AA 2022-2023
Corso di Laurea triennale in Ingegneria Civile Edile Ambientale
Insegnamento: ANALISI MATEMATICA II (9 CFU)
Docente: Francesca Bucci


			      DIARIO delle LEZIONI


1^ Settimana

Lezione n. 1 -- mar. 20 sett. 2022 (2 ore)
 
Presentazione del corso "Analisi Matematica II". Rassegna delle principali informazioni contenute
nel Syllabus, tra cui -- oltre alle tematiche -- modalita' didattiche, testo di riferimento, prove
d'esame in itinere; cfr. https://www.unifi.it/index.php?module=ofform2&mode=1&cmd=3&AA=2022&afId=590667

Applicazioni da un sottoinsieme di R^n, a valori in R^m. Casi di rilievo, alcuni esempi illlustrativi: 
n=1, m=2,3 (---> curve); n=2, m=3 (---> superfici); n=m>1 (---> cambiamenti di variabili).
Coordinate sferiche, parametri colatitudine e longitudine.
Modelli differenziali. Un problema di trasporto (di un inquinante sospeso su un fluido che scorre
in un condotto): derivazione dell'equazione (differenziale) soddisfatta dalla concentrazione u=u(x,t).
Equazioni differenziali ordinarie, equazioni a derivate parziali.

RICHIAMARE: Teorema fondamentale del calcolo integrale, Teorema di derivazione di funzioni composte
e regola della catena; definizione di spazio vettoriale.

Lezione n. 2 -- mer. 21 sett. 2022 (2 ore)

Lo spazio R^n: struttura lineare (richiamata la definizione di spazio vettoriale V su un campo K).
Prodotto scalare in R^n: definizione, proprieta'. Norma (o lunghezza) di un vettore, indotta dal
prodotto scalare. Formula di Carnot, vettori ortogonali e Teorema di Pitagora, disuguaglianza di
Cauchy-Schwarz (con incipit della sua dimostrazione, da completare per esercizio); proprieta' della
norma (dim.). Spazi normati generali: definizione, esempi illustrativi. Gli spazi C([a,b]), C_B(I)
(I intervallo), B(I), con la norna ||f||=sup_I |f(x)|. COMPITO: verificare le proprieta' della norma.
Identita' del parallelogramma.
ESERCIZIO (in classe): ricerca dei punti di una curva piana a distanza minima e massima da (0,0).

Lezione n. 3 -- gio. 22 sett. 2022 (3 ore)

Lo spazio R^n (contin.). Dalla lez. precedente: spazi pre-hilbertiani, identita' del parallelogramma.
Non tutte le norme sono indotte da un prodotto scalare: lo si verifichi nel caso di X=C([0,1]) con
la norma ||f||=max |f(x)| (si prendano f(x)=x e g(x)=1).

Lo spazio R^n: struttura metrica. Distanza (o metrica) euclidea: definizione, proprieta'. Spazi metrici
(X,d) generali. Intorni sferici (palle) in spazi metrici: definizione, esempi illustrativi; palle in
R^n, n=1,2,3, con la metrica euclidea. Le palle non sono necessariamente rotonde, ne' convesse
(discussione di un esempio).
Successioni a valori in un spazio metrico. Definizione di convergenza, discussione di un ESERCIZIO.
(Si richiede il recupero di elenchi di derivate di funzioni elementari, dei limiti notevoli, dei
principali sviluppi asintotici. Si sollecita lo studio delle funzioni iperboliche cosh(x) e sinh(x),
e delle rispettive funzioni inverse -- da precisare nel caso di cosh(x).)

Applicazioni tra spazi metrici. Definizione di applicazione continua in un punto. Una classe di
rilievo: applicazioni definite in un intervallo reale I, a valori in R^n (n>1).
PROPOSIZIONE (dim.): Un'applicazione r: I ---> R^n e' continua in t_0 appartenente ad I se e solo se
lo sono tutte le sue componenti r_i, i=1,2,...,n.

2^ Settimana

Lezione n. 4 -- mar. 27 sett. 2022 (2 ore)

CURVE (in forma parametrica): motivazioni e applicazioni (fisico-meccaniche), definizione;
rappresentazione parametrica e sostegno della curva, equazioni parametriche. L'ordinamento dei numeri
reali induce un senso di percorrenza del sostegno. Curve distinte con lo stesso sostegno. Primi esempi.
Curve equivalenti. Curve piane cartesiane e polari. Il sito mathcurve (di Robert Ferreol, FR).
Curve definite da un'equazione cartesiana, un esempio illustrativo (la lemniscata di Bernoulli).
Disegnare il sostegno di una curva piana, un esempio illustrativo (r(t)=(t^3-t,t^2-t), t in [0,1]). 

Lezione n. 5 -- mer. 28 sett. 2022 (2 ore)

CURVE (contin.). Curve chiuse, curve semplici: definizioni rispettive, esempi illustrativi, metodi per
testare la semplicita'. Rappresentazione parametrica del segmento congiungente due punti P_0 e P_1,
orientato da P_0 a P_1, della retta per P_0 e P_1, di una retta di direzione v e passante per P_0.
Limiti di applicazioni r: I ---> R^n, per t che tende a t_0. Applicazioni derivabili in t_0: due
definizioni equivalenti. Il caso delle curve: vettore derivato, retta tangente al sostegno di una curva
in un suo punto. Curve di classe C^1, C^k, C^infty.
Verso la definizione di lunghezza di una curva r: [a,b] ---> R^n: suddivisioni di [a,b], poligonali
inscritte nel sostegno, curve rettificabili. 
Anticipazione: (i) esistono esempi (non patologici) di curve non rettificabili; (ii) le curve
C^1([a,b]) sono rettificabili; (iii) vale una formula per il calcolo della lunghezza di curve C^1,
estendibile a curve (cosiddette) regolari a tratti.

