AA 2022-2023 Corso di Laurea Magistrale in Matematica (Unifi) Insegnamento: ANALISI SUPERIORE Docenti: Francesca Bucci & Andrea Colesanti DIARIO delle LEZIONI 1^ Settimana Mar. 28 feb. 2023 (2 ore) -- Colesanti A. Informazioni introduttive sul corso. Equazioni alle derivate parziali. Esempi: equazione di Laplace (funzioni armoniche, proprieta', esempi); equazione di Poisson; equazione del calore; equazione delle onde. Problemi al contorno. Mer. 1 mar. 2023 (2 ore) -- Colesanti A. Richiami sulle funzioni armoniche. Richiami sul teorema della divergenza. proprieta' della media integrale per funzioni armoniche, con dimostrazione. principio del massimo forte per funzioni armoniche (con dimostrazione). Unicita' della soluzione del problema al contorno per l'equazione di Poisson, con condizioni al bordo di Dirichlet. Ven. 3 mar. 2023 (2 ore) -- Colesanti A. Funzioni sub-armoniche e super-armoniche. Definizione; proprieta' di media; principio del massimo forte. Teorema di esistenza e unicita' della soluzione del problema al contorno per l'equazione di Poisson, con dato di Dirichlet. Principio di Dirichlet: le soluzioni come minimi di opportuni funzionali integrali. Proprieta' di invarianza dell'operatore di Laplace rispetto a traslazioni e rotazioni. Simmetria radiale della soluzione del problema al contorno per l'equazione di Poisson e dato di Dirichlet, in una palla centrata nell'origine con secondo termine dell'equazione radialmente simmetrico e dato al bordo costante. Espressione del Laplaciano di funzioni radialmente simmetriche. Soluzioni fondamentali dell'equazione di Laplace. 2^ Settimana Mar. 7 mar. 2023 (2 ore) -- Colesanti A. Il lemma di Hopf, per l'operatore di Laplace, con dimostrazione. Il problema della torsione: segno della soluzione e derivata normale al bordo. Funzionale di Dirichlet del problema. Definizione di torsione di un insieme. Invarianza della torsione per movimenti rigidi. Omogeneita' della torsione rispetto alle dilatazioni. Soluzione esplicita del problema della tarsione nel caso di una palla, e calcolo della torsione della palla. Teorema di concavita' per la radice della soluzione del problema della torsione (enunciato). Corollario: convessita' delle linee di sottolivello della soluzione del problema della torsione. Prima parte della dimostrazione del teorema. Mer. 8 mar. 2023 (2 ore) -- Colesanti A. Conclusione della dimostrazione della concavita' della radice della soluzione (cambiata di segno) del problema della torsione. Estensione del risultato al caso di due insiemi e della loro combinazione lineare convessa. Definizione di somma alla Minkowski. Esempi. La somma alla Minkowski di insiemi convessi e' un insieme convesso. Disuguaglianza di Brunn-Minkowski. Discussione dell'ottimalita' dell'esponente nella disuguaglianza di Brunn-Minkowski. Varie formulazioni della disuguaglianza. Ven. 10 mar. 2023 (2 ore) -- Colesanti A. Problema isoperimetrico. Caso degli insiemi convessi del piano. Simmetrizzazione di Steiner e sue proprieta'. Risoluzione del problema isoperimetrico nel piano. Richiamo sulla somm alla Minkowski e sulla disuguaglianza di Brunn-Minkowski. 3^ Settimana Mar. 14 mar. 2023 (2 ore) -- Colesanti A. Formula di Steiner; volumi intrinseci; significato di alcuni dei volumi intrinseci. Dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica a partire dalla disuguaglianza di Brunn-Minkowski e dalla formula di Steiner. Richiami sul problema della torsione. Disuguaglianza di Brunn-Minkowski per la torsione. Disuguaglianza di Prekopa-Leindler. Dimostrazione della disuguaglianza di Brunn-Minkowski a partire dalla disuguaglianza di Prekopa-Leindler. Mer. 15 mar. 2023 (2 ore) -- Colesanti A. Dimostrazione della disuguaglianza di