Registro del corso di Topologia Differenziale a.a 2017-2018
Docente Fiammetta Battaglia.

  1. 28.02.2018 (ore 2).
    Introduzione al corso. Richiami di topologia generale: definizione di topologia di un insieme, base di aperti per una topologia, spazio topologico a base numerabile, di Hausdorff, normale. Topologia prodotto, topologia quoziente. Esempi.

    Riferimenti::

    Loring W. Tu,  An Introduction to Manifolds, Universitext, 2011 Springer-Verlag New York, Appendice A, Point Set Topology
    Un riferimento classico ed esaustivo per la topologia generale e' il seguente:
    James Munkres, Topology, 2nd Edition, Pearson, 2000 ( prima edizione del 75)
    Anche i primi due capitoli del libro seguente sono un ottimo riferimento, ricco di esempi ma anche piuttosto sintetico:
    I.M. Singer, J.A. Thorpe,Lecture Notes on Elementary Topology and   Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, 1967, Springer-Verlag New York

  2. 02.03.2018 (ore 2).
    Applicazioni continue. Esempi. Mappa indotta sul quoziente. L'omeomorfismo tra Rn/Zn e (S1)n. Una parametrizzazione del toro S1xS1.
    Compatti. Esempi. Applicazioni continue mandano compatti in compatti. Un chiuso in un compatto e' compatto. Un compatto in uno spazio Hausdorff e' chiuso. Un sottoinsieme di Rn e' compatto se e solo se e' chiuso e limitato (dimostrata solo l'implicazione diretta).

    Riferimenti::
    Come per la lezione precedente.

  3. 07.03.2018 (ore 2).
    Non c'e' stata lezione per assemblea studenti.
  4. 09.03.2018 (ore 2).
    Insiemi connessi. Chiusura di un insieme, punti di accumulazione. Convergenza di una successione. In uno spazio di Hausdorff il limite di una successione se esiste e' unico.
    In uno spazio a base numerabile un punto sta nella chiusura di un insieme A se e solo se e' il limite di una successione di punti di A (nb ipotesi necessarie: il limite sta nella chiusura sempre, il viceversa e' vero per spazi che ammettono, per ogni punto, una base di intorni numerabili. Abbiamo considerato un-ipotesi piu' forte che sara' sempre soddisfatta nei casi di nostro interesse).
    Omotopia: mappe omotope, spazi topologici omotopicamente equivalenti, spazi contrattili. Rn e' contrattile.

    Riferimenti::
    Testo di riferimento per la parte sull'omotopia: I.M. Singer, J.A. Thorpe,Lecture Notes on Elementary Topology and   Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, 1967, Springer-Verlag New York.

  5. 14.03.2018 (ore 2).
    Gruppo fondamentale. Cammino, spazio topologico connesso per archi. Connesso per archi implica connesso. Prodotto di due cammini, inverso di un cammino, cammini omotopi.Definizione di primo gruppo di omotopia o gruppo fondamentale di uno spazio topologico X con punto base x0. Se X e' connesso per archi, cambiando punto base si ottengono gruppi fondamentali isomorfi.
    TEOREMA Se X e Y sono omotopicamente equivalenti allora i loro gruppi fondamentali sono isomorfi. Corollario: Se X e' contrattile il suo gruppo fondamentale e' banale, il gruppo fondamentale di Rn e' banale. NB NON e' vero il viceversa del teorema, controesempio: R2 e la sfera S2 hanno entrambi gruppo fondamentale banale ma non sono omotopicamente equivalenti, infatti la sfera non e' contrattile.
    Spazio localmente connesso per archi. Localmente connesso per archi non implica connesso (controesempio).
    Definizione di spazio semplicemente connesso. Cenno ai rivestimenti e al rivestimento universale. Esempi: R e' il rivestimento universale di S1, C e' il rivestimento universale di C*, per entrambi la mappa esponenziale da' la proiezione.
    Esempi di gruppo fondamentale: il gruppo fondamentale della figura a otto e' il gruppo libero su due generatori. Problema Determinare il rivestimento universale della figura a otto.
    Il gruppo fondamentale del toro e' Z2.

    Riferimenti: Come per la lezione precedente.

