Registro delle lezioni di Fiammetta Battaglia, modulo di Didattica della Geometria.
PAS, Classe A049 - Matematica e Fisica.

Anno Accademico 2013-14

  1. 20.03.2014 (2 ore).
    Organizzazione e introduzione al corso.
  2. 27.03.3014 (3 ore).
    Le coniche dal punto di vista sintetico. Breve introduzione storica: Menecmo (380-320 AC) scopre le coniche lavorando al problema della duplicazione del cubo. Ellissi, parabole e iperboli si ottengono intersecando tre tipi distinti di coni circolari retti con piani sempre ortogonali a una generatrice, precisamente l'angolo al vertice del cono dovra' essere acuto, retto e ottuso rispettivamente. Apollonio di Perga (262-190 AC) mostra che i tre tipi di curve si possono ottenere da un unico cono, non necessariamente circolare retto, variando l'inclinazione del piano secante. Collega cosi' le tre curve in un'unica famiglia.
    Dalle sezioni coniche alle proprieta' delle coniche come luoghi geometrici del piano: utilizzando le sfere di Dandelin (1794-1847) individuiamo fuochi, direttrici, eccentricita'. Dimostriamo che l'ellisse e' il luogo dei punti del piano la cui somma delle distanze dai fuochi e' uguale alla lunghezza dell'asse maggiore e il cui rapporto tra la distanza da un fuoco e dalla relativa direttrice e' una costante maggiore di 1.
    Proposte di esperienze di laboratorio per quanto visto sopra.
    Le proprieta' ottiche dell'ellisse.

    Indicazioni bibliografiche e link utili.

    Per una trattazione storica:
    1) Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach, Isaac Asimov (foreword) A History of Mathematics, Second Edition, Wiley, 1991. Prima edizione in pdf
    2) Carl B. Boyer History of analytic geometry, Dover Books on Mathematics, Dover publications (2004)
    3) Apollonio di Perga, Treatise on conic sections, edited in modern notation with introductions including an essay on the earlier history of the subject by L.T. Heath, Cambridge University Press.

    Le sfere di Dandelin:
    4) R. Courant, H. Robbins, revised by I. Stewart, What is Mathematics? Oxford University Press, 2 edition (July 18, 1996). Capitolo 4, sezione 8.
    5) A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, Geometry of Conics, Mathematical World (Book 26), American Mathematical Society (2007)
    6) Per una trattazione dei casi della parabola e dell'iperbole

    Per le proprieta' ottiche vedere per esempio (5).

    Per una descrizione di un esperienza di laboratorio: presentazione del Professor Ivan Casaglia (Liceo Scientifico Castelnuovo, Firenze), al 2° Seminario nazionale sul curricolo verticale "Percorsi a confronto: aspetti specifici e trasversali", organizzato da CIDI (Centro di iniziativa democratica degli insegnanti), Firenze, 2007, dell'esperienza condotta con Alessio Donadi nell'a.s. 2003-04, in una classe terza liceo scientifico PNI, dell'ISIS "Vasari" di Figline Valdarno. Titolo della tesi di Alessio Donadi: "Un'esperienza di uso didattico del Museo della Matematica" (relatore: Professor Brunetto Piochi, correlatore: Professor Enrico Giusti, a.a. 2003-04);
    il progetto dei docenti del liceo Scientifico Castelnuovo (Firenze): B. Bellaccini, I. Casaglia, M. Fabbrini, F. Parigi, in collaborazione con il Professor Riccardo Ricci.

    Ulteriori indicazioni bibliografiche:

    D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Geometry and the Imagination, American Mathematical Society, 1999. Originally published: New York : Chelsea Pub. Co., 1952 (prima edizione tedesca 1932). Edizione italiana: "Geometria intuitiva", Boringhieri, Torino, 1972.
    Emma Castelnuovo, Claudio Gori Giorgi, Daniela Valenti, "La matematica nella realtà - Geometria analitica, logaritmi, geometria dello spazio, statistica", La Nuova Italia Editrice, Scandicci, 1986 (in cui viene trattata l'esperienza "ombra di una palla su un tavolo")
    Emma Castelnuovo, Mario Barra, "Matematica nella realtà", Boringhieri, Torino, 1976 (in cui viene trattata l'esperienza delle piegature (conica come inviluppo delle tangenti)), In particolare il libro illustra i contenuti di una della "esposizioni", precisamente quella del 1974, che Emma Castelnuovo faceva realizzare ai suoi allievi della scuola media.
    La mostra del 1971 è descritta in: Emma Castelnuovo, " Documenti di un'esposizione matematica", Boringhieri, Torino, 1972.

