Registro del corso di Topologia Differenziale a.a 2018-2019
Docente Fiammetta Battaglia.
- 26.02.2018 (ore 2).
Introduzione al corso.Richiami di topologia generale: definizione di topologia di un insieme,
base di aperti per una topologia, spazio topologico a base numerabile,
di Hausdorff. Topologia prodotto.
Riferimenti::
Loring W. Tu,
An Introduction to Manifolds, Universitext, 2011
Springer-Verlag New York, Appendice A, Point Set Topology
Un riferimento classico ed esaustivo per la topologia generale e' il seguente:
James Munkres, Topology, 2nd Edition, Pearson, 2000 (
prima edizione del 75)
Anche i primi due capitoli del libro seguente sono un ottimo riferimento,
ricco di esempi ma anche piuttosto sintetico:
I.M. Singer, J.A. Thorpe,Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry,
Undergraduate Texts in Mathematics, 1967, Springer-Verlag New York
- 28.02.2019 (ore 2).
Richiami di topologia generale. Topologia quoziente.
Applicazioni continue. Esempi. Mappa indotta sul quoziente. Omeomorfismo.
Esempi di spazi quozienti tra cui la retta proiettiva reale e R/Z, entrambi omeomorfi a S1.
Compatti. Esempi. Applicazioni continue mandano compatti in compatti.
Un chiuso in un compatto e' compatto. Un compatto in uno spazio Hausdorff e' chiuso. Un sottoinsieme di Rn
e' compatto se e solo se e' chiuso e limitato (senza dimostrazione).
Riferimenti::
Come per la lezione precedente.
- 05.03.2019 (ore 2)
Richiami di topologia generale.
Spazi topologici connessi. Chiusura di un insieme, punti di accumulazione. La chiusura di un insieme A e' l'unione
di A e dei punti di accumulazione di A. Convergenza di una successione.
In uno spazio di Hausdorff il limite di una successione, se esiste, e' unico.
In uno spazio a base numerabile un punto sta nella chiusura di un insieme A se e solo se
e' il limite di una successione di punti di A (l'implicazione inversa e' vera in generale).
Termina qui la parte di richiami di topologia generale.
Omotopia: mappe omotope, spazi topologici omotopicamente equivalenti, spazi contrattili.
Rn e' contrattile.
Gruppo fondamentale. In sintesi: cammino, spazio topologico connesso per archi, connesso per archi implica connesso,
prodotto di due cammini, inverso di un cammino, cammini omotopi.Definizione di primo gruppo di omotopia o gruppo fondamentale di uno
spazio topologico X con punto base x0.
Riferimenti::
Testo di riferimento per la parte sull'omotopia: I.M. Singer, J.A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry,
Undergraduate Texts in Mathematics, 1967, Springer-Verlag New York.
- 07.03.2019 (ore 2)
Teorema: In un spazio topologico connesso per archi, gruppi fondamentali rispetto a due punti base distinti, p e q, sono isomorfi, l'isomorfismo
dipende dalla classe di omotopia scelto per congiungere p e q.
Teorema: Gruppi fondamentali di spazi topologici connessi per archi e omotopicamente equivalenti sono isomorfi.
Corollario: Uno spazio contrattile ha gruppo fondamentale banale.
Definizione di rivestimento ed esempi: R riveste S1, S2 riveste P2(R),
esempio di rivestimento doppio, R2 riveste il toro S1xS1.
Definizione di spazio
localmente connesso per archi.
Localmente connesso per archi non implica connesso per archi. Connesso per archi non implica localmente connesso per archi.
Definizione di semplicemente connesso. Definizione di localmente semplicemente connesso.
Definizione di rivestimento universale. Esistenza del rivestimento universale per spazi connessi per archi,
localmente connessi per archi e localmente semplicemente connessi.
Relazione tra rivestimento universale e gruppo fondamentale. Esempi. Il gruppo fondamentale e' stato trattato molto sinteticamente, senza
dare dimostrazioni.
Motivazioni per lo studio dell'omologia simpliciale.
Riferimenti::
Testo di riferimento: come per la lezione precedente.
<\li>
- 12.03.2019 (ore 2)
Omologia simpliciale: definizione di simplesso, chiuso e aperto. Definizione di complesso simpliciale. Cenno al gruppo fondamentale di un complesso
simpliciale. Simplessi orientati, l-catene, mappa bordo dalle (l+1)-catene alle l-catene.