  6. 16.03.2018 (ore 2).
    Il piano proiettivo reale RP2 e il suo gruppo fondamentale.
    Omologia simpliciale: l-simplesso, l-simplesso aperto, complesso simpliciale K, [K] insieme dei punti di K, simplesso orientato, gruppo delle l-catene a coefficienti in Z. Mappa bordo. l-cicli, l-bordi, l-esimo gruppo di omologia simpliciale di un complesso simpliciale K a coefficienti in Z: Hl(K,Z). Se [K] e [L] sono omeomorfi, allora i gruppi Hl(K,Z) e Hl(L,Z)sono isomorfi.
    Se [K] e [L] sono omotopicamente equivalenti, allora i gruppi Hl(K,Z) e Hl(L,Z) sono isomorfi.
    Esempio di calcolo dell'omologia simpliciale: determiniamo Hl(K,Z) con K il complesso simpliciale formato dal perimetro di un triangolo.

    Riferimenti: Come per la lezione precedente.

  7. 21.03.2018 (ore 2).
    Calcolo dell'omologia di un triangolo pieno e del suo perimetro. Applicazione: Teorema di Brower: una funzione continua dal disco chiuso bi-dimensionale in se' ha almeno un punto fisso. Lemma: non esiste f continua dal disco bi-dimensionale chiuso in S1 che ristretta ad S1 sia l'identita'. Omologia a coefficienti reali. Numeri di Betti di un complesso simpliciale K. Caratteristica di Eulero come somma alternata dei numeri di Betti e come somma alternata del numero di facce l-dimensionali di K.
    Varieta' differenziabili Varieta' topologiche, carte, carte C-infinito compatibili, atlante C-infinito.

    Riferimenti: Per la parte di omologia, come per la lezione precedente. Per la parte sulle varieta': L. Tu, An introduction to manifolds, second edition, Universitext, Springer, 2011.

  8. 23.03.2018 (ore 2).
    Problema Determinare una triangolazione del toro, del piano proiettivo reale, della bottiglia di Klein utilizzando il modello del quadrato con le opportune identificazioni. Calcolare l'omologia delle tre superfici.

    Definizione di atlante. Una varieta' C-infinito o liscia e' una varieta' topologica M con un atlante massimale. Dare un atlante massimale significa, per definizione, dare una struttura differenziabile alla varieta' topologica M. Proposizione: un atlante su una varieta' topologica e' contenuto in un unico atlante massimale. Quindi e' sufficiente il dato di un atlante su una varieta' topologica per ottenere una varieta' liscia.
    Esempi di varieta' differenziabili: Rn;S1; gli aperti di una varita' liscia; il grafico di una funzione C-infinito da un aperto U di Rn in Rm; GL(n,R); GL(n,C), il prodotto di varieta'; il toro; la sfera Sn (calcolo esplicito delle due carte di S2 date dalla proiezione stereografica e delle funzioni di transizione); lo spazio proiettivo reale (calcolo esplicito delle due carte standard di RP2 e delle funzioni di transizione.
    Definizione di funzione C-infinito su una varieta' e di applicazione C-infinito tra due varieta'.

    Riferimenti: L. Tu, An introduction to manifolds, second edition, Universitext, Springer, 2011.

  9. 28.03.2018 (ore 2).
    Definizione di spazio tangente in un punto a una varieta' liscia: esempi di curve, superfici parametrizzate, superfici come insieme di livello di una funzione; definizione di spazio tangente come spazio di classi di equivalenza di curve e come spazio di derivazioni;coordinate locali. Differenziale di una applicazione tra due varieta'; espressione in coordinate locali.

    Riferimenti: L. Tu, An introduction to manifolds, second edition, Universitext, Springer, 2011 e
    V.I. Arnold, Metodi Matematici della Meccanica Classica. Editori Riuniti 1986.

  10. 18.04.2018 (ore 2).
    Definizione di gruppo di Lie. I gruppi SO(2), SO(3), SO(4), SU(2). Identificazione tra SO(3) e RP3 in dettaglio. I quaternioni. SU(2) come rivestimento doppio di SO(3) in dettaglio. SU(2)xSU(2) rivestimento doppio di SO(4). Il gruppo fondamentale di SO(3) e' Z2. Il trucco della cintura di Dirac.

    Approfondimento:
    How efficiently can one untangle a double-twist? Waving is believing! David Pengelley, Daniel Ramras, The Mathematical Intelligencer 39(1), October 2016.
    e video in bibliografia.

    Riferimenti:
    Un ottimo riferimento per i gruppi di Lie e' il libro, molto chiaro: Representations of Compact Lie Groups, Theodor Broecker, Tammo tom Dieck, Graduate Texts in Mathemathics, 98, Springer Verlag, 1985.