  3. 16.04.2014 (4 ore)
    Proprieta' ottiche della parabola.Discussione su motivazioni didattiche e collegamenti con le applicazioni.
    Breve introduzione storica alla geometria analitica, la cui creazione e successiva evoluzione e' legata in modo importante allo studio delle coniche. La geometria analitica nasce con le opere di Fermat e Cartesio e si sviluppa nel tempo con il contributo di numerosi studiosi, che includono Newton, i fratelli Jean e Jacques Bernoulli e Leibniz. Discussione sull'efficacia didattica di proporre un approccio storico all'insegnamento della matematica.
    Le coniche dal punto di vista analitico: la parabola, equazione canonica, le traslazioni attraverso lo studio della parabola come grafico di funzione, la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
    Proposta di esperienze di laboratorio utilizzando il programma geogebra: le rette nel piano; incentro e circocentro; il problema di Pappo; intersezioni tra rette e coniche; direttrice, fuoco, eccentricita'; invarianza per affinita'; conica per cinque punti assegnati.

    Indicazioni bibliografiche e link utili.

    Per le proprieta' ottiche della parabola vedere il materiale proposto per la lezione precedente.

    Per un approfondimento storico oltre ai testi segnalati per la lezione precedente (1 e 2) segnalo anche: J. Stillwell, Mathematics and Its History, GTM, Springer, terza edizione 2010. Il testo contiene, tra le altre cose, una bellissima introduzione al teorema di Pitagora.
    Due riferimenti che ho trovato molto chiari sui paradossi di Zenone:
    Martin Gardner's Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American (W. H. Freeman, 1971), capitolo 17;
    I. Stewart, From Here to Infinity, Oxford University Press, 1996.

    Il programma geogebra e' libero e scaricabile a questo sito, dove e' disponibile anche tantissimo materiale didattico, guide, manuale, etc. Una versione pdf del manuale e' disponibile ad esempio qui.

  4. 24.04.2014 (2 ore)
    Equazioni canoniche di ellisse e iperbole. Cambiamento di sistema di riferimento: traslazioni; rotazioni. Data un'equazione arbitraria di secondo grado nelle coordinate x e y, esiste un cambiamento di sistema di riferimento, ottenuto componendo una rotazione e una traslazione, tale che l'equazione che si ottiene nel nuovo sistema di riferimento e' quella canonica di una conica, non degenere o degenere, a punti reali o immaginari (argomento della dimostrazione tratto dal libro di Stillwell--cfr. bibliografia lezione precedente--esercizi sezione 7.2).
    Brevi cenni introduttivi allo studio delle isometrie: trasformazioni del piano, la geometria come studio degli invarianti rispetto a un gruppo di trasformazioni e il concetto, collegato, di transitivita', che specifica quali oggetti sono, in una data geometria, indistinguibili. La geometria Euclidea e' lo studio degli invarianti rispetto al gruppo delle isometrie.

    Indicazioni bibliografiche:

    What is geometry? note di Nigel Hitchin (Oxford University).
    Trasformazioni geometriche. Con una introduzione al modello di Poincaré, M. Dedò, Zanichelli, 1996.

  5. 08.05.2014 (3 ore)
    Definizione di isometria del piano come applicazione del piano in se' che conserva le distanze. Proposte di laboratorio per scoprire le isometrie piane: studio delle simmetrie di figure/oggetti piani. Primo esempio: studio delle isometrie del piano che portano un poligono regolare di n lati in se'; il caso n=4. Si possono cosi' introdurre: l'applicazione identita'; rotazioni; riflessioni; la nozione di composizione; la composizione di rotazioni con lo stesso centro; la composizione di una rotazione e una riflessione; la composizione di riflessioni; la nozione di inversa di una applicazione; la nozione di gruppo; la nozione di gruppo ciclico, la nozione di gruppo non commutativo.Il gruppo delle simmetrie del poligono regolare di n lati e' noto come gruppo diedrale, che denotiamo con Dn. Denotiamo il sottogruppo ciclico delle rotazioni con Cn. Dimostriamo che D4 ha 8 elementi. In generale Dn ha 2n elementi. Ricordiamo la relazione di isomorfismo tra Cn e il gruppo delle radici n-esime di 1 in C.
    Secondo esempio: studio dei fregi. L'osservazione di un fregio molto semplice permette di introdurre traslazioni e glissoriflessioni. Ricordiamo i 7 gruppi di simmetrie dei fregi.
    Intervento del Professor Alberto Gandolfi sulla storia dell'assiomatica Euclidea da Euclide a Tarski.

