AA 2025-2026
Corso di Laurea in Ingegneria Ambientale (IAL)
Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Edile per la Sostenibilita' (ICE) 
Insegnamento: ANALISI MATEMATICA II (9 CFU; 6 CFU per i curricula "Gestione e Sicurezza dei
Processi costruttivi", "Edifici e sistemi edilizi")
Docente: Francesca Bucci

			      DIARIO delle LEZIONI

PRECISAZIONI: 1. Per via del file .txt e della tastiera che utilizzo, gli accenti tonici della
lingua italiana sono assenti, qui sostituiti da apostrofi; si tratta di una scelta circostanziale,
da non imitare. 2. L'abbreviazione "dim." indica che un risultato e' stato dimostrato; "s.d."
significa senza dimostrazione, ovvero che la dimostrazione e' stata omessa. 

1^ Settimana

Lezione n. 1 -- lun. 15 sett. 2025 (2 ore)

La docente si presenta. Informazioni nel sito di Unifi (v. la cosiddetta Scheda personale), il sito
`personale' http://www.dma.unifi.it/~fbucci/
Presentazione dell'insegnamento "Analisi Matematica II": rassegna delle principali informazioni
contenute nel sillabo (v. la voce "Insegnamenti" nella scheda personale), tra cui -- oltre ai
contenuti -- il testo suggerito, i prerequisiti, le modalita' di verifica dell'apprendimento. La
piattaforma Moodle, il ricevimento collettivo. 

Le funzioni/applicazioni/trasformazioni da un sottoinsieme di R^n, a valori in R^m sono pervasive nel
mondo reale. Illustrazione di alcuni casi di rilievo: 1. n>1, m=1, l'assenza di ordinamento dei
numeri in R^n se n>1, la non validita' di alcuni risultati fondanti del calcolo differenziale
per funzioni di una variabile. Un problema di ottimizzazione vincolata derivato dall'obiettivo di
contenere i costi nella costruzione di un bacino con interventi sul fondo; 2. n=2, m=3: i parametri
colatitudine e longitudine per la rappresentazione dei punti della superficie terrestre; l'aereoporto
di Alicante: copertura con ripetizione di volte boeme. Superfici in forma parametrica. 3. (cenni)
Il calcolo integrale di funzioni a valori reali su domini di R^2 e R^3, necessita' di un concetto di
insieme misurabile. Integrazione su curve e superfici, integrali di flusso. 4. Modelli differenziali:
equazioni differenziali ordinarie, significato degli aggettivi, l'equazione dell'oscillatore
armonico. Equazioni differenziali a derivate parziali (equazione del trasporto).

RICHIAMARE: a) Spazi vettoriali, geometria analitica, quadriche (v. insegnamento Geometria). b) Il
Teorema fondamentale del calcolo integrale (dettagliati e discussi i due assunti); c) risultati
principali attinenti alle funzioni continue, il Teorema di Lagrange. Validita' e non validita' di
alcuni risultati noti per funzioni (a valori reali) di una variabile: il ruolo dell'ordinamento dei
numeri reali (che viene a mancare nel caso di R^n, n>1). d) La ricerca di primitive, metodi di
integrazione; esempio (integrazione per parti): l'integrale generale della funzione log(x)).
e) Equazioni differenziali ordinarie (EDO): il modello di EDO del I ordine lineare a coefficienti
continui y'=a(t)y+b(t), t appartenente a un intervallo I, formula chiusa che fornisce tutte le
soluzioni (l'integrale generale); EDO (non lineari) a variabili separabili. EDO del II ordine
lineari omogenee a coefficienti costanti.

Lezione n. 2 -- mer. 17 sett. 2025 (3 ore)

In vista del concetto di CURVA (in forma parametrica), si osserva che la definizione necessita del
concetto di applicazione continua definita in un intervallo I di R, a valori in R^n. La curva come
coppia sostegno-parametrizzazione; l'ordinamento dei numeri reali induce un senso di percorrenza
del sostegno.
DIGRESSIONE: Strutture lineare e metrica di R^n. i) Lo spazio R^n: punti o vettori, i versori della
base canonica, componenti. R^n e' uno spazio vettoriale su R. (RICHIAMARE la definizione di spazio
vettoriale V su un campo K.) Prodotto scalare in R^n: definizione, proprieta'. Norma indotta dal
prodotto scalare: definizione, proprieta'; la disuguaglianza triangolare si dimostra utilizzando la
disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (dim.). Stime (dall'alto e dal basso) per la norma della
differenza. ii) La norma consente di introdurre una distanza (o metrica euclidea) in R^n:
definizione, proprieta'. La struttura metrica e' possibile in insiemi qualsiasi, che non siano spazi
vettoriali. ESEMPIO illustrativo: dato l'insieme X del gruppo-classe, l'applicazione che associa a
una coppia di studenti il valore 1 se sono distinti, 0 altrimenti, e' una metrica cioe' soddisfa le
tre proprieta' identificative (positivita', simmetria, disuguaglianza triangolare). ESERCIZIO:
calcolare la distanza tra le due funzioni f(x) = x^2 e g(x) = x^{1/2} nello spazio C([0,2]) dotato
della metrica lagrangiana.  
Applicazioni tra spazi metrici, definizione di funzione continua in un punto; declinazione della
definizione nel caso di applicazioni r: I ---> R^n, I intervallo. Si anticipa che tale applicazione
risulta continua in t_0 se e solo se lo sono le sue componenti (da dimostrare).
ESEMPIO: rappresentazione parametrica di una circonferenza di centro (0,0) e raggio 2, percorsa una
volta sola in senso antiorario.