Lezione n. 6 -- gio. 29 sett. 2022 (3 ore)

CURVE (contin.). Discussione di un problema: la lemniscata di Bernoulli: dall'equazione cartesiana
all'equazione polare e ad una prima rappresentazione parametrica; altre parametrizzazioni (cfr.
mathcurve).
Digressione: integrazione per sostituzione: formule parametriche per cos(x) e sin(x) (t=tan(x/2));
una sostituzione ad hoc per funzioni razionali di cos^2(x), sin^2(x), cos(x)sin(x).

Lunghezza di una curva. TEOREMA: Se r appartiene a C^1([a,b]), la curva (gamma =r([a,b])) risulta
rettificabile, con lunghezza pari all'integrale di ||r'(t)|| in [a,b] (dim. del primo assunto).
Esempio/esercizio: Calcolo della lunghezza di un arco di parabola. La formula nel caso di curve piane
cartesiane o polari (per esercizio).
Definizione di curva regolare e curva regolare a tratti. Un esempio: l'astroide. Il risultato di
cui sopra si estende alla classe delle curve regolari a tratti.

INTEGRAZIONE/COMPLEMENTO (v. Moodle). Stima della norma dell'integrale definito di r(t) (a valori
vettoriali). Curve regolari equivalenti, invarianza dell'integrale curvilineo.

3^ Settimana

Lezione n. 7 -- mar. 4 ott. 2022 (2 ore)

CURVE e INTEGRALI CURVILINEI. Svolgimento di due esercizi: calcolo della lunghezza della nefroide e
della prima spira della spirale di Archimede di indice 2.

Lunghezza di un sottoarco di curva regolare. Ascissa curvilinea (o parametro arco), rappresentazione
(cosiddetta) standard.
Introduzione euristica all'integrale curvilineo -- esteso ad una curva regolare (o regolare a tratti)
-- di una funzione a valori reali, con il caso paradigmatico della massa totale di un filo materiale
di densita' lineare pari a lambda=lambda(x,y,z) come guida.

Lezione n. 8 -- mer. 5 ott. 2022 (2 ore)

FUNZIONI (a valori reali) IN PIU' VARIABILI. Funzioni f: D ---> R, D contenuto in R^n. Due aspetti
cruciali nelle applicazioni: le `caratteristiche' dell'insieme D e le proprieta' di regolarita' della
funzione f (continuita', differenziabilita', eventuale appartenenza a qualche classe C^k, con k intero
non negativo).
Insiemi limitati in R^n (e piu' in generale in spazi metrici). Funzioni limitate da D in R:
definizione, discussione di alcuni esempi (exp(-x^2-y^2), x^2-y^2, xy/(x^2+y^2). Enfasi su: come
provare che una funzione non e' limitata. (Inciso: Il prodotto di due numeri reali a, b non supera la
semisomma dei loro quadrati (a^2+b^2)/2.) Definizione di grafico di f: D ---> R. Il grafico delle
funzioni x^2+y^2 e x^2-y^2.

Topologia indotta dalla metrica: dato un insieme D contenuto in R^n, definizioni di punto interno,
esterno, di frontiera per D; esempi illustrativi. Insiemi aperti, insiemi chiusi. PROPOSIZIONE
(Caratterizzazione degli insiemi chiusi): Un insieme D contenuto in R^n e' chiuso se e solo se contiene
tutti i suoi punti di frontiera.

Lezione n. 9 -- gio. 6 ott. 2022 (2 ore, anziche' 3)

FUNZIONI (a valori reali) IN PIU' VARIABILI (contin.). Dati D contenuto in R^n, f: D ---> R e x_0
appartenente a D, si definisce "f e' continua in x_0", sulla base della definizione generale di
applicazione continua tra spazi metrici (cfr. lezione del 22 sett.); funzioni continue in D, la classe
C(D). La funzione (x_1,x_2,...,x_n) ---> x_i (i in {1,2,...,n}) e' continua in ogni punto di R^n (dim.).

Punti di accumulazione per un insieme D (contenuto in R^n). Definizione di limite per applicazioni tra
spazi metrici. Dati D contenuto in R^n, f: D ---> R e x_0 di accumulazione per D, si definisce il limite
di f, per x che tende a x_0. Valgono alcuni risultati principali, noti nel caso n=1: unicita' del
limite, operazioni algebriche con i limiti, permanenza del segno (compito: recupero delle dim.).
 
Limiti e continuita'. I polinomi sono funzioni continue, le funzioni razionali (ove definite) sono
funzioni continue. PROPOSIZIONE (s.d.): La composizione di funzioni continue e' una funzione continua. 
Limiti di restrizioni di f. Discussione di alcuni esempi illustrativi: come procedere per stabilire
esistenza (o non esistenza) del limite, ed il suo calcolo: studio delle restrizioni, utilizzo della
definizione, il ruolo delle stime.  
  
4^ Settimana

Lezione n. 10 -- mar. 11 ott. 2022 (2 ore)

In relazione al quesito 11. del foglio n. 2 (Curve): `traduzione' analitica della proprieta' richiesta,
argomentazione che conduce ad un'equazione differenziale ordinaria (soddisfatta dalle funzioni y=y(x)
cercate). 

FUNZIONI (a valori reali) IN PIU' VARIABILI (contin.). La funzione x^2y/(x^4+y^2) vale 0 sugli assi 
(privati di (0,0)) e 1/2 sui punti della parabola di equazione y=x^2 (privata di (0,0)); di conseguenza,
essa non ha limite per (x,y) che tende a (0,0). Estensioni continue.

