retta proiettiva. In un piano proiettivo due rette proiettive distinte si intersecano in un punto. Rette proiettive nel modello di P²(R) come sfera con i punti antipodali identificati; relazione tra rette proiettive e rette nel piano tramite la scomposizione: P²(R)=R²∪P¹(R)
• 09.05.2011 (2 ore)
  Trasformazioni proiettive. Due applicazioni lineari invertibili definiscono la stessa trasformazione proiettiva se e solo se sono una multipla dell'altra. Trasformazioni del piano proiettivo reale. Date due rette distinte P(U) e P(U') in un piano proiettivo e un punto K non contenuto in esse, la proiezione da K definisce una trasformazione proiettiva da P(U) a P(U'). Definizione di n+2 punti in posizione generale in uno spazio proiettivo n dimensionale. Dati N=2 punti in posizione generale in P(V) e n+2 punti in posizione generale in P(W) esiste un'unica trasformazione proiettiva che manda il primo insieme ordinato di punti nel secondo.
• 13.05.2011 (2 ore)
  Dualità . Definizione di spazio duale, base duale, trasformazione duale. Annullatore U^o di un sottospazio U di uno spazio vettoriale V. Se U₁ è contenuto in U₂ allora U₂^o è contenuto in U₁^o dim(U)+dim(U^o)=dim(V). Isomorfismo canonico tra V e il bi-duale. Definizione di iperpiano in uno spazio proiettivo. I punti del duale sono in corrispondenza biunivoca con gli iperpiani.
• 17.05.2011 (2 ore)
  Un sottospazio lineare P(W) di dim m uno spazio proiettivo duale P(V') di dim n è costituito da tutti e soli gli iperpiani che si intersecano nel sottospazio lineare P(U) di P(V). Dove U e' l'unico sottospazio di V tale che U^o=W. Esempio di enunciati duali: nel piano proiettivo per due punti passa una e una sola retta; due rette si intersecano in un punto. Una retta proiettiva nel piano proettivo duale è un fascio di rette incidenti nel piano proiettivo. Identificazione tra: spazio delle rette nel piano reale affine, piano proiettivo reale meno un punto, nastro di Moebius.
• 20.05.2011 (2 ore)
  Il birapporto. Esercizi su rette in P²(R). Coniche. Azione di una proiettività di matrice H su punti, rette e coniche di P²(R).
• 24.05.2011 (2 ore)
  Retta tangente a una conica in un punto fissato. Conica duale. Esempi di trasformazioni proiettive su coniche. Gerarchia di proiettività di P²(R): isometrie ⊂ similarità ⊂ affinità ⊂ proiettività . Per ogni classe di individuano i gradi di libertà e il livello di deformazione.
• 27.05.2011 (2 ore) Proiettività : nove gradi di libertà . Una proiettività manda rette in rette e conserva il birapporto di quattro punti allineati. Affinità . Sei gradi di libertà . Scomposizione. Una affinità manda rette parallele in rette parallele, conserva il rapporto tra le lunghezze di segmenti paralleli e il rapporto tra le areee.
• 31.05.2011 (2 ore) Similarità : composizione di una isometria e una omotetia. Quattro gradi di libertà . Conserva gli angoli, i rapporti tra lunghezze e tra aree. Isometrie: un isometria è data dalla composizione di una rotazione, una riflessione e una traslazione. Tre gradi di libertà . Conserva aree e lunghezze. Ricostruzione di immagini a meno di affinità mediante individuazione della retta all'infinito. Ricostruzione di immagini a meno di similarità . I punti circolari. Una affinità conserva i punti circolari se e solo se è una similarità . Coniche degeneri. Coniche duali degeneri.
• 07.06.2011 (2 ore)
  Applicazioni alla ricostruzione di immagini in dimensione 2. Esempio di ricostruzione quando si possono individuare, nell'immagine, cinque coppie di rette che sono immagine di coppie di rette ortogonali.
• 08.06.2011 (2 ore)
  Problemi di ottimizzazione nella ricostruzione di immagini. Direct linear transformation algorithm.
• 10.06.2011 (2 ore)
  Problematiche relative all'applicazione dell'algoritmo di trasformazione lineare diretta. Normalizzazione dei dati.