- 14.03.2019 (ore 2)
Definizione di omologia di un complesso simpliciale. Esempi: omologia e primo gruppo fondamentale
del triangolo "pieno" e "vuoto", omologia e primo gruppo fondamentale di due triangoli "vuoti" attaccati per un vertice. Il
primo gruppo di omologia e' l'abelianizzato del primo gruppo di omotopia. Teorema di Brower: ogni applicazione continua dal
disco chiuso in se' ha un punto fisso.
Riferimenti::
Testo di riferimento: come per la lezione precedente.
- 19.03.2019 (ore 2)
LA sfera Sn e' semplicemente connessa, per n maggiore o uguale a 2. Complessi simpliciali omeomorfi a toro, piano proiettivo reale
e bottiglia di Klein, cenno alle rispettive omologie simpliciali.
Numeri di Betti di un complesso simpliciale, caratteristica di Eulero. Caratteristica di Eulero in funzione dell'f-vettore
(f0,...,fi,...,fn) di un complesso simpliciale K (fi numero dei simplessi di
dimensione i in K).
Coomologia simpliciale.
Richiami di algebra multilineare.
Sia V uno spazio vettoriale reale. Definiamo lo spazio duale V*, lo spazio vettoriale, Trs(V), dei tensori covarianti di ordine r e
controvarianti di ordine s, di dimensione nr+s su V. Restringiamo la nostra attenzione ai tensori COVARIANTI. Una applicazione lineare F* da V a W, definisce una mappa
F*: Tr(W) ---> Tr(V). Tensori simmetrici e alternanti. Permutazioni.
Simmetrizzatore, alternatore e loro proprieta'. Prodotto tensoriale e proprieta'.
Riferimenti::
Testi di riferimento: per la parte di omologia simpliciale, come per la lezione precedente. Per la parte di algebra multilineare ad
esempio W. M. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian Geometry, Mathematics 120, Academic Press,
1986 (ottimo riferimento per le varieta' differenziabili e per la geometria Riemanniana, molto chiaro, dettagliato e ricco di esempi).
- 26.03.2019 (ore 2)
Prodotto esterno e proprieta'. Definizione di varieta' topologica e di varieta' differenziabile. Esempi. Spazio tangente in un punto p
come spazio di derivazioni sui germi di funzioni liscie in p.
Riferimenti::
Testi di riferimento: L. W. Tu: An introduction to Manifolds, Universitext, Springer, second edition, 2011.
- 28.03.2019 (ore 2)
Spazio tangente in un punto. Basi coordinate. Derivazioni e curve. Differenziale di una applicazione tra due varieta' e sue proprieta'.
Riferimenti::
Testi di riferimento: L. W. Tu: An introduction to Manifolds, Universitext, Springer, second edition, 2011.
- 02.04.2019 (ore 2)
Differenziale di una funzione, come 1-forma, e sua espressione locale. Forme differenziali in Rn,
complesso e coomologia di de Rham per n=0 e n=1.
Pull-back di una forma differenziale, sua espressione locale.
Riferimenti::
Testi di riferimento: L. W. Tu: An introduction to Manifolds, Universitext, Springer, second edition, 2011.
- 09.04.2019 (ore 2)
Differenziale e pull-back commutano. Dimostrazione del Lemma di Poincare': la coomologia di Rn. Fibrato tangente,
struttura di varieta' differenziabile, banalizzazione locale, proprieta' di fibrato vettoriale,
funzioni di transizione.
Riferimenti::
Testi di riferimento: per il Lemma di Poincare' R. Bott, L. W. Tu Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag 1982. Per il fibrato tangente:
L. W. Tu: An introduction to Manifolds, Universitext, Springer, second edition, 2011.
- 10.04.2019 (ore 2)
Le sezioni del fibrato tangente sono i campi vettoriali sulla varieta'. Assegnare un campo vettoriale mediante una collezione
di campi vettoriali sulle carte, con la proprieta' che
si incollino bene mediante le funzioni di transizione. Fibrato cotangente: struttura di varieta' differenziabile, banalizzazione locale,
funzioni di transizione, proprieta' di fibrato vettoriale. Le sezioni sono le 1-forme sulla varieta'. Assegnare una 1-forma mediante una collezione di 1-forme
sulle carte, con la proprieta' che si incollino bene mediante le funzioni di transizione.