Prekopa-Leindler. Dimostrazione della disuguaglianza di Brunn-Minkowski per la rigidita' torsionale. Osservazioni e commenti. Definizione di potenziale capacitario relativo a due domini; caso dei domini sferici concentrici. Definizione di potenziale capacitario di un singolo dominio, e di capacita'. Proprieta' della capacita'. Ven. 17 mar. 2023 (2 ore) -- Colesanti A. Teorema sulla stellarita' delle linee di livello della soluzione del problema della capacita', in anelli convessi (con dimostrazione). Teorema sulla convessita' delle linee di livello della soluzione del problema della capacita' in anelli convessi, con la prima parte della dimostrazione. 4^ Settimana Mar. 21 mar. 2023 (2 ore) -- Colesanti A. Conclusione della dimostrazione della convessita' delle linee di livello della soluzione del problema della capacita' in anelli convessi. Richiami sul problema della capacita' in domini esterni, e sulla definizione e le proprieta' della capacita'. Disuguaglianza di Brunn-Minkowski per la capacita'; traccia della dimostrazione. Mer. 22 mar. 2023 (2 ore) -- Colesanti A. Traccia della dimostrazione della disuguaglianza di Brunn-Minkowski per la capacita'. Presentazione del primo autovalore dell'operatore di Laplace, con condizioni di Dirichlet. Definizione; collegamento con il problema di minimo per il quoziente di Rayleigh e con la disuguaglianza di Poincare'. Autovalori e autofunzioni successivi. Ven. 24 mar. 2023 (2 ore) -- Colesanti A. Dimostrazione della log-concavita' della prima autofunzione dell'operatore di Laplace, con condizione di Dirichlet, in domini convessi. Disuguaglianza di Brunn-Minkowski per il primo autovalore dell'operatore di Laplace con condizioni di Dirichlet. 5^ Settimana Mar. 28 mar. 2023 (2 ore) -- Bucci F. Qualche informazione preliminare, con richiamo a contenuti utili nella piattaforma Moodle (presentazione originale dell'insegnamento e riferimenti bibliografici, diario delle lezioni). INTRODUZIONE. Sistemi lineari x'=Ay+f(t) in R^n: la matrice esponenziale, formula di rappresentazione per le soluzioni dei problemi di Cauchy associati. Proprieta' della funzione t ---> exp(tA): la proprieta' di semigruppo, regolarita'; A coincide col valore della derivata di exp(tA) in t=0. Legame tra proprieta' di semigruppo ed unicita' per le soluzioni del problema di Cauchy. Quanto detto si estende a equazioni in cui A e' un operatore lineare limitato in uno spazio di Banach. ESERCIZIO: Sia f una funzione scalare definita nell'insieme dei numeri reali positivi. Si chiede di provare che se f(0) e' diverso da 0 e f verifica l'equazione funzionale f(t+s)=f(t)f(s), allora esiste un numero reale a tale che f(t)= exp(at). Problemi al contorno e ai valori iniziali per l'equazione del calore in un dominio limitato con frontiera regolare, il caso di condizione al bordo di tipo Dirichlet omogenea. Condizioni di Neumann e Robin. Riformulazione in termini di un'equazione (un problema di Cauchy) in uno spazio di Banach. Generazione di una famiglia ad un parametro di operatori lineari limitati S_t, t in [0,infty), che estende la matrice esponenziale exp(tA); soluzioni in senso "mild". Il ruolo della TEORIA dei SEMIGRUPPI di operatori per l'interpretazione e/o la risoluzione di questioni attinenti all'analisi e al controllo di equazioni a derivate parziali di evoluzione. Gio. 30 mar. 2023 (2 ore) -- Bucci F. (Spostamento della lezione del 29 mar. 2023 concordato con le persone frequentanti.) Alcune motivazioni per lo studio della teoria dei semigruppi: non solo l'analisi ma anche il controllo di equazioni a derivate parziali di evoluzione. Cosa e' la teoria matematica del controllo. Due questioni paradigmatiche (che hanno condotto a due ampie aree di