Risultati di rilievo per le funzioni continue: i Teoremi di Weierstrass, degli zeri, dei valori
intermedi; gli ultimi due necessitano dell'introduzione del concetto di insieme connesso (per archi).
In R sono connessi per archi tutti e soli gli intervalli generalizzati (s.d.). 
Come riconoscere che un sottoinsieme di R^n e' un insieme chiuso (ad esempio quando esso e' definito
implicitamente). PROPOSIZIONE (dim.): Un sottolivello di una funzione continua in R^n e' un insieme
aperto. Lo stesso vale per un sopralivello; l'insieme di livello di una funzione continua e' chiuso.

NOTA BENE: L'unione e l'intersezione di un numero finito di aperti (chiusi) e' aperto (rispettivamente,
chiuso). L'unione di una famiglia arbitraria di aperti e' aperto; l'intersezione di una famiglia
arbitraria di aperti non e' in generale aperto: ad esempio l'intersezione degli intervalli aperti
(-1/n,1/n) e' il singoletto {0}, che e' un insieme chiuso. Tramite le leggi di de Morgan si ottiene
l'enunciato speculare: L'intersezione di una famiglia arbitraria di chiusi e' chiuso (mentre l'unione
di una famiglia arbitraria di chiusi non e' in generale chiuso).

Lezione n. 11 -- mer. 12 ott. 2022 (2 ore)

FUNZIONI (a valori reali) IN PIU' VARIABILI (contin.). Insiemi connessi per archi: definizione, esempi
illustrativi; un insieme convesso e' connesso per archi. Risultati di rilievo per funzioni (a valori
reali) di piu' variabili, continue: i) Teorema dei valori intermedi, ii) Teorema di Weierstrass (s.d.).
Le proprieta' di connessione e compattezza (in R^n sono compatti tutti e soli gli insiemi chiusi e
limitati) sono "invarianti topologici"; esse sono preservate dall'azione di una funzione continua.

Discussione di un problema (cfr. prova scritta V appello AA 2021-2022, problema 2., quesiti a) e c),
in MOODLE), il ruolo dei Teoremi di cui sopra. Punti di massimo o minimo (punti di estremo), il ruolo
del Teorema di Fermat (formulazione in arrivo) nella ricerca di punti di estremo assoluto.

Lezione n. 12 -- gio. 13 ott. 2022 (3 ore)

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI. Dati un insieme D contenuto in R^n,
f: D ---> R, x_0 punto interno a D e un versore di R^n, si definisce la derivata direzionale di f in
x_0 lungo una direzione v; significato, interpretazione geometrica. Il caso in cui v e' uno dei versori
e_i della base canonica, i=1,2,...,n: derivate parziali (prime) e vettore gradiente di f in x_0.
Il calcolo delle derivate parziali prime: esempi illustrativi. Derivabilita' della funzione f(x) =||x||
in x: non esistenza delle derivate parziali prime in x_0=0, calcolo delle derivate parziali prime in
x_0 diverso da 0, per mezzo della derivazione di funzioni composte (in una variabile). L'esistenza del
gradiente di f o anche di tutte le derivate direzionali di f in x_0 non garantisce la continuita' di f
in x_0: rispettivi esempi illustrativi.  

SI RICHIAMA la definizione di "f e' derivabile in x_0" (nel caso n=1). Implicazioni: continuita' di f
in x_0, esistenza della retta tangente al grafico di f nel punto (x_0,f(x_0)). Formula asintotica,
approssimazione lineare affine. Definizione di "f e' differenziabile in x_0" (interno a D) (n>1), il
differenziale di f in x_0. PROPOSIZIONE (enunciata) con le implicazioni in termini di: continuita'
di f in x_0; struttura del differenziale, esistenza delle derivate direzionali di f in x_0 e "formula
del gradiente" D_vf(x_0)= <grad f(x_0),v> (linearita' dell'applicazione v ---> D_vf(x_0)).


5^ Settimana

Lezione n. 13 -- mar. 18 ott. 2022 (2 ore - 5')

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI.
Dimostrazione della PROPOSIZIONE: La differenziabilita' di f in x_0 interno a D implica (i) la
continuita' di f in x_0, (ii) l'esistenza di grad f(x_0); struttura del differenziale di f in x_0.
Riformulazione della definizione di "f e' differenziabile in x_0". Interpretazione geometrica
dell'essere f differenziabile in x_0: (iper)piano tangente al grafico G_f di f in (x_0,f(x_0)),
equazione che lo descrive. Un vettore normale a G_f in (x_0,f(x_0)); versori normali. 
(Si richiama la proprieta' geometrica seguente: dato un piano di equazione cartesiana ax+by+cz+d=0, il
vettore (a,b,c) e' ad esso ortogonale.) 
TEOREMA di FERMAT (enunciato).


Lezione n. 14 -- mer. 19 ott. 2022 (2 ore)
  
CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI. Teorema di Fermat (dim.).
Ricerca dei valori estremi di funzioni di n variabili, discussione di due problemi. La ricerca di
eventuali punti critici (o stazionari) per f interno a D, l'analisi di f sulla frontiera di D.
Il metodo delle curve di livello.


