Registro delle lezioni tenute da Fiammetta Battaglia.

1. 7.12.09 (ore 2)
   Esempi ed esercizi sulla dualita' in P₂(R): sono assegnate due rette, determinarne l'intersezione utilizzando il prodotto vettoriale; identificare l'insieme delle rette affini col nastro di Moebius; sono assegnati una conica e un punto appartenente alla conica, determinare la retta tangente alla conica nel punto assegnato e la conica duale. Equazione delle coniche degeneri. Una proiettivita' manda rette in rette, coniche in coniche (non-degeneri in non-degeneri). Esercizio: e' assegnata una proiettivita' di matrice H opportuna, verificare che porta la retta all'infinito in una generica retta affine.
2. 14.12.09 (ore 3)
   E' assegnata una proiettivita' opportuna. Verificare che l'immagine dell'iperbole xy=1 e' un cerchio.
   Proiettivita' di P₂(R):
   --riepilogo proiettivita': 8 gradi di liberta', sono determinate dal valore su 4 punti, portano rette in rette.
   Esempio esplicito di ricostruzione di immagine (facciata di un edificio). Esempi di come le proiettivita' intervengono nella trattazione delle immagini.
   --Affinita': sono le proiettivita' che portano la retta infinito in se'. Matrice di una affinita'; scomposizione in prodotto di una matrice ortogonale (O(2)), una matrice diagonale e una matrice ortogonale (SO(2)).
   Le affinita' conservano: la retta infinito, il rapporto tra le lunghezze di segmenti paralleli, il rapporto tra aree. Gradi di liberta' 6, sono determinate dal valore su 3 punti.
   
3. 15.12.09 (ore 3)
   --Similarita': Complessificazione di P₂. Le circonferenze si intersecano nei punti ciclici. Conica assoluta. Una affinita' che porta la conica assoluta in se' e' una similarita'; verifica che e' data dalla composizione di una rotazione (eventualmente piu' ribaltamento) e di una omotetia. Sono invarianti per similarita' gli angoli e i rapporti tra lunghezze. Gradi di liberta' 4, sono determinate dal valore su due punti. L'angolo tra due rette che si intersecano nel piano affine e' determinato dal birapporto tra le due rette e le due rette che congiungono il punto di intersezione con i punti ciclici (formule di Laguerre e Cayley), invariante infatti per similarita'.
   --isometrie Conservano angoli, lughezze, aree. Gradi di liberta' 3, per determinarle occorrono due punti.
   La matrice H di una proiettivita' si scrive in modo unico come prodotto di una matrice di similarita' H_s, di una affinita' (con matrice triangolare superiore) H_a e di una opportuna matrice H_e che porta la retta infinito nella retta immagine, mediante H, della retta infinito.
   Ricostruzione di immagini stratificata. Primo passo ricostruzione affine: si elimina la deformazione proiettiva dovuta a H_e. Secondo passo, ricostruzione metrica: si elimina la deformazione affine dovuta a H_a.
   Esempio per il passo 1: si danno due metodi per determinare l'immagine, nel piano immagine, della retta infinito (quindi per determinare H_e).
   Esempio per il passo due: occorre determinare l'immagine, nel piano immagine, della conica infinito (e da questa H_a), con dati di partenza: due coppie di rette, nell'immagine, tali che le coppie di rette corrispondenti nel piano reale sono ortogonali.
Testo: vedi note del Professor Verdiani.