ricerca): (i) il controllo ottimale, (ii) le proprieta' di controllabilita'. (i) Problemi di controllo ottimale; controllo lineare-quadratico. L'importanza di una rappresentazione del controllo ottimale - istante per istante - in termini dello stato ottimale (open- vs closed-loop controls), la "closed-loop equation". (ii) Controllabilita' esatta di un sistema lineare: definizione, il caso finito-dimensionale e la condizione (puramente algebrica) di Kalman (s.d.). Si anticipa che nel caso di EDP provare una proprieta' di controllabilita' (esatta, a zero, oppure approssimata) richiede la dimostrazione di opportune stime (`nel mondo delle EDP'). Un po' di cronologia storica; v. piattaforma Moodle. Ven. 31 mar. 2023 (2 ore) -- Bucci F. La teoria dei semigruppi come strumento per l'interpretazione di proprieta' inerenti l'analisi ed il controllo di EDP (contin.). Controllabilita' esatta di un sistema lineare (si richiama la def.). L'equazione del calore con controllo distribuito all'interno del dominio: non vale la controllabilita' esatta (utilizzando il metodo dei moltiplicatori o dell'energia, si mostra che non tutti gli stati appartenenti a L^2(Omega) sono raggiungibili). Controllabilita' a zero: definizione, interpretazione come inclusione insiemistica tra immagini di due operatori lineari limitati. La suddetta inclusione e' equivalente ad un'opportuna disuguaglianza che coinvolge gli operatori aggiunti (s.d.); v. J. Zabczyk, Theorem 2.2, p. 208. La specifica disuguaglianza (cosiddetta di osservabilita') nel caso del problema in esame. Il ruolo delle stime di Carleman (v. A.V. Fursikov & O.Yu. Imanuvilov, 1996). 6^ Settimana Mar. 4 apr. 2023 (2 ore) -- Bucci F. Sistemi di controllo y'=Ay+Bu in spazi di Banach, il caso di rilievo in cui B e' un operatore non limitato (dallo spazio dei controlli U allo spazio degli stati X). Illustrazione del metodo (introdotto intorno ai primi anni '70 con contributi di H.O. Fattorini e A.V. Balakrishnan) per la riformulazione di un problema al contorno e ai valori iniziali per l'equazione del calore con dato al bordo non banale. Il ruolo dell'applicazione (di Dirichlet, o Neumann, ecc.) che associa ad una funzione definita sul bordo di Omega un'opportuna estensione armonica in Omega. L'equazione y'=Ay+Bu va considerata, a priori, nello spazio [D(A*)]'; un tema di rilievo: lo studio delle proprieta' di regolarita' delle soluzione mild dei problemi di Cauchy associati. INTEGRALE di BOCHNER (Salomon Bochner, Krakow 1899-Houston 1982). Riferimenti bibliografici. Integrazione di funzioni f: I ---> X con I intervallo e X spazio di Banach. Funzioni semplici da R in X: definizione, integrale (di Bochner) di una funzione semplice. Funzioni f: R ---> X (fortemente) misurabili): definizione, integrale (di Bochner) di una funzione misurabile. Integrale di funzioni f: I ---> X, con I sottoinsieme di R misurabile secondo Lebesgue (mediante estensione di f fuori da I, posta uguale a 0). Mer. 5 apr. 2023 (2 ore) -- Bucci F. PRECISAZIONI/OSSERVAZIONI relative a questioni diverse toccate nelle lezioni della settimana precedente. i) Sull'assenza di controllabilita' esatta per l'eq. del calore. ii) Utilizzo della disuguaglianza di Young per lo studio della regolarita' della soluzione del sistema lineare y'=Ay+Bu, y(0)=0. Stime singolari (in un intorno di t=0) valide nel caso di semigruppi analitici (anticipazione informale) e regolarita' delle soluzioni del problema di Dirichlet per l'equazione del calore (in t appartenente a un intervallo limitato [0,T]). Confronto col caso di condizione al bordo di Neumann. iii) Quando la regolarita' L^infty(0,T) puo' essere `spinta' fino a C^0([0,T]). Un risultato di regolarita' per le soluzioni del problema di