Lezione n. 15 -- gio. 20 ott. 2022 (3 ore)
  
CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI. Il TEOREMA del differenziale totale
(enunciato). Dato un aperto A di R^n, si definisce la classe C^1(A). Corollario del Teorema del
differenziale totale: una funzione appartenente alla classe C^1(A) risulta differenziabile in A.
La classe C^1(A) e' contenuta in C(A).
Un ESERCIZIO: studio della regolarita' (precisamente, continuita' e differenziabilita') di una funzione
definita da due leggi distinte (in due semipiani disgiunti ma con stessa frontiera); cfr. es. 5 del
foglio n. 4.
Incidentalmente, si richiama ed utilizza un criterio di derivabilita' per funzioni (a valori reali)
di una variabile: Sia f=f(x) una funzione continua in [a,b), tale che esiste f'(x) in (a,b) con f'(x)
convergente a L, per x che tende ad a (da destra). Allora f ammette derivata destra in a, ed essa vale
L; si noti che in tal caso f'(x) risulta -- per costruzione -- anche continua in a. 
Avvertenza: esistono funzioni derivabili in un intervallo I la cui derivata prima non e' una funzione
continua in I: ad es., f(x) che vale x^2 sin(1/x) se x e' diverso da 0, 0 se x=0.
Si suggerisce di formulare il risultato speculare con f=f(x) una funzione continua in (a,b], tale che
esiste f'(x) in (a,b) con f'(x) convergente a L, per x che tende a b (da sinistra). Se ne deduca
un criterio di derivabilita' per funzioni f continue in I, derivabili in I\{x_0}, con f'(x) convergente
a L per x che tende a x_0; cfr. ad esempio E. Paolini, Appunti di Analisi Matematica Uno, Proposizione
4.26.)

Introduzione alla derivazione di funzioni composte: utilizzo della regola della catena nello studio 
di equazioni a derivate parziali (e in particolare nella ricerca di loro soluzioni).
Derivazione di funzioni composte in piu' variabili, un primo caso di rilievo: h(t):=f(r(t)), con t
appartenente ad un intervallo I, r applicazione a valori in R^n e f funzione (a valori reali) definita
in un aperto A di R^n contenente r(I). PROPOSIZIONE (dim.) Condizioni sufficienti per la derivabilita'
di h in t, regola della catena per il calcolo di h'(t). 
Avvertenza: Le ipotesi del Teorema di derivazione delle funzioni composte non sono necessarie: ad es.,
la funzione cos(|x|) risulta derivabile in x_0=0, pur non essendolo |x|.


6^ Settimana

Lezione n. 16 -- mar. 25 ott. 2022 (2 ore)

Derivazione di funzioni composte (continuazione, applicazioni). Si consideri un luogo geometrico M
descritto dall'equazione cartesiana f(x,y)=0: assumendo che (i) M sia (almeno localmente, in un intorno
di un suo punto p_0) il sostegno di una curva regolare e (ii) f sia differenziabile in p_0, si deduce
che -- salvo il caso grad f(p_0)=0 -- grad f(p_0) e' ortogonale a M in p_0 (dim.).
Cambi di coordinate nel piano: differenziabilita' e regola della catena per g(u,v):=f(x(u,v),y(u,v)).

Derivate successive. Derivate parziali seconde (pure e miste), matrice hessiana. Esempio di funzione
con derivate parziali seconde miste non coincidenti. Il TEOREMA di Schwarz (s.d.); la classe C^2(A).
Anticipazione: lo studio dell'equazione di Laplace in un dominio a simmetria radiale (rispettivamente,
sferica) suggerisce che si riscriva l'operatore differenziale (cosiddetto laplaciano) in coordinate
polari (sferiche).  

Lezione n. 17 -- mer. 26 ott. 2022 (2 ore)

Applicazioni della derivazione di funzioni composte: cambi di variabili indipendenti, calcolo
dell'operatore di Laplace in coordinate polari (da completare).
 
INTRODUZIONE a qualche tema (piu' avanzato) possibile oggetto di prova orale in forma seminariale:
il vasto campo dello studio di equazioni (differenziali) a derivate parziali. Un problema al contorno
per l'equazione di Laplace in un rettangolo: ricerca di soluzioni mediante il metodo di separazione
delle variabili, problema agli autovalori, costruzione della soluzione comme somma di una serie di
(auto)funzioni. Il ruolo cruciale della geometria del dominio: nel caso di un problema al contorno in
un disco, o una corona circolare, ecc., si rende necessario il passaggio a coordinate polari.

Lezione n. 18 -- gio. 27 ott. 2022 (3 ore)

DISCUSSIONE di esercizi/problemi assegnati (cfr. fogli 2.-3.-4. in Moodle). Dominio e segno di una
funzione, limiti di rilievo, limiti all'infinito, funzioni limitate, funzioni non limitate.

(Recupero/integrazione). Funzioni differenziabili in un punto x_0, formula per le derivate direzionali.
Conseguenza: Se f e' differenziabile in x_0 e grad f(x_0) e' non nullo, allora grad f(x_0)
(normalizzato) e' la direzione di massima crescita di f in x_0.

Derivazione di funzioni composte (contin.). Il caso f(x) = phi(g(x)), con g: D ---> R (D sottoinsieme
di R^n) e phi: I ---> R (I intervallo reale); condizioni sufficienti per la differenziabilita' di f in
x, regola della catena per il computo di grad f(x). Applicazione di particolare rilievo: funzioni a
simmetrica sferica: f(x) = phi(||x||).


7^ Settimana

- Mar. 1 nov. 2022: festa nazionale (0 ore)


Lezione n. 19 -- mer. 2 nov. 2022 (2 ore)

FUNZIONI definite IMPLICITAMENTE. Introduzione. Si sottolinea il fatto seguente (dim.): una curva
piana regolare e' localmente -- in un intorno di ogni suo punto -- il grafico di una funzione di una
variabile (di classe C^1). Il Teorema delle funzioni implicite da' una risposta alla domanda: "Si puo'
dire lo stesso nel caso di un luogo geometrico descritto dall'equazione cartesiana F(x,y)=0?" Il
risultato ha una formulazione generale per applicazioni F da un aperto A di R^n a valori in R^m. Il
caso (di rilievo) n=3, m=2: interpretazione geometrica, discussione di un esempio (si ottiene una
rappresentazione parametrica della curva dello spazio intersezione tra il piano di equazione x+y+z=1
ed il paraboloide di equazione z = x^2+y^2).
TEOREMA (delle funzioni implicite): enunciato, approssimazione lineare (della funzione definita
implicitamente da F(x,y)=0); la funzione definita implicitamente eredita la classe di regolarita' di F,
formula per la derivata seconda.