  11. 20.04.2018 (ore 2)
    Campo vettoriale su una varieta' M, operazione di bracket, l'algebra dei campi vettoriali su una varieta' M. Algebra di Lie, Lie(G), di un gruppo di Lie G, come algebra dei campi vettoriali invarianti a sinistra. Identificazione con lo spazio tangente nell'identita'. Cenno alla mappa esponenziale exp TeG ---> G: sia X in TeG, exp(tX) e' la curva integrale del campo invariante a sinistra generato da X, e' definita per tutti i t reali. exp: X---> exp(X). L'algebra di Lie dei sottogruppi di GL(n,R). La mappa exp e' un diffeomorfismo locale e non e' necessariamente suriettiva. Un gruppo di Lie semplicemente connesso e' determinato dalla sua algebra di Lie, questo stabilisce una corrispondenza biunivoca tra algebre di Lie finito dimensionali e gruppi di Lie semplicemente connessi. Fatti: se G e' connesso e compatto, allora exp e' suriettiva; ogni gruppo di Lie compatto e' isomorfo a un sottogruppo chiuso di GL(n,R) per qualche R.

    Riferimenti:
    Representations of Compact Lie Groups, Theodor Broecker, Tammo tom Dieck, Graduate Texts in Mathemathics, 98, Springer Verlag, 1985.

  12. 27.04.2018 (ore 2)
    Data f funzione su M, definizione di df; definizione di dxi in un intorno coordinato. L'algebra graduata delle forme differenziali su Rn. Definzione del differenziale d. Significato di d sulle forme in R3, relazione con gradiente, rotore, divergenza. d2=0. Il complesso di De Rham. Definizione della coomologia di De Rham di Rn. Calcolo della coomologia di De Rham per n=0,1. Per unione disgiunta di intervalli aperti.

    Riferimenti:
    principalmente primo capitolo del libro R. Bott, L. W. Tu, Differential forms in Algebraic Topology, Graduate Text in Mathematics,82, Springer-Verlag, 1982.
    e anche L. Tu, An introduction to manifolds, second edition, Universitext, Springer, 2011.

  13. 02.05.2018 (ore 2)
    Definizione di pull-back. Il differenziale d commuta col pull-back. Da locale a globale: complesso di de Rham e pull-back su varieta' liscie. Complesso di de Rham di una varieta' liscia. Definizione di partizione dell'unita'.

    Riferimenti:
    Come per la lezione precedente.

  14. 02.05.2018 (ore 2)
    Esistenza di una partizione dell'unita' subordinata a un ricoprimento aperto e di una partizione dell'unita' a supporto compatto relativa a un ricoprimento aperto. La successione di Mayer-Vietoris per il calcolo della coomologia di de Rham.

    Riferimenti:
    primo capitolo del libro R. Bott, L. W. Tu, Differential forms in Algebraic Topology, Graduate Text in Mathematics,82, Springer-Verlag, 1982.
    Per una dimostrazione dell'esistenza delle partizioni dell'unita': F. W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Scott, Foresman and Company, Gleview, Illinois, 1971 (un ottimo riferimento per varieta' e gruppi di Lie);
    e anche W. M. Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian Geometry, Mathematics 120, Academic Press, 1986 (ottimo riferimento, molto chiaro, dettagliato e ricco di esempi).

  15. 08.05.2018 (ore 2)
    Il calcolo della coomologia di de Rham di S1 applicando Mayer-Vietoris. Varieta' orientabili, integrazione su varieta' differenziabili.

    Riferimenti:
    Come per la lezione precedente.

  16. 09.05.2018 (ore 2)
    Integrazione su varieta', varieta' con bordo e orientazione del bordo indotta, teorema di Stokes. Lemma di Poincare' per la coomologia di de Rham.

    Riferimenti:
    Come per la lezione precedente.