Dirichlet per l'eq. delle onde (in 1-D); v. [Las-T, paragrafo 9.9.4, p. 882]. INTEGRALE di BOCHNER (contin.). Criterio di integrabilita' (s.d.). L'immagine dell'integrale di f in I, secondo un operatore lineare e limitato A da X in Y. Il caso in cui A e' (non limitato e) chiuso (s.d.). Proprieta' di monotonia e linearita' dell'integrale. Operatori prechiusi (o chiudibili): definizione. SPAZI L^p e di SOBOLEV (v. Nota in Moodle): Lo spazio L^1(I;X), gli spazi L^p(I;X), con p compreso tra 1 e infty (infty incluso). Lo spazio di Sobolev W^{1,p}(a,b;X), come dominio della chiusura di un opportuno operatore L_0 (derivata prima). PROPOSIZIONE (dim.): W^{1,p}(a,b;X) e' contenuto in C([a,b];X), e vale la formula fondamentale del calcolo integrale. Rif. bibliografici: [L2, Appendix], [A2]. ** 7-11-12 apr. 2023 (Pausa del CdS intorno alla Pasqua) 7^ Settimana Ven. 14 apr. 2023 (2 ore) -- Bucci F. TEORIA degli OPERATORI. DIGRESSIONE: Operatori lineari in spazi di Banach: operatori continui, chiusi, prechiusi (o chiudibili). Caratterizzazione degli operatori chiudibili (un'implicazione lasciata per esercizio). Esempi illustrativi: operatori limitati, chiusi, chiudibili, non chiudibili (cfr. [L1]). TEORIA dei SEMIGRUPPI (di OPERATORI). Dato uno spazio di Banach X, definizione di semigruppo fortemente continuo (f.c. o C_0) S_t in X, per t non negativo. Definizione di gruppo S_t f.c. in X, con t in R. Esempi paradigmatici: a) l'esponenziale e^{tA}, con A matrice nxn o anche A operatore lineare limitato in X, t in R; e^{tA} e' un gruppo. b) Il semigruppo S_t di traslazione nello spazio X=C_{ub}(R_+) delle funzioni f (a valori reali) limitate e uniformemente continue sulla semiretta chiusa [0,infty), dotato della norma lagrangiana. Verifica delle proprieta' di semigruppo. 8^ Settimana Mar. 18 apr. 2023 (2 ore) -- Bucci F. TEORIA dei SEMIGRUPPI (contin.). PROPRIETA' ASINTOTICHE dei semigruppi: (i) Proposizione (dim.): crescita esponenziale della norma di un semigruppo S_t. (ii) Il "tipo" (o "sharp growth bound") omega_0 di un semigruppo f.c. in X: definizione, due esempi. Caratterizzazione di omega_0 (come limite), stime esponenziali conseguenti (Prop., dim.). Proprieta' della media integrale per semigruppi C_0 (dim.). Mer. 19 apr. 2023 (2 ore) -- Bucci F. TEORIA dei SEMIGRUPPI (contin.). Semigruppi uniformememente continui: definizione, due esempi paradigmatici; il semigruppo delle traslazioni in C_{ub}(R_+) non e' unif. continuo. Proprieta' della media integrale per semigruppi uniformemente continui. TEOREMA (caratterizzazione dei semigruppi uniformemente continui - solo enunciato). Il GENERATORE (infinitesimale) di un semigruppo S_t f.c. in X: definizione, esempio/esercizio (determinazione del generatore del semigruppo delle traslazioni in C_{ub}(R_+); questa richiede che si dimostri che una funzione appartenente a C_{ub}(R_+) e con derivata destra in C_{ub}(R_+) risulta derivabile (con derivata in C_{ub}(R_+)). Gio. 20 apr. 2023 (2 ore) -- Bucci F. (Lezione anticipata da ven. 21 apr. per favorire la partecipazione al workshop "Days in Probabillity etc." presso il DIMAI in quella giornata.) IL GENERATORE di un SEMIGRUPPO (contin.). Un TEOREMA (dim.) su prime proprieta' del generatore A di un semigruppo S_t in X: A e' un operatore chiuso, con dominio denso in X; A determina univocamente S_t. Semigruppi e proprieta' spettrali del generatore: TEOREMA (dal semigruppo all'operatore risolvente, dim.): Il risolvente del generatore e' la trasformata di Laplace del semigruppo S_t (posto pari a 0 per t<0). 