Lezione n. 20 -- gio. 3 nov. 2022 (3 ore)

FUNZIONI definite IMPLICITAMENTE (contin.) Applicazione del Teorema delle funzioni implicite (o di
Dini) al caso dell'insieme M definito dall'equazione cartesiana xe^y+ye^x=1: M e' un insieme di livello
regolare? Focus su P_0=(1,0), calcolo delle derivate y'(1) e y''(1) della funzione implicita y=y(x),
definita in un intorno di x_0=1. Il caso di un insieme di livello definito da F(x,y,z)=0. 

Massimi e minimi vincolati, discussione del quesito 9. del foglio n. 4: risoluzione del problema con
due metodi diversi (metodo delle curve di livello, utilizzo del Teorema dei moltiplicatori di
Lagrange). 


8^ Settimana

Lezione n. 21 -- mar. 8 nov. 2022 (2 ore)

Introduzione all'INTEGRAZIONE di funzioni di piu' variabili. MISURA secondo Peano-Jordan. Un concetto
di misura per insiemi piani limitati. Le aree dei poligoni contenuti e contenenti un insieme E,
definizione di insieme misurabile secondo Peano-Jordan. Una CARATTERIZZAZIONE degli insiemi (limitati)
misurabili (s.d.): E e' misurabile se e solo se la sua frontiera e' (misurabile e) di misura nulla; si
dice che E e' trascurabile. Esempio di insieme non misurabile in R^2 (ridiscusso nella lezione
successiva). Definizione di integrale di una funzione limitata in un insieme misurabile. Somme
inferiori e superiori, somme di Riemann.

Lezione n. 22 -- mer. 9 nov. 2022 (2 ore)

MISURA secondo Peano-Jordan e INTEGRAZIONE di funzioni di piu' variabili (contin.). RICHIAMI:
definizioni di punto interno, esterno, di frontiera per un insieme E contenuto in R^n (def. valide piu'
in generale in spazi metrici). Esempio: l'insieme E dei punti del quadrato D=[0,1]x[0,1] a coordinate
razionali non e' misurabile poiche' tutti i punti di D sono di frontiera per E, ma |D|=1.
Insiemi semplici rispetto ad un asse: descrizioni analitiche e rappresentazioni grafiche rispettive.
Classi di funzioni integrabili (s.d.): (i) le funzioni continue in un compatto, (ii) le funzioni
limitate su un insieme (limitato) misurabile e ivi continue salvo che nei punti di un insieme
trascurabile (funzioni generalmente continue). 
Il CALCOLO degli integrali: il Teorema di Fubini-Tonelli (s.d.), formule di riduzione nel caso di
insiemi semplici (la dim. nella lez. successiva). Giustificazione intuitiva della formula di riduzione
nel caso di f continua e positiva su un rettangolo. 

Lezione n. 23 -- gio. 10 nov. 2022 (3 ore)

MISURA secondo Peano-Jordan e INTEGRAZIONE di funzioni di piu' variabili (contin.). PROPOSIZIONE (dim.):
Il grafico di una funzione f (a valori reali) continua in [a,b] e' trascurabile. La dimostrazione
utilizza in modo cruciale la proprieta' di uniforme continuita' delle funzioni continue in un compatto
(Teorema di Cantor-Heine). L'assunto vale anche nel caso in cui f e' integrabile secondo Riemann in
[a,b] (s.d.). Conseguenza: gli insiemi semplici rispetto ad un asse sono misurabili. 

Funzioni di due variabili integrabili secondo Riemann, proprieta' dell'integrale: linearita',
positivita' e monotonia, additivita' rispetto all'insieme di integrazione.
Derivazione della formula di riduzione per l'integrale di f su un insieme D semplice (ad es. rispetto
all'asse y), sulla base della formula di riduzione applicata all'integrale (di un'opportuna estensione
di f) su un rettangolo che contiene D.
Il calcolo degli integrali doppi: un esercizio. Si anticipa: cambiamenti di variabili negli integrali
multipli, motivati dalla geometria del dominio e/o dalla forma della funzione integranda.

Ottimizzazione vincolata, il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange: discussione e svolgimento del
quesito 15 nel foglio n. 4.


9^ Settimana

Lezione n. 24 -- mar. 15 nov. 2022 (2 ore)

Il CALCOLO degli INTEGRALI TRIPLI. Si estrapolano dalla discussione di un esempio illustrativo due
diverse formule di riduzione per l'integrale triplo (integrazione "per fili", integrazione "per
strati"). Sottoinsiemi di R^3 semplici rispetto ad un asse: descrizione analitica, rappresentazione
grafica. Il grafico di una funzione continua in un insieme compatto di R^2 e' trascurabile in R^3; ne
consegue che un insieme semplice rispetto ad un asse (in R^3) e' misurabile, dal momento che la sua
frontiera e' trascurabile. 
Si anticipano: deduzioni intuitive sull'integrale esteso a domini simmetrici rispetto ad un asse,
di funzioni con proprieta' di simmetria (ad es., tali che f(-x,y)=f(x,y)) o antisimmetria (ad es.,
f(-x,y)=-f(x,y)).