Lezione n. 3 -- ven. 19 sett. 2025 (2 ore)

In vista del concetto di CURVA (contin.): PROPOSIZIONE. Un'applicazione r: I ---> R^n, I intervallo,
e' continua in t_0 se e solo se lo sono le sue componenti (dim.). CURVE (in forma parametrica):
definizione, la coppia sostegno-parametrizzazione, equazioni parametriche. L'ordinamento dei numeri
reali induce un senso di percorrenza del sostegno. Curve distinte con lo stesso sostegno. Curve
piane, casi di rilievo: curve cartesiane (ovvero grafici di funzioni a valori reali continue in un
intervallo), curve in forma polare; esempi illustrativi (la curva definita da r(t)=(t^4,t^5), t in
[-1,1] e una sua riparametrizzazione come curva cartesiana (ESERCIZIO); la spirale di Archimede).
Il sito mathcurve (di Robert Ferreol, FR). ESERCIZIO: Si determinino i punti sul sostegno della
curva di equazioni parametriche (5 cos t- cos (5t),5 sin t - sin (5t)), t in R, a distanza minima e
massima da (0,0).
  
2^ Settimana

Lun. 22 sett. 2025 (0 ore) 

Adesione allo sciopero generale

Lezione n. 4 -- mer. 24 sett. 2025 (3 ore)

Alcune MOTIVAZIONI all'introduzione di nuovi concetti, quali ad esempio quelli di (i) punto interno
a un sottoinsieme di R^n (derivate, incrementi ammissibili), (ii) altre classi di regolarita' per
applicazioni r=r(t) a valori vettoriali, oltre la classe C^0(I) (concetti di curva rettificabile e
formula per il calcolo della lunghezza, massa di un filo materiale omogeneo o non omogeneo). 
  
Topologia indotta dalla metrica euclidea. Intorno sferico (o palla): definizione, cosa sono gli
intorni sferici nei casi n=1,2,3. Definizioni di: punto interno e punto esterno a un sottoinsieme D
di R^n, punti di frontiera, parte interna (o interno) di D, frontiera di D; insieme aperto, insieme
chiuso. Caratterizzazione degli insiemi chiusi (s.d.). Insiemi limitati in R^n: definizione, esempio
illustrativo (l'insieme E dei punti (x,y) tali che x^4+y^4 non supera 1 e' contenuto nel quadrato
[-1,1]^2). COMPITO: disegnare l'insieme E di cui sopra.
Derivabilita' di un'applicazione a valori vettoriali r=r(t) in t_0 interno a I: definizione,
vettore derivato (o derivata) r'(t_0), velocita' ||r'(t_0||; condizione equivalente. Curve di classe
C^1. Vettore e retta tangente a una curva in un suo punto: sotto quali ipotesi, equazioni
parametriche della retta, derivazione della nota equazione cartesiana (nel caso n=2).
Curve definite come insieme di livello di una funzione (scalare) di due variabili: l'equazione
x^{2/3}+y^{2/3}=1, come dedurre una sua rappresentazione parametrica. 
 
Lezione n. 5 -- ven. 26 sett. 2025 (2 ore)

CURVE (contin.). Curve regolari (def.). Si recupera l'ESERCIZIO inerente alla curva di equazione
x^{2/3}+y^{2/3}=1 (astroide): si introduce una rappresentazione parametrica, si mostra che la
curva e' C^1([0,2pi]), ma non e' regolare. Definizioni di curva chiusa e di curva semplice,
esempi illustrativi. Lunghezza di una curva (gamma,r), con r: [a,b] ---> R^n: suddivisioni di
[a,b], poligonali inscritte nel sostegno, definizione di curva rettificabile. La proprieta' "r
appartiene a C([a,b])" non e' sufficiente a garantire la rettificabilita' di un arco di curva; v.
la curva-grafico della funzione f(x) definita da xsin(pi x/2) per x in (0,1] e f(0)=0 (per la dim.
del fatto che essa non sia rettificabile v. il testo di riferimento). PROPOSIZIONE: Una curva
(gamma,r), con r: [a,b] ---> R^n appartenente a C^1([a,b]) e' rettificabile, e la sua lunghezza e'
pari all'integrale di ||r'(t)|| in [a,b] (dim. momentaneamente omessa). 
Il risultato e la formula si estendono alla classe delle curve regolari a tratti (def