Forme differenziali su M di grado q per analogia. Il differenziale e il prodotto wedge sono definiti sulle forme differenziabili su M. Il pull-back f* di una applicazione f liscia da N in M.
La coomologia di de Rham di una varieta' liscia M.
Definizione di partizione dell'unita'. Esistenza di una partizione dell'unita' subordinata a un ricoprimento aperto
(senza dimostrazione). Partizione dell'unita' a supporto compatto relativa a un ricoprimento aperto.
La successione di Mayer-Vietoris: introduzione.
Riferimenti::
Testi di riferimento: Per i fibrati:
L. W. Tu: An introduction to Manifolds, Universitext, Springer, second edition, 2011. Per la parte successiva:
R. Bott, L. W. Tu Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag 1982.
- 11.04.2019 (ore 2)
La successione di Mayer-Vietoris per il calcolo della coomologia di de Rham. Esempio: la coomologia di de Rham di S1.
M e MxR hanno la stessa coomologia di de Rham (dimostrazione analoga al lemma di Poincare', con operatore di omotopia). Mappe omotope inducono la stessa mappa
in coomologia. Due varieta' sono omotope in senso C-infinito se e solo se sono omotope. Due varieta' omotopicamente equivalenti hanno la stessa coomologia di de Rham.
Definzione di varieta' contrattile e di retratto di deformazione e relative osservazioni sulla coomologia.
Riferimenti::
R. Bott, L. W. Tu Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag 1982.
- 02.05.2019 (ore 2)
Riepilogo della lezione precedente. Varieta' orientabili. Integrazione su varieta'. Il teorema di Stokes. Varieta' triangolabili.
Teorema di de Rham.
Riferimenti::
R. Bott, L. W. Tu Differential Forms in Algebraic Topology, GTM 82, Springer-Verlag 1982, e, per il teorema di de Rham,
I.M. Singer, J.A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry,
Undergraduate Texts in Mathematics, 1967, Springer-Verlag New York.
- 06.05.2019 (ore 2)
Riepilogo della lezione precedente e alcune conseguenze del teorema di de Rham: la coomologia simpliciale e' invariante per omotopia, la coomologia seimpliciale di
una varieta' compatta liscia (e quindi triangolabile) non dipende dalla triangolazione.
Gruppi di Lie: definizione, esempi, il prodotto cartesiano di gruppi di Lie e' un gruppo di Lie. Teorema: un sottogruppo H (in senso algebrico) di un gruppo di Lie e' una sottovarieta' regolare (quindi
un gruppo di Lie con la topologia indotta) se e solo se H e' chiuso. Ulteriori esempi di gruppi di matrici. Teorema: Ogni gruppo di Lie compatto
e' isomorfo a un sottogruppo chiuso di GL(n,R) per qualche n. Algebra di Lie di G come spazio dei campi vettoriali su G invarianti
a sinistra. Identificazione con lo spazio tangente nell'identita'. Mappa esponenziale nel caso di gruppi di matrici. La mappa esponenziale
e' suriettiva per gruppi connessi e compatti. Esempi di algebre di Lie degli esempi introdotti. Teorema: ogni algebra di Lie reale di
dimensione finita e algebra di Lie di un unico gruppo di Lie semplicement connesso. Il gruppo O(2) in dettaglio.
Riferimenti::
W. M. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian Geometry, Mathematics 120, Academic Press,
1986 e, piu' specifico: T. Brocker. T. tom Dieck, Representations of Compact Lie Groups, GTM 98, Springer-Verlag, 1985.
Ogni altro testo sui gruppi di Lie e' un buon riferimento.
- 07.05.2019 (ore 2)
Descrizione del gruppo SO(3) verificando esplicitamente che ogni matrice in SO(3) definisce una rotazione attorno a un asse,
identificazione con RP3.
Descrizione del gruppo SU(2), identificazione con i quaternioni unitari e quindi con la sfera tridimensionale S3.
Mappa di rivestimento da SU(2) a SO(3).
Fibrazione di Hopf. Il trucco della cintura di Dirac.