Lezione n. 25 -- mer. 16 nov. 2022 (2 ore)

CAMBIAMENTI di VARIABILI negli INTEGRALI DOPPI. Introduzione/motivazioni. Si richiami: integrale
definito di funzioni di una variabile, il Teorema di integrazione per sostituzione; la sostituzione e'
motivata dalla legge che definisce la funzione. Nel caso di funzioni di piu' variabili, cambi delle
variabili (indipendenti) sono suggerite generalmente dalla geometria del dominio di integrazione.
Esempio illustrativo: calcolo dell'area di un parallelogramma curvilineo. Le coordinate polari
(sferiche) sono naturali per il computo di integrali su domini a simmetria radiale (sferica) --
quali dischi (palle), settori circolari, ecc. Funzioni a simmetria radiale (sferica).

DIGRESSIONE (di interesse intrinseco e strumentale al tema corrente): Applicazioni f: D ---> R^m,
con D contenuto in R^n. Definizione di "f e' differenziabile in x_0 interno a D": la differenziabilita'
di f in x corrisponde alla differenziabilita' di tutte le sue componenti f_i in x, i=1,2,...,m;
struttura del differenziale, matrice jacobiana (di f in x_0).
(Compito per casa: estensione (ovvia) dei concetti di classe C^1(A,R^m), C^k(A,R^m) e C^infty(A,R^m).
Il Teorema di derivazione delle funzioni composte nel caso generale: enunciato, regola della catena.)

Trasformazioni definite in sottoinsiemi di R^n, a valori in R^n (m=n). Definizione di DIFFEOMORFISMO
(globale, se non altrimenti specificato). Le proprieta' (a) "T appartiene a C^1(A)" e (b) "T e'
invertibile" non implicano, in generale, (c) "T^{-1}: T(A) ----> A appartiene alla classe C^1(T(A));
cfr. T(x)=x^3, x in R. Se T e' un diffeomorfismo in A (cioe' valgono (a), (b) e (c)), allora det DT(x)
e' non nullo per ogni x in A (dim.). TEOREMA di cambiamento di variabili negli integrali multipli
(enunciato).
COMPITO: studiare la Nota (in Moodle) in cui si dimostra come varia l'area di un rettangolo a seguito
dell'azione di applicazioni lineari (e affini).


Lezione n. 26 -- gio. 17 nov. 2022 (3 ore)

CAMBIAMENTI di VARIABILI negli INTEGRALI DOPPI (contin., applicazioni). Comprensione concettuale della
formula di cambiamento di variabili negli integrali doppi, illustrazione del suo utilizzo. Esercizio
1.: calcolo dell'area di un parallelogramma curvilineo (compito: effettuare il calcolo senza cambi di
coordinate). Coordinate polari nel piano, restrizione della trasformazione in coordinate polari ad un
insieme aperto su cui essa e' iniettiva. Esercizio 2.: calcolo dell'integrale di una funzione a
simmetria radiale su un disco. Esercizio 3.: calcolo dell'area della regione piana racchiusa da un arco
della lemniscata di Bernoulli.
Coordinate sferiche: colatitudine e longitudine, determinante jacobiano.
(Compiti per casa: a) Verificare per mezzo del calcolo integrale il valore del volume di una palla di
raggio R>0. b) Centro di massa di un corpo continuo, baricentro di figura in 2- e 3-D.)


10^ Settimana

Lezione n. 27 -- mar. 22 nov. 2022 (2 ore)

FORME DIFFERENZIALI. Introduzione: si richiama il concetto di differenziale di una funzione f (a valori
reali) in un punto x_0; significato della scrittura df(x,y)=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy (n=2). Se f e'
differenziabile in un insieme aperto A di R^n, il differenziale df e' un'applicazione da A in (R^n)*
(spazio duale di R^n). Forme differenziali (1-forme): definizione, campo vettoriale associato; due
prospettive speculari. Integrale curvilineo di una 1-forma o di un campo vettoriale su un arco di curva
(anche detto integrale curvilineo di seconda specie): definizione, invarianza dell'integrale per curve
equivalenti con stessa orientazione (da verificare), interpretazione fisico-meccanica. Cambia il segno
nel caso di orientazione opposta (da verificare). Un esercizio (svolto nella lezione successiva).

Lezione n. 28 -- mer. 23 nov. 2022 (2 ore)

INTEGRAZIONE di CAMPI VETTORIALI/FORME DIFFERENZIALI (contin.). ESERCIZIO: Calcolo del lavoro del campo
vettoriale F(x,y) =(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2)) lungo la circonferenza di centro (0,0) e raggio R,
percorsa una sola volta in senso antiorario (si noti che il valore dell'integrale e' diverso da 0).
Definizione di "cammino", regione, orientazione positiva su un cammino. TEOREMA (Formule di Green nel
piano, formula di Gauss-Green). Un'applicazione di rilievo: tre formule per l'area di domini piani.
ESERCIZIO: calcolo dell'area del dominio delimitato da un arco di cicloide e dall'asse x.
L'operatore differenziale divergenza, il Teorema della divergenza (in 2-D) come conseguenza del Teorema
di Gauss-Green.  

Lezione n. 29 -- gio. 24 nov. 2022 (3 ore)

INTEGRAZIONE di CAMPI VETTORIALI/FORME DIFFERENZIALI (contin.). i) Precisazione sul Teorema della
divergenza: perche' la normale esterna (si richiama la matrice di rotazione). ii) Formule di Green nel
piano: dimostrate nel caso di insiemi semplici rispetto ad entrambi gli assi; si sottolinea che nel
caso di domini semplici rispetto ad un (solo) asse la dimostrazione si avvale della derivazione di
integrali dipendenti da un parametro (cenni; si vedano le Note in Moodle). Validita' del Teorema di
Gauss-Green nel caso di domini semplicemente decomponibili. iii) Campi conservativi (Forme differenziali
esatte) in un insieme aperto di R^n: definizione, funzione/i potenziale/i (primitive), un primo
esempio: il campo F(x,y,z)= (x/(x^2+y^2+z^2),y/(x^2+y^2+z^2),z/(x^2+y^2+z^2)) e' conservativo nel suo
dominio naturale, che' un potenziale e' immediatamente individuabile.
Implicazioni per gli integrali curvilinei su archi di curva e su curve chiuse; circuitazione. Esempio
illustrativo: il campo vettoriale F(x,y)=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2)) non e' conservativo in R^2\{(0,0)}.
Una CONDIZIONE NECESSARIA affinche' un campo vettoriale appartenente a C^1 sia conservativo in un
aperto A di R^2 o R^3: la condizione di irrotazionalita' (dim.). L'operatore differenziale "rotore".
F di classe C^1(A), con rot F=0 in A, non implica F conservativo in A (v. l'esempio sopra).
(Per un'interpretazione fisico-meccanica del rotore, v. gli "Appunti sul significato del rotore", a
cura di Marco Modugno, in Moodle.)
 