  17. 11.05.2018 (ore 2)
    Mappe omotope inducono la stessa mappa in coomologia. Due varieta' omotopicamente equivalenti hanno la stessa coomologia di de Rham. In particolare un retratto di deformazione di una varieta' M ha la stesa coomologia di de Rham di M e una varieta' contrattile ha la stessa coomologia di un punto. Esempi: R2 bucato nell'origine e S1 hanno la stessa coomologia. Esercizio: calcolare la coomologia di Sn con Mayer-Vietoris.
    Fatti: il wedge product definisce su H*(M) una struttura di algebra graduata. Se M ha un "buon ricoprimento" finito, allora i gruppi di coomologia Hq(M) hanno dimensione finita (Hq(M) e' uno spazio vettoriale e in particolare un gruppo abeliano). La dimensione di Hq(M) si denota bq(M) e si chiama q-esimo numero di Betti di M). Sia M compatta e connessa di dimensione n, se e' orientabile Hn(M)=R se non e' orientabile Hn(M)=0. Formula di Kunneth: H*(MxN)=H*(M) U+26D2 H*(N).

    Riferimenti:
    Come per la lezione precedente.

  18. 15.05.2018 (ore 2)
    Coomologia simpliciale. Varieta' liscia triangolata. Teorema di de Rham: la coomologia di de Rham di una varieta' liscia triangolata M e' isomorfa alla sua coomologia simpliciale del complesso simpliciale K che triangola M. Conseguenze: possiamo definire coomologia simpliciale di M quella di un qualunque complesso che la triangola, il teorema mostra che non dipende dalla scelta del simplesso; Invarianza per omotopia della coomologia simpliciale. Esempio delle superfici compatte: possiamo calcolare il genere della superficie contando vertici, lati e triangoli di una sua qualunque triangolazione.
    Definizione di fibrato. Azioni di gruppi su varieta'. Definizione di G-fibrato principale P su una varieta' M.

    Riferimenti::
    Testo di riferimento per la prima parte: I.M. Singer, J.A. Thorpe,Lecture Notes on Elementary Topology and   Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, 1967, Springer-Verlag New York.
    Testo di riferimento per la seconda parte Loring W. Tu, Differential Geometry Connections, Curvature, and Characteristic Classes Graduate Texts in Mathematics, 275, 2017 Springer International Publishing

  19. 16.05.2018 (ore 2)
    Esempio: la fibrazione di Hopf (esempio di fibrato principale non banale). Gli spazi omogenei.
    Fibrati associati (mediante una rappresentazione del gruppo G).

    Riferimenti::
    Loring W. Tu, Differential Geometry Connections, Curvature, and Characteristic Classes Graduate Texts in Mathematics, 275, 2017 Springer International Publishing

  20. 18.05.2018 (ore 2)
    Il fibrato aggiunto Ad(P). Il fibrato dei riferimenti di una varieta', il fibrato tangente come fibrato associato al fibrato dei riferimenti.

    Riferimenti::
    Come per la lezione precedente.

  21. 22.05.2018 (ore 2)
    La rappresentazione duale, il fibrato cotangente, Λk(T*M). Banalizzazione locali e sezioni locali in un fibrato principale P. Funzioni di transizione di P e di un fibrato vettoriale associato E mediante una rappresentazione di G. Cenno alla riduzione di fibrati principali.

    Riferimenti::
    Oltre al testo indicato per la lezione precedente, molto utili le note del corso di gauge theory di José M. Figueroa-O'Farrill disponibili alla pagina Gauge Theory.
    Segnalo inoltre i libri: Geometry, Topology and Physics, Second Edition, di Mikio Nakahara, CRC Press, 2003.
    Differential Geometry of Complex Vector Bundles, Shoshichi Kobayashi, Princeton Legacy Library, Princeton University Press, molto chiaro.

  22. 23.05.2018 (ore 2)
    Distribuzione verticale in un fibrato principale. Definizione e proprieta'. Definizione di connessione su un fibrato principale P come distribuzione orizzontale. Forma di connessione (1 forma su P a valori in Lie(G).

    Riferimenti::
    Come per la lezione precedente.

  23. 24.05.2018 (ore 2)
    Proprieta' della forma di connessione. Collezione di 1-forme di connessione locali sulla varieta' di base M a valori in Lie(G), formula per il cambiamento di banalizzazione locale nel caso di gruppi G di matrici. Una connessione su P puo' essere assegnata equivalentemene come distribuzione orizzontale, come 1-forma di connessione, come collezione di 1-forme locali.

    Riferimenti::
    Come per la lezione precedente.

  24. 29.05.2018 (ore 2)
    Consideriamo un fibrato vettoriale e il fibrato principale dei riferimenti relativo. Definizione di derivata covariante mediante le 1-forme locali di connessione. Enunciati dei teoremi di esistenza, per un fibrato vettoriale, di una connessione, di una metrica riemanniana, di una connessione metrica. Enunciato del teorema di esistenza e unicita' di una connessione metrica priva di torsione sul fibrato tangente di una varieta' (pseudo)riemanniana (connessione di Levi Civita).