Riferimenti::
Air on the Dirac String
Il trucco della cintura di Dirac
- 09.05.2019 (ore 2)
Rappresentazione di un gruppo, rappresentazione aggiunta. Azione destra e sinistra di un gruppo su una varieta': orbite, isotropia, punti fissi, azione libera, azione transitiva.
Mappe equivarianti. Cenni agli spazi omogenei. Esempi: fibrazione di Hopf, l'azione classica di S1 su S2.
Formula di Kunneth e verifica che la fibrazione di S3 su S2 e' non banale.
Definizione di G-fibrato principale P su M, definzione di fibrato associato a P mediante la rappresentazione r su uno spazio vettoriale V.
Riferimenti::
Per i fibrati L. W. Tu. Differential Geometry, GTM 275, Springer-Verlag 2017
- 14.05.2019 (ore 2)
Fibrato aggiunto. Definizione di fibrato vettoriale.Il fibrato associato a un G-fibrato principale P mediante una
rappresentazione di G su uno spazio vettoriale V e' un fibrato vettoriale di rango=dimensione di V. Il fibrato dei riferimenti P(E,GL(k,R)) di uno spazio vettoriale E di rango k.
Cenno al fatto che strutture sul fibrato E corrispondono a riduzioni del gruppo di struttura G a sottogruppi. Esempi.
Esempio del fibrato tangente a una varieta' come fibrato vettoriale, esempio del suo fibrato dei riferimenti P(TM,GL(n,R)). Il fibrato cotangente si puo'
vedere come fibrato associato a P(TM,GL(n,R)) mediate la rappresentazione aggiunta della rappresentazione standard di GL(n,R) su R^n,che
restituisce invece il fibrato tangente.
Riferimenti::
L. W. Tu. Differential Geometry, GTM 275, Springer-Verlag 2017
- 16.5.2019 (ore 2)
Una mappa equivariante a destra da G in G e' una traslazione sinistra. Funzioni di transizione di un fibrato principale: definizione, proprieta' ed esempio del fibrato dei riferimenti
di una varieta'. Costruzione di un fibrato principale a partire dalle funzioni di transizione. Cenni alla riduzione di un fibrato
principale e funzioni di transizione. Funzioni di transizione dei fibrati associati mediante rappresentazioni di G. Banalizzazioni locali e
sezioni locali.
Riferimenti::
L. W. Tu. Differential Geometry, GTM 275, Springer-Verlag 2017
- 21.5.2019 (ore 2)
Connessione su un fibrato vettoriale. Una connessione determina una collezione di matrici di 1-forme tra loro in relazione mediante le funzioni
di transizione del fibrato e viceversa. Connessione su un fibrato principale: come distribuzione orizzontale G-invariante, come
1-forma a valori in g, G-invariante, come collezione di 1-forme locali a valori in g.
Riferimenti::
L. W. Tu. Differential Geometry, GTM 275, Springer-Verlag 2017
- 29.5.2019 (ore 2)
Riepilogo su connessioni su fbrati vettoriali e principali. Equivalenza tra le tre definizioni di connessione su un fibrato principale.
Da una connessione su un fibrato principale a una connessione su un fibrato vettoriale. Viceversa: da una connessione su un fibrato
vettoriale a una connessione sul fibrato principale dei riferimenti: passo 1, trasporto parallelo; passo 2, sollevamento orizzonatale
di una curva.
Riferimenti::
L. W. Tu. Differential Geometry, GTM 275, Springer-Verlag 2017
- 4.5.2019 (ore 2)
Proseguendo l'argomento della scorsa lezione si definiscono i vettori orizzontali come i vettori tangenti a curve orizzontali. Formula per
il sollevamento orizzontale di un vettore e dimostrazione del fatto che l'insieme dei vettori orizzontali in un punto e' un sottospazio
vettoriale dello spazio tangente, isomorfo allo spazio tangente alla varieta' nel punto corrispondente. Si ottiene in questo modo
una distribuzione orizzontale C∞ e G-invariante e dunque una connessione sul fibrato dei riferimenti del fibrato vettoriale.