9^ Settimana Mar. 25 apr. 2023 -- Festa nazionale Mer. 26 apr. 2023 (2 ore) -- Bucci F. RISULTATI di GENERAZIONE: il TEOREMA di Hille-Yosida (enunciato, dim. procrastinata). Discussione di un ESEMPIO illustrativo: utilizzo del Teorema di Hille-Yosida per lo studio del problema di Dirichlet per l'equazione del calore (in 1-D spaziale), con X =C_0((0,L)). Il ruolo dell'analisi spettrale. Ven. 28 apr. 2023 (2 ore) -- Bucci F. RISULTATI di GENERAZIONE (contin.). Il TEOREMA di Hille-Yosida, sketch della dimostrazione in quattro passi: approssimanti dell'identita', approssimanti di Yosida di A, introduzione del semigruppo S_t come limite sulla famiglia di semigruppi (unif. continui) generati rispettivamente dagli approssimanti di Yosida di A; il generatore del semigruppo coincide con A. Due ESERCIZI: 1. Se A e' il generatore di S_t in X (Banach), allora (i) A+cI genera e^{ct}S_t per ogni c reale, (ii) cA genera S_{ct} per ogni c >0 (in parte svolti, in parte lasciati per esercizio). 2. Se A e' il generatore di un semigruppo S_t in X, di tipo omega_0, allora lo spettro di A e' contenuto nell'insieme dei numeri complessi lambda con Re(lambda) che non supera omega_0. Discussione di un ESEMPIO illustrativo: utilizzo del Teorema di Hille-Yosida per lo studio del problema di Dirichlet per l'equazione del calore (in 1-D spaziale), con X =L^p((0,L)). Metodo dei moltiplicatori (o dell'energia), stima della norma dell'operatore risolvente. 10^ Settimana Mar. 2 mag. 2023 (2 ore) -- Bucci F. RISULTATI di GENERAZIONE (contin.). Per i dettagli della dimostrazione del TEOREMA di Hille-Yosida, v. documento in Moodle. L'estensione al caso di semigruppi che appartengono alla classe G(1,omega), con omega diverso da 0 segue facilmente. Il caso in cui S_t appartiene a G(M,0), con M>1 (s.d.); il caso di semigruppi generali, il TEOREMA di Feller-Miyadera-Phillips (s.d.). OPERATORI (lineari) DISSIPATIVI in uno spazio di Banach X: definizione, il caso in cui X sia di Hilbert. Il TEOREMA di Lumer-Phillips (s.d.). Il caso X spazio di Hilbert: condizioni sufficienti affinche' A sia il generatore di un semigruppo di contrazione in X (un Corollario del Teorema di Lumer-Phillips). RICHIAMI: Definizione di operatore aggiunto di un operatore lineare in uno spazio di Hilbert. L'aggiunto e' un operatore chiuso anche se A non lo e' (per esercizio). L'aggiunto di A generatore infinitesimale di semigruppo f.c. S_t in X Hilbert genera S_t* (s.d.). APPLICAZIONE/ESEMPIO illustrativo: la realizzazione A dell'operatore di Laplace in L^2(Omega), con condizioni al bordo di Dirichlet, e' un operatore dissipativo e autoaggiunto, per cui vale l'assunto del Corollario di cui sopra. Mer. 3 mag. 2023 (2 ore) -- Bucci F. Precisazioni su alcune questioni emerse nella lezione precedente: in particolare, sulla derivazione dell'operatore aggiunto di A nell'esempio illustrativo (v. lezione 2 mag. 2023). Dimostrazione del Corollario del Teorema di Lumer-Phillips. Gruppi di operatori, il Teorema di Stone (solo enunciato). Un problema al contorno e ai valori iniziali per l'equazione delle onde: uno spazio funzionale `naturale', formulazione astratta del problema. Ven. 5 mag. 2023 (2 ore) -- Bucci F. Discussione di un problema al contorno e ai valori iniziali per l'equazione delle onde (contin.). Verifica della validita' delle ipotesi del Teorema di Stone. [Gruppi fortemente continui, operatori unitari, il Teorema di Stone (con dim.); v. Note nella piattaforma Moodle.] 