    Indicazioni bibliografiche e link utili.


    Il libro seguente utilizza solo metodi di geometria elementare e de' a mio parere molto bello, con proposte di esperienze di laboratorio. Transformation Geometry. An introduction to simmetry, G. E. Martin, Springer-Verlag, 1982. John Conway's Dance Step Frieze Patterns
    The symmetries of things conferenza di John Conway.

    Per l'intervento sull'assiomatica Euclidea del Professor Gandolfi:
    Testo greco e traduzione italiana prime proposizioni primo libro (Elementi di Euclide)
    Elementi - traduzione di Tartaglia
    Elementi - traduzione inglese con Java
    Euclid and its modern rivals, by Dodgson
    Fondamenti della geometria di Hilbert
    What is elementary geometry, Tarski
    Gli assiomi di Tarski, da Wikipedia
    Formalizzazione della geometria di Tarski in Coq
    David Hilbert (1862-1943), The foundation of geometry (e-book), . Authorized translation by E. J. Townsend. L'originale in tedesco:Grundlagen der Geometrie (e-book).
    Gustave Choquet (1915-2006), L'insegnamento della geometria, Feltrinelli, 1967. L'originale in francese: L'enseignement de la géométrie, Hermann, 1964.

  6. 22.05.2014 (2 ore)
    Altre configurazioni piane che permettono di introdurre traslazioni e glissoriflessioni sono le tassellature. Definizione di tassellatura, tassellatura periodica, tassellatura non periodica, insieme di tasselli aperiodico e tassellature aperiodiche. Esempi. Abbiamo visto: i gruppi Cn e Dn, detti gruppi dei rosoni, sono gli unici gruppi finiti di isometrie (Teorema di Leonardo). I sette gruppi dei fregi, questi sono gruppi di isometrie piane (infiniti) che contengono esattamente una traslazione (e tutte le sue potenze)--ossia tali che il sottogruppo delle traslazioni e' generato da una traslazione. I gruppi che caratterizzano le simmetrie delle tasselature piane periodiche sono i diciassette gruppi cristallografici piani, detti anche gruppi dei mosaici o gruppi delle carte da parati (wallpaper groups), ossia gruppi di isometrie piane (infiniti) che contengono esattamente due traslazioni indipendenti (e tutte le loro potenze e composizioni)--ossia tali che il sottogruppo delle traslazioni e' generato da due traslazioni indipendenti. Teorema di restrizione cristallografica: sia G un gruppo cristallografico piano e sia R una rotazione in G di centro O e angolo a. Allora a=0,60,90,120,180. Alcuni autori definiscono per estensione i gruppi cristallografici piani come sottogruppi discreti del gruppo delle isometrie del piano. In questa accezione questi sono dati quindi dai gruppi dei rosoni, dei fregi e dei mosaici. Mi sembra pero' preferibile, in ambito didattico, non utilizzare la nozione di gruppo discreto.
    Definizione di riflessione in una retta e sue proprieta'. Una riflessione e' un'isometria del piano, dimostrazione. Definizione di traslazione. Una traslazione e' una isometria (s.d.).

    Indicazioni bibliografiche e link utili.

    Il libro di Martin e' a mio parere un ottimo riferimento anche su questa parte. Altri riferimenti bibliografici
    Symmetry, Herman Weyl, Princeton University Press, 1952.
    The Symmetries of Things, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss,A K Peters/CRC Press ( 2008).
    Geometry and groups, T. K. Carne.
    The plane symmetry groups: Their recognition and notation, Doris Schattschneider, The American Mathematical Monthly 85 (6) (1978) 439-450, JSTOR 2320063.
    Tilings and Patterns, Branko Grunbaum, Geoffrey C. Shephard, W.H. Freeman & Company (1986).
    Penrose Tiles Talk Across Miles, David Austin, Feature column of the American Mathematical Society,
    Penrose Tilings Tied up in Ribbons, David Austin, Feature column of the American Mathematical Society,
    Martin Gardner, Penrose Tiles and Trapdoor Ciphers, W. H. Freeman, 1989.
    Argomenti collegati
    Una lista quasi casuale: costruzioni con riga e compasso; teoremi classici (Menelao, Ceva, Desargues, Pappo, Pascal, etc); vettori; matrici; similarita'; affinita'; proiettivita'; geometria proiettiva; gruppi discreti e di Lie e relative applicazioni alla fisica, ricostruzione di immagini.
    Projective Geometry Note di Nigel Hitchin (Oxford University).
    Costruzioni con riga e compasso, note di Giorgio Ottaviani (Universita' di Firenze).
    Groups and Physics J. A Coleman, Notices of the AMS, Vol. 44, No. 1 (1997).
    Multiple View Geometry in Computer Vision, Richard Hartley, Andrew Zisserman, Cambridge University Press; seconda edizione (2004).