Cenno al gruppo di olonomia, alla connessione di Levi-Civita (la connessione di Levi-Civita di una varieta' Riemanniana e' l'unica
connessione sul fibrato tangente alla varieta' compatibile con la
metrica, ossia tale che Z < X,Y >=< ∇ZX,Y >+< X,∇ZY > per ogni X,Y,Z campi vettoriali su M, e con torsione nulla, ossia tale che
∇XY-∇YX-[X,Y]=0 per ogni X,Y campi vettoriali su M) ed olonomia Riemanniana, enunciato del teorema di classificazione di Berger.
Proposizione: una mappa C∞-lineare e' una mappa di fibrati, ossia e' definita punto per punto.
Definizione di curvatura di una connessione su un fibrato vettoriale come quadrato della derivata covariante.
Riferimenti::
L. W. Tu. Differential Geometry, GTM 275, Springer-Verlag 2017
- 5.5.2019 (ore 2)
Curvatura di una connessione su un fibrato vettoriale E: Proposizione: ∇2 e' C∞(M)-lineare. Definisce quindi una due
forma a valori in End(E).Forme locali di curvatura. Seconda equazione di struttura. Come opera R(X,Y) sulle sezioni di E. Cenno alla
relazione tra curvatura e olonomia (Teorema di Ambrose-Singer). Seconda identita' di Bianchi espressa mediante le forme locali di
connessione e curvatura. Come cambiano le forme locali di curvatura al variare della banalizzazione locale. Curvatura come 2-forma
a valori in Ad(Fr(E)).Curvatura di una connessione definita su un fibrato principale. Proprieta' della curvatura su un fibrato principale.
Riferimenti::
L. W. Tu. Differential Geometry, GTM 275, Springer-Verlag 2017.
Per approfondimenti di geometria differenziale segnalo inoltre le note, esaurienti e limpide, di
Brian Conrad, si trovano
a questa pagina.
In particolare la connessione di Fermi-Walker e' spiegata in dettaglio in
Covariant derivatives and parallel transport.
- 6.5.2019 (ore 2)
Consideriamo una superficie compatta, orientata e Riemanniana. Il fibrato dei riferimenti si riduce a un fibrato con gruppo si
struttura SO(2). La curvatura di una connessione metrica da' luogo a una 2-forma globalmente definita su M. Teorema di Gauss-Bonnet:
L'integrale su M della 2-forma di curvatura e' 2πχ(M). Teorema di Gauss-Bonnet generalizzato a una varieta' Riemanniana
compatta orientata di dimensione pari.
Fibrato vettoriale E, orientato, Riemanniano. Connessione metrica, ossia tale che x < s,t >=< ∇Xs,t >+< s,∇Xt > , per
ogni X campo vettoriale su M e per ogni s e t sezioni di E. Classe di Eulero. Cenno alle classi di Chern di un fibrato complesso Hermitiano.
Teoria di Gauge: lo spazio delle connessioni di un fibrato principale con gruppo G e' uno spazio affine infinito dimensionale,
modellato sullo spazio vettoriale delle 1-forme a valori in Ad(P). Gruppo di Gauge.
Riferimenti::
L. W. Tu. Differential Geometry, GTM 275, Springer-Verlag 2017
Per la parte di gauge theory segnalo le note del corso di
José M. Figueroa-O'Farrill
disponibili alla pagina
Gauge Theory.
Segnalo inoltre il libro
Geometry of Yang Mills fields, M. Atiyah, SNS, Pisa, 1979.
- 11.5.2019 (ore 2)
Azione del gruppo di gauge sullo spazio delle connessioni. Operatore * di Hodge. Funzionale di Yang-Mills e connessioni di Yang-Mills.
Dopo questa introduzione è seguita una lezione seminariale, alla presenza della docente, dello studente di magistrale Tommaso Righi,
che ha dato una trattazione dei campi di particella mediante gli strumenti introdotti nel corso, in particolare fibrati, connessioni
e teoria di gauge; come esempio fisico e' stata interpretata in questo contesto l'equazione di Dirac. Il testo seguito e'
riportato sotto nella sezione riferimenti.
Riferimenti::
Per una sintesi sull'evoluzione della teoria di Yang-Mills: dal punto di vista fisico vedere ad esempio i due articoli sulla pagina
del Clay Institute; dal punto di vista
matematico le note Yang-Mills theory and Geometry di Simon Donaldson
Questo e' il riferimento per il seminario di Tommaso Righi: D. Bleecker, Gauge Theory and Variational Principles, Addison Wesley Publishing Company, 1981.
|