    Riferimenti::
    Come per la lezione precedente.

  25. 30.05.2018 (ore 2)
    Trasporto parallelo e sollevamento orizzontale. Cenno al gruppo di olonomia lineare e ristretto e alla classificazione di Berger.

    Riferimenti::
    Come per la lezione precedente.

  26. 01.06.2018 (ore 2)
    Curvatura di una connessione, come 2-forma su P a valori in Lie(G) e relative proprieta'. Forme locali di curvatura. Formula per il cambiamento di banalizzazione locale nel caso di gruppi G di matrici. Le forme locali di curvatura definiscono una 2-forma su M a valori in AdP.
  27. 05.05.2018 (ore 2)
    Curvatura e derivata covariante, in particolare per il fibrato tangente a una varieta', torsione e prima e seconda equazione di struttura. Prima e seconda identita' di Bianchi in diverse formulazioni. Cenno al teorema di Gauss-Bonnet per le superfici.

    Riferimenti::
    Cap. 11, 17, 22 Loring W. Tu, Differential Geometry Connections, Curvature, and Characteristic  Classes Graduate Texts in Mathematics, 275, 2017 Springer International Publishing
    Per approfondimenti di geometria differenziale segnalo inoltre le note, esaurienti e limpide, di Brian Conrad, si trovano a questa pagina. In particolare la connessione di Fermi-Walker e' spiegata in dettaglio in Covariant derivatives and parallel transport.

  28. 06.05.2018 (ore 2)
    Curvatura e integrabilita' della distribuzione orizzontale, cenno al teorema di Frobenius. Enunciato del teorema di Ambrose-Singer. Enunciato del teorema di Berger e cenno ai diversi tipi di geometrie corrispondenti ai diversi gruppi di olonomia.
    Gauge theory: l'esempio del monopolo magnetico. Lo spazio affine delle connessioni su un G-fibrato principale P, modellato sullo spazio vettoriale delle 1-forme su M a valori in ad(P)=PxAdg. Corollario: lo spazio delle connessioni e' contraibile.

    Riferimenti::
    Per il teorema di Frobenius vedere ad esempio le note segnalate sopra.
    S. Salamon, Riemannian geometry and holonomy groups, Pitman Research Notes in Mathematical Series 201, Longman Scientific and Technical 1989.
    Per la parte di gauge theory segnalo nuovamente le note del corso di José M. Figueroa-O'Farrill disponibili alla pagina Gauge Theory.
    Segnalo inoltre il libro ad esempio Geometry of Yang Mills fields, M. Atiyah, SNS, Pisa, 1979.

  29. 08.05.2018 (ore 2)
    Il gruppo di gauge di un fibrato principale P con gruppo G e' il gruppo dei diffeomorfismi da P in P, G-equivarianti, che commutano con la proiezione di P su M. Le trasformazioni di gauge si identificano con sezioni del fibrato Ad(P)=PxcG. L'azione del gruppo di gauge sullo spazio affine delle connessioni, sia dal punto di vista globale che locale.
    Consideriamo una varieta' Riemanniana o pseudoriemanniana orientata e definiamo la forma volume e l'operatore di Hodge * sulle forme differenziali. Norma di una sezione del fibrato ad(P)=PxAdg una volta definita una forma di Killing su g (nel caso semisemplice). Il funzionale di Yang-Mills sullo spazio delle connessioni. Invarianza per l'azione del gruppo di gauge. Le connessioni di Yang-Mills sono i punti critici del funzionale e soddisfano le equazioni di Yang-Mills. Queste generalizzano le equazioni di Maxwell al caso non abeliano. Cenno alle diverse teorie di gauge per le interazioni deboli e forti.
    Per gli argomenti di quest'ultimo paragrafo abbiamo dato solo le definizioni e gli argomenti principali.

    Riferimenti::
    I riferimenti segnalati nella lezione precedente, inoltre per una sintesi sull'evoluzione della teoria di Yang-Mills: dal punto di vista fisico vedere ad esempio i due articoli sulla pagina del Clay Institute; dal punto di vista matematico le note Yang-Mills theory and Geometry di Simon Donaldson.

AVVISI:

Per contattare la docente scrivere a fiammetta.battaglia@unifi.it