  7. 05.06.2014 (2 ore).
    Definizione di rotazione. Una rotazione e' un'isometria. Definizione di glissoriflessione. Proprieta' delle isometrie introdotte (punti fissi, sottoinsiemi di punti fissi, sottoinsiemi invarianti, conservare o invertire l'orientazione del piano). Proposizione sulle proprieta' delle isometrie piane. Se un'isometria fissa due punti distinti A e B, allora fissa anche ogni punto appartenente alla retta per A e B.Se un'isometria fissa tre punti non collineari, allora e' l'identita'. Teorema: ogni isometria e' data dalla composizione di al piu' tre riflessioni. Teorema: sia f una isometria del piano, allora f e' o una traslazione (composizione di due riflessioni in due rette tra loro parallele) o una rotazione (composizione di due riflessioni rispetto a due rette incidenti) o una riflessione o una glissoriflessione (composizione di tre riflessioni in tre rette in posizione generale, ossia ne' parallele ne' con un punto in comune)--senza dimostrazione. Proposta di laboratorio: la composizione di riflessioni attraverso le piegature di fogli di carta (materiale: fogli A3 e glitter).
    La formula di Eulero per poliedri. Sia P un poliedro omeomorfo a una sfera--ad esempio convesso--si denoti con V il numero dei vertici, E il numero degli spigoli e F il numero delle facce, allora V-E+F=2. Proposta di laboratorio: congetturare la formula di Eulero (materiale: modelli di poliedri, ad esempio costruiti con gli zomes. Argomento per la dimostrazione. Cenni alla relazione tra formula di Eulero e topologia delle superfici.

    Indicazioni bibliografiche e link utili.

    Per la parte sulle isometrie rimando alle indicazione dati per le lezioni precedenti. In particolare l'argomento per la dimostrazione del teorema sulle isometrie come composizione di riflessioni e' stato tratto dal libro di M. Dedo'. Il laboratorio con le piegature e' descritto nel libro di Martin.
    Per la parte sui poliedri:
    Per riferimenti storici e per una introduzione matematica alla formula di Eulero rimandiamo alle seguenti letture:
    G. Polya, La scoperta Matematica, Volume II, Feltrinelli, 1971.
    R. Courant, H. Robbins, revised by I. Stewart, What is Mathematics? Oxford University Press, 1996.
    G. M. Ziegler, C. Blatter, Euler's polyhedron formula-a starting point of today's polytope theory.
    J. Malkevitch, Euler's Polyhedral Formula, Feature Column of the American Mathematical Society.
    J. Malkevitch, Euler's Polyhedral Formula: part II, Feature Column of the American Mathematical Society.

    Sul sito The Geometry Junkyard, computational and recreational geometry pointers. David Eppstein, Theory Group, ICS, UC Irvine: Twenty Proofs of Euler's Formula: V-E+F=2.

    Per una discussione approfondita della dimostrazione vista a lezione: I. Lakatos, Proofs and Refutations. The logic of Mathematical Discovery, Cambridge University Press, 1976.

    Un riferimento sulla moderna teoria dei politopi convessi:
    G. Ziegler, Lectures on polytopes, GTM 152, Springer-Verlag, 1994.
    Per ulteriori approfondimenti:
    B. Grunbaum: Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs, Discrete Mathematics 307(3-5): 445-463 (2007).
    B. Grunbaum: Are Your Polyhedra the Same as My Polyhedra?
    M. Bona, A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory, World Scientific Publishing Company; 3 edition (May 9, 2011).
    J. L Gross, T. W. Tucker, Topological graph theory, DOVER PUBN Incorporated, 2001.