Registro delle lezioni tenute da Fiammetta Battaglia.

9.10.09 (ore 2)
Sistemi dinamici discreti. Introduzione. Mappe iterate, perche' si studiano. Mappe iterate unidimensionali. Orbite. Punti fissi. Stabilita'. Bacino di attrazione. Cobweb. Analisi della mappa logistica al variare del parametro di controllo. Biforcazioni.

12.10.09 (ore 1)
Diagramma delle orbite. Fenomeno dell'intermittenza. Esponenti di Liapunov. Esempi: esponenti di Liapunov per la mappa tenda, per la mappa logistica. Diagramma degli esponenti di Liapunov per la mappa logistica in dipendenza del parametro di controllo. Cenni all'universalita' per le mappe unimodali. Cenni: attrattori, bacino di attrazione di un attrattore, dimensione di correlazione di un attrattore caotico, esempio della mappa logistica.

19.10.09 (ore 3)
Carellata sulle catene di Markov.
Testi: per un'introduzione facile alle catene di Markov con un numero finito di stati Grinstead, Snell: Introduction to probability, Cap. 11, , per una trattazione completa e generale vedi il libro: W. Feller, An introduction to probability and its application, una referenza classica e molto chiara. Vedi anche Trattatello di Probabilita' di E. Marinai e G. Parisi.
Cos'e' una catena di Markov. Matrice di transizione (finita o infinita) P. Consideriamo, per partire, catene di Markov con un numero finito di stati. Alcuni esempi facili: il meteo nella terra di Oz, il modello di Ehrenfest, un modello sulla trasmissione dei geni. Significato delle potenze Pⁿ della matrice di transizione P. Dato un vettore di probabilita' u, significato di uPⁿ.
Definizione di stato assorbente, p_ii=1, e di {\em catena di Markov assorbente}. Esempio: percorso dell'ubriaco. Riordino degli stati, sia Q la matrice di transizione per gli stati assorbenti (i primi t stati). Thm: Lim_nQⁿ=0. Ossia il processo verra' assorbito, con probabilita' 1. Matrice fondamentale N=(I-Q)^-1. N_ij=numero atteso di volte che il sistema, con stato di partenza s_i, passa dallo stato transiente s_j. Numero atteso di passi affinche' il processo che parte in stato s_i venga assorbito=&Sigma_j N_ij.
Catene con un numero di stati finito o non finito. Definizione di catena irriducibile. Definizione di catena regolare. Definizione degli stati periodici, aperiodici, transienti, persistenti nulli, persistenti non nulli. Gli stati di una catena irriducibile sono tutti dello stesso tipo. Una catena ergodica e' una catena aperiodica con stati persistenti non nulli (ossia stati persistenti con tempo medio di ricorrenza finito). In una catena con numero finito di stati non ci sono stati persistenti nulli e non tutti gli stati sono transienti. Segue che, nel caso finito, una catena aperiodica irriducibile e' ergodica.
Teorema: Sia P la matrice di transizione (eventualmente non finita) di una catena irriducibile ergodica. Allora Lim_nPⁿ=W, dove W ha tutte le righe uguali a un vettore w=(w₁,w₂,... ) con &Sigma w_k=1 e w_k>0.
Quindi Lim_n(Pⁿ)_jk=w_k esiste e non dipende dallo stato iniziale.
Il tempo di ricorrenza medio dello stato s_j e' 1/ w_j.
Inoltre si ha wP=w e, indicato con c il vettore colonna con tutti i coefficienti uguali a 1, si ha Pc=c.
La dimensione degli autospazi (destro e sinistro) relativi all'autovalore 1 e' uguale a 1.
In altri termini w l'unico vettore di probabilita' tale che wP=w.
Esempio della terra di OZ.
(avvertenza: leggere i simboli sopra con opportuno senso dal contesto (finito o infinito)).

10.12.09 (ore 3).
La dinamica della mappa tenda (con parametro fissato che da' regime caotico): la proprieta' di espansivita' implica (i) la dipendenza sensibile dalla condizioni iniziali; (ii) l'esistenza di almeno un'orbita densa (iii) la densita' dell'insieme delle orbite periodiche. Codificazione simbolica delle orbite (per una versione modificata) della mappa tenda: ogni orbita e' una sequenza binaria, l'iterazione della mappa corrisponde allo shift della sequenza. Come si osservano (i),(ii),(iii) sul sistema simbolico. Come si estende il procedimento di codifica a una mappa unidimensionale generale definita su un intervallo compatto I. Si osserva, con l'esempio della mappa logistica, che la presenza o l'assenza di certe parole all'interno delle sequenze corrispondenti alle orbite da' informazioni sul comportamento dinamico del sistema; ad esempio la sequenza 00 e' ''vietata'' per valori del parametro inferiori a quello in cui compare la finestra di periodo 3, mentre e' ammessa per valori del parametro successivi. Definizioni introduttive sugli spazi di shift: full shift, mappa di shift, spazio di shift, cioe' uno spazio di sequenze definito dalle parole che non compaiono nelle sequenze dello spazio. Idee introduttive alla teoria del codici, perche' introdurre la codifica di canale; codici lineari, matrice di codifica, codice, decodifica di minima distanza. Codici con memoria: codificatori convoluzionale e codici convoluzionale. Esempio del fatto che un codice convoluzionale e' uno spazio di shift.
Testi: The topology of chaos: R. Gilmore e M. Lefranc, Wliey-Interscience, 2002,
An introduction to symbolic dynamics and coding, D. Lind e B. Marcus, Cambridge Uni Press, 1995.

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