11^ Settimana

Lezione n. 30 -- mar. 29 nov. 2022 (2 ore)

CAMPI VETTORIALI/FORME DIFFERENZIALI (contin.). Esercizio: calcolo del rotore di un campo vettoriale
che puo' essere scritto come somma di due campi, uno dei quali facilmente riconoscibile come
conservativo (in un insieme aperto opportuno). Calcolo del rotore di un campo vettoriale piano.
Caratterizzazione dei campi conservativi (con incipit della dim. dell'implicazione piu' delicata; la
dim. e' costruttiva). Come determinare un potenziale di un campo conservativo: un esercizio illustrativo.


Lezione n. 31 -- mer. 30 nov. 2022 (2 ore)

CAMPI VETTORIALI/FORME DIFFERENZIALI (contin.). Continuazione e conclusione dello svolgimento
dell'esercizio (cfr. lez. precedente). Dato un potenziale di un campo (in un insieme), come dedurre la
famiglia di tutti i potenziali? A tal fine, si richiama il fatto che una funzione f a valori reali,
derivabile in un intervallo I, con f'(x)=0 in I, e' costante in I. (Che l'insieme I sia un intervallo
-- cioe' un insieme connesso in R -- ha un ruolo fondamentale nella dimostrazione.) Si enuncia (s.d.)
il risultato piu' generale riguardante le funzioni (a valori reali) differenziabili e con gradiente
identicamente nullo in un sottoinsieme connesso per archi di R^n. Componenti connesse.

INSIEMI SEMPLICEMENTE CONNESSI in R^n, n=2,3: definizione (informale, quella formale richiederebbe
il concetto di curve omotope), esempi illustrativi; si sottolinea che l'insieme R^2 privato di un
punto p_0 non e' semplicemente connesso, mentre R^3\{p_0} lo e'. R^3 privato di una retta non e'
semplicemente connesso.
INSIEMI STELLATI rispetto ad un loro punto: definizione, esempi. Un insieme convesso e' stellato (per
definizione); un insieme stellato e' semplicimente connesso (s.d.).
TEOREMA che fornisce condizioni sufficienti affinche' un campo vettoriale di classe C^1 in un
sottoinsieme di R^n (n=2,3) sia conservativo (dim. nel caso n=2).


Lezione n. 32 -- gio. 1 dic. 2022 (3 ore; 2 ore e 15' effettivi, 30' a valutatori EUR-ACE)

SUPERFICI parametriche. Richiami: il sostantivo "superficie" e' stato utilzzato per indicare (a) i
grafici di funzioni (a valori reali) di due variabili, generalmente continue in opportuni sottoinsiemi
di R^2, e anche (b) gli insiemi di livello regolari di funzioni di tre variabili (il Teorema delle
funzioni implicite garantisce che tali insiemi siano localmente -- cioe' in un intorno di ogni punto --
una superficie cartesiana (ovvero del tipo descritto in (a)).

Introduzione alle superfici parametriche: definizione come coppia (S,r), con r: D ---> R^3 continua, e
S=r(D) (D sottoinsieme di R^2 opportuno), equazioni parametriche, un esempio illustrativo.
Parametrizzazioni diverse di S. Superfici regolari, piano tangente (e un vettore normale) a S in un suo
punto. Superfici semplici.
Il concetto di AREA di una superficie: si sottolinea che un'argomentazione simile a quella utilizzata
per la definizione di lunghezza di un arco di curva (la lunghezza come estremo superiore delle lunghezze
delle poligonali inscritte) risulta inefficace, che' la procedura puo' risultare non convergente anche
nel caso di superfici elementari (esempio di Schwarz). Introduzione intuitiva alla formula dell'area di
una superficie. (Si ricorda preliminarmente che l'area del parallelogramma generato da due vettori non
paralleli y e w e' pari a ||yxw||, ove il simbolo x indica (qui) il prodotto vettoriale.)

N.B. PROSIEGUO/INTEGRAZIONE in MOODLE: Giustificazione intuitiva della formula per l'area di una
superficie parametrica (regolare e semplice). Area del grafico di una funzione (a valor reali) di due
variabili, appartenente a C^1. Esempio/esercizio: si verifica che l'area di una superficie sferica di
raggio R e' 4 pi R^2 (calcolo effettuato in due modi diversi). 
Integrali superficiali, integrali di flusso. Teorema della divergenza (in 3-D, s.d.). Per le definzioni
formali di superficie chiusa (preliminarmente, di bordo di una superficie) e superficie orientabile, si
rimanda ad un testo di riferimento. Una superficie non orientabile: il nastro di Moebius (con istruzioni
su come fabbricarne uno casalingo). 
Lettura consigliata: svolgimento del quesito 4. della prova d'esame n. 4 AA 2021/22 (apr. 2022). 
  