11^ Settimana Mar. 10 mag. 2023 (2 ore) -- Bucci F. Illustrazione informale di un possibile tema per prove d'esame in forma seminariale: Spazi di interpolazione e domini di potenze frazionarie di operatori. Riferimento bibliografico: [BDDM], Vol. I, Sezioni 4-6. (Spazi di tracce, spazi di medie; spazi intermedi tra il dominio di un operatore lineare A: D(A) ---> X e X. Potenze frazionarie di operatori massimamente accretivi in spazi di Hilbert. Identificazione di domini di potenze frazionarie di un operatore con spazi di interpolazione; v. [BDDM, Vol. I, Prop. 6.1, p.113].) Equazioni a derivate parziali lineari e teoria dei semingruppi. Analisi di un sistema termoelastico: il modello differenziale (per la cui derivazione si veda [Lag]), condizioni al bordo "clamped" (incastrate, o anche "di Dirichlet") e hinged (incernierate, o "di Navier"). Problemi al contorno e ai valori iniziali per il sistema termoelastico. Conservazione dell'energia. La scelta di uno spazio funzionale `naturale', formulazione astratta del problema. Verifiche volte all'applicazione del Corollario del Teorema di Lumer-Phillips. Mer. 11 mag. 2023 (2 ore) -- Bucci F. La teoria dei semigruppi per l'analisi di un problema al contorno e ai valori iniziali per un sistema termoelastico (contin.). Determinazione di: dominio dell'operatore (astratto) A che descrive la dinamica del problema, operatore aggiunto di A (col suo dominio); verifica del fatto che A e A* sono entrambi operatori dissipativi. Ven. 12 mag. 2023 (2 ore) -- Bucci F. IL PROBLEMA di CAUCHY y'=Ay+f, t in (0,T], y(0)=y_0, con A generatore di un semigruppo f.c. S_t in uno spazio di Banach Y, t in [0,infty). Cosa sappiamo ad oggi: se f=0 e y_0 in D(A), y(t)=S_t y_0 appartiene a C^1([0,T];X) e risolve il problema (nel senso `usuale'). Esistenza ed unicita' (PROPOSIZIONE, con dim.). Obbiettivi: i) estendere il concetto di soluzione al caso in cui y_0 appartiene a X ma non a D(A); ii) buona positura del problema non omogeneo (f diversa da 0). Quattro concetti di soluzione: stretta, forte, mild, debole (weak). Definizioni di soluzione stretta e di soluzione forte (in L^p(0,T;Y) oppure in C([0,T];Y)). PROPOSIZIONE: condizioni sufficienti su f e y_0 per l'esistenza di un'unica soluzione forte, formula di rappresentazione (dim. omessa, per il momento). (Incidentalmente, si da' una descrizione intuitiva del Principio di Duhamel.) Le proprieta' y_0 in D(A) e f appartenente a C([0,T];Y) non sono sufficienti a garantire che la soluzione forte del problema di Cauchy sia stretta: un esempio. Due insiemi di ipotesi su y_0 e f che garantiscono l'esistenza di soluzioni strette (v. [L1, Prop. 3.3.3, p. 69]). Definizione di soluzione mild. 12^ Settimana Mar. 16 mag. 2023 (2 ore) -- Bucci F. IL PROBLEMA di CAUCHY NON OMOGENEO (contin.). Soluzioni mild: definizione. Una soluzione forte e' mild. Le soluzioni mild sono continue se f appartiene a C([0,T];X) (s.d., v. [L1,, Lemma 3.3.2]). Soluzioni deboli: definizione. Una soluzione mild e' weak (dim.). Un risultato sull'esistenza di soluzioni deboli (J. Ball, 1977; s.d.). Dimostrazione della PROP. sull'esistenza di un'unica soluzione forte del problema di Cauchy, formula di rappresentazione (v. lezione precedente). Anticipazioni sui concetti di operatore settoriale e semigruppo analitico. Gio. 18 mag. 2023 (2 ore) -- Bucci F. (Spostamento della lezione del 17 mag. 2023 concordato con le persone frequentanti.) OPERATORI SETTORIALI, SEMIGRUPPI ANALITICI. Operatori settoriali in uno spazio di Banach complesso X: definizione, il caso in cui un operatore settoriale e' il generatore di un semigruppo f.c. in X; la necessita' (a tal fine) della condizione "D(A) e' denso in X". Si osserva che un operatore settoriale e' chiuso. ESERCIZIO: Sia A un operatore lineare in uno spazio di Banach X, con insieme risolvente non vuoto. Allora A e' chiuso. Integrale di Dunford. L'integrale ha senso e non dipende dalla specifica curva gamma_{r,eta}+omega. Semigruppo analitico generato. Si anticipa che in generale un semigruppo analitico puo' non essere fortemente continuo; l'applicazione t ----> e^{tA}x (per ogni x in X fissato) e' continua per ogni t>0, come conseguenza del fatto che essa ammette un'estensione analitica in un settore che contiene la semiretta (0,infty). Ven. 19 mag. 2023 (2 ore) -- Bucci F. OPERATORI SETTORIALI, SEMIGRUPPI ANALITICI (contin.). Sia A un operatore settoriale. TEOREMA (dim.) che dettaglia alcune proprieta' fondamentali della famiglia di operatori lineari e limitati {e^{tA}}_t definita dall'integrale di Dunford per t>0 e da I se t=0. (a) Appartenenza a D(A) di e^{tA}x per ogni x in X, se t>0; (b) proprieta' di semigruppo (il computo di due integrali in campo complesso per esercizio); (c) stime asintotiche per la norma di e^{tA} e degli operatori A^ke^{tA}; (d) regolarita' di t ---> e^{tA} per t>0: funzione C^infty a valori in L(X), che ammette estensione analitica in un opportuno settore che contiene la semiretta (0,infty). 13^ Settimana Mar. 23 mag. 2023 (2 ore) -- Bucci F. OPERATORI SETTORIALI, SEMIGRUPPI ANALITICI (contin.). Conclusione della dimostrazione del Teorema di cui alla lezione precedente, punto d). Due risultati che forniscono condizioni SUFFICIENTI affinche' un operatore lineare sia settoriale (per il primo v. [L1, Prop. 4.1.9]; il secondo riguarda operatori dissipativi in spazi di Hilbert). Due ESEMPI illustrativi (uno, lasciato esercizio, necessita di analisi spettrale e stima dell'operatore risolvente; esso fornisce inoltre un esempio di semigruppo analitico che non e' fortemente continuo). Mer. 24 mag. 2023 (2 ore) -- Bucci F. Le PROPRIETA' di STABILITA' dei SEMIGRUPPI per lo studio del comportamento asintotico -- per tempi lunghi -- delle soluzioni di equazioni a derivate parziali. Definizioni di semigruppo uniformemente esponenzialmente stabile, uniformemente stabile, fortemente stabile, debolmente stabile. OSSERVAZIONI: 1. Le quattro definizioni sono equivalenti se X ha dimensione finita (s.d., v. [Z]). 2. La gerarchia e' ovvia nel caso infinito-dimensionale; 2a. esistono semigruppi fortemente stabili che non sono uniformemente stabili in X (il semigruppo di traslazione a sx in L^2([0,infty)) e in C_0([0,infty)); 2b. esistono semigruppi debolmente stabili che non sono fortemente stabili (ad es., per esercizio: il semigruppo di traslazione in L^2(R)). 3. Esistono semigruppi che non verificano alcuna delle proprieta' di stabilita' introdotte; v. [E-N, p. 298]). Focus su: stabilita' uniforme e stabilita' forte. PROPOSIZIONE (dim.): Un semigruppo uniformemente stabile lo e' esponenzialmente. Di conseguenza, i due concetti coincidono. Ven. 26 mag. 2023 (2 ore) -- Bucci F. STABILITA' dei SEMIGRUPPI (contin.). Siano S_t un semigruppo f.c. in uno spazio di Banach X, e A il suo generatore. Si richiama il concetto di soglia di crescita (sharp growth bound) e si introducono i concetti di limitazione spettrale (spectral bound) e raggio spettrale, con notazioni rispettive omega_0, s(A), r(S_t). La nozione di raggio spettrale non e' peculiare dei semigruppi, ma riguarda operatori lineari limitati in X. Caratterizzazione di r(L) come lim_n ||L^n||^{1/n} (s.d., v. [A3, Prop. A.0.6]). Alcuni FATTI PRINCIPALI: i) omega_0 (che puo' essere -infty) non supera s(A) che a sua volta non supera r(S_t), che e' finito (dim.). ii) r(S_t) = e^{omega_0 t} (dim.). iii) Se A e' limitato, allora s(A)=omega_0 (dim.). (E' una conseguenza del Teorema dell'applicazione spettrale; v. ad es. [A3, Teorema C.0.3].) La proprieta' s(A)=omega_0 si estende ai semigruppi analitici (s.d.). In generale, s(A)0 tale che ||S_T||<1; b) esiste T_1>0 tale che r(S_{T_1})<1; c) omega_0<0 (verifica per esercizio). Caratterizzazione dei semigruppi S_t uniformemente stabili in X (s.d.): Il Teorema di Datko ([R. Datko, 1970]; v. [P]), che riconduce la stabilita' uniforme al fatto che la funzione t ---> ||S_t x|| sia a quadrato sommabile in [0,infty). 