12^ Settimana


Lezione n. 33 -- mar. 6 dic. 2022 (2 ore)

Alcuni COMMENTI a margine delle NOTE integrative su: Area di una superficie, integrali superficiali e
di flusso, superfici orientabili. (Incidentalmente si richiama l'identita' di Lagrange per il calcolo
della norma di un prodotto vettoriale.) Modi di utilizzare il Teorema della divergenza.

SUCCESSIONI di FUNZIONI. Definizione, primi esempi, convergenza puntuale; il limite puntuale di una
successione di funzioni. La convergenza puntuale non preserva proprieta' delle funzioni quali
limitatezza e/o continuita'. Cambio di prospettiva: le funzioni come elementi di uno spazio metrico,
convergenza dettata dalla metrica; metrica della convergenza uniforme. Raffronto tra le due definizioni
(convergenza puntuale vs convergenza uniforme).


Lezione n. 34 -- mer. 7 dic. 2022 (3 ore; +1 ora)

SUCCESSIONI di FUNZIONI (contin.), SERIE di FUNZIONI. Discussione della (mancata) convergenza uniforme
della successione f_n(x)=x^n al suo limite puntuale in [0,1]. Si osserva che non vi e' convergenza
uniforme neanche in [0,1), mentre essa sussiste in [0,b], con b<1. Discussione di un esercizio proposto
nel documento "Successioni e serie di funzioni, in compendio" (Moodle): studio della convergenza
puntuale ed uniforme della successione f_n(x) = (x^n+n)^{1/n}, x in [0,infty).
Risultati di rilievo per successioni di funzioni che convergono uniformememente in un intervallo J:
(i) e (ii) le proprieta' di f_n di essere (per ogni n) limitata e/o continua in J sono preservate nel
passaggio al limite; (iii) passaggio al limite sotto il segno di integrale nel caso in cui J=[a,b];
(iv) limite della derivata e derivata del limite. (Per le dimostrazioni si vedano le Note in Moodle
e/o un testo di riferimento.)

SERIE di FUNZIONI. Richiami alle serie numeriche: definizione, termine generale, successione delle
somme parziali; serie convergenti, divergenti, indeterminate. Somma di una serie. Comportamento di
alcune serie di particolare rilievo: le serie armonica e armonica generalizzata. La serie geometrica.
La successione delle somme parziali e' determinata esplicitamente nel caso della serie geometrica 
e di serie telescopiche; lo studio della convergenza di una serie numerica avviene per mezzo di criteri
di confronto. (Utile il parallelo (discreto vs continuo) con gli integrali -- in senso generalizzato --
sulla semiretta [1,infty).)
Convergenza puntuale e convergenza uniforme per serie di funzioni generali. L'impossibilita' di provare
(o confutare) la convergenza uniforme di una serie (in un qualche intervallo) mediante la definizione,
in assenza di leggi esplicite per la successione delle somme parziali e la somma della serie.
Convergenza totale. La convergenza totale implica quella uniforme (s.d.).  

SERIE di POTENZE. (Solo un'introduzione: si rimanda alla breve trattazione nelle Note, da integrare per
mezzo del testo di riferimento). 
La questione dell'approssimazione di funzioni (a valori reali) di una variabile. Il fatto che la somma
di una serie di potenze con raggio di convergenza R>0 sia una funzione di classe C^infty costituisce un
limite degli sviluppi in serie di Taylor. La ricerca di sviluppi in serie per l'approssimazione di
funzioni (solo) continue o che presentano punti di discontinuita' (---> serie di Fourier).


13^ Settimana


Mar. 13 dic. 2022 (assenza giustificata)


Lezione n. 35 -- mer. 14 dic. 2022 (2 ore)

APPROSSIMAZIONE di FUNZIONI (contin.), SERIE di FOURIER. Richiami in relazione a serie di potenze reali
(e complesse). Raggio di convergenza, convergenza puntuale, convergenza uniforme sui compatti;
regolarita' della funzione somma.  

Funzioni periodiche di periodo T: definizione, altri periodi, periodo minimo. Polinomi trigonometrici,
serie trigonometriche. Non e' restrittivo assumere T=2pi. Prolungamenti periodici di funzioni definite
in [0,2pi]. Coefficienti di Fourier, serie di Fourier associata ad una funzione 2pi-periodica. 


Lezione n. 36 -- gio. 15 dic. 2022 (3 ore)

SERIE di FOURIER (contin.). Il caso di funzioni pari o dispari, relativi sviluppi in serie di Fourier
(rispettivamente di soli coseni o soli seni). Esempio-esercizio: la serie di Fourier associata al
prolungamento 2pi-periodico della restrizione della funzione x^2 all'intervallo [-pi,pi); si osserva
che la serie converge (totalmente, e quindi) uniformemente per il Criterio di Weierstrass (enunciato
il criterio, s.d.). Questione di rilievo: essa converge a f(x)? Si si', in che senso?

Convergenza delle serie di Fourier. Si osserva che il prolungamento 2pi-periodico di una funzione
continua in [-pi,pi) non e' in generale una funzione continua. Funzioni continue a tratti, regolari a
tratti: definizioni, esempi; un esempio di funzione continua non regolare a tratti. Ipotesi su f che
garantiscono che la serie ad essa associata converga a f puntualmente, uniformemente, in media
quadratica (s.d.).
Rif. bibliografici: per la dimostrazione riguardante la convergenza puntuale si veda il Teorema 7.14
nel testo di riferimento; per la convergenza in media quadratica si vedano i Teoremi 7.9 e 7.10 (il
primo, con dim., chiarisce la prospettiva geometrica, del secondo viene fornito solo l'enunciato).

Alcuni commenti conclusivi (anche pratici, in relazione alle prove d'esame; cfr. il Syllabus del
corso, nella "scheda personale" della docente (nel sito di Unifi), alla voce Insegnamenti).