14^ Settimana Mar. 30 mag. 2023 (2 ore) -- Bucci F. STABILITA' dei SEMIGRUPPI (contin.). Una condizione sufficiente affinche' un semigruppo di contrazione (in X Banach) sia esponenzialmente stabile: detto A il generatore, esiste alfa>0 tale che A+alfa e' dissipativo (s.d.). Una panoramica rapida su contributi piu' recenti allo studio delle proprieta' di stabilita', l'analisi nel `dominio delle frequenze' (in "the frequency domain" vs in "the time domain"): enunciati due risultati di rilievo dovuti rispettivamente a J. Pruess (1984, stabilita' uniforme) e a Borichev-Tomilov (2007, stabilita' forte, tassi di decadimento ovvero "decay rates"). PROPOSTE per prova d'esame in forma seminariale (cfr. Moodle per dettagli e riferimenti bibliografici): 1. Stabilita' uniforme per un sistema termoelastico. 2. Controllabilita' esatta per l'equazione delle onde. 3. Analiticita' del semigruppo che descrive il sistema termoelastico di cui al tema 1. 4. Spazi di interpolazione, potenze frazionarie di operatori. 5. Il problema di Cauchy non omogeneo y'=Ay+f, y(0)=y_0: regolarita' delle soluzioni, il caso dei semigruppi analitici. 6. Comportamento asintotico delle soluzioni di un sistema di equazioni accoppiate onde-calore (dimostrazione basata sull'utilizzo del risultato succitato di Borichev-Tomilov). -------------------------------------------------------------------------------------------------- RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI: [A1] Paolo Acquistapace, Appunti di teoria dei controlli (2021); http://people.dm.unipi.it/acquistp/teocon.pdf [A2] Paolo Acquistapace, Appunti di Analisi convessa (2017); http://people.dm.unipi.it/acquistp/anacon.pdf [A3] Paolo Acquistapace, Appunti di teoria dei semigruppi (aggiornato al 2022); https://people.dm.unipi.it/~acquistp/teosg.pdf [BDDM] A. Bensoussan, G. Da Prato, M.C. Delfour, S.K. Mitter, Representation and control of infinite dimensional systems. Second edition. Systems & Control: Foundations & Applications. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 2007. xxviii+575 pp. [E-N] K.-J. Engel, R. Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equations. With contributions by S. Brendle, M. Campiti, T. Hahn, G. Metafune, G. Nickel, D. Pallara, C. Perazzoli, A. Rhandi, S. Romanelli and R. Schnaubelt. Graduate Texts in Mathematics, 194. Springer-Verlag, New York, 2000, xxii+586 pp. [Ga-Gr-S] F. Gazzola, H-C. Grunau, G. Sweers, Polyharmonic boundary value problems. Positivity preserving and nonlinear higher order elliptic equations in bounded domains. Lecture Notes in Mathematics, 1991. Springer-Verlag, Berlin, 2010. xviii+423 pp. [Lag] J.E. Lagnese, Boundary stabilization of thin plates, SIAM Studies in Applied Mathematics, 10. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 1989. viii+176 pp. [Las-T] I. Lasiecka, R. Triggiani, Control theory for partial differential equations: continuous and approximation theories, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Voll. 74-75, Cambridge University Press, Cambridge, 2000. [L1] Alessandra Lunardi, Introduzione alla teoria dei semigruppi, Dispense del Dipartimento di Matematica dell'Universita' di Parma (2015); https://people.dmi.unipr.it/alessandra.lunardi/ [L2] Alessandra Lunardi, Interpolation theory, Third edition, Scuola Normale Superiore di Pisa (Nuova Serie) [Lecture Notes. Scuola Normale Superiore di Pisa (New Series)], 16. Edizioni della Normale, Pisa, 2018. xiv+199 pp. [P] A. Pazy, Semigroups of operators in Banach spaces, Lecture Notes in Math., 1017, Springer, Berlin, 1983. [Z] Jerzy Zabczyk, Mathematical control theory. An introduction, Second edition, Birkhauser/Springer, Cham, 2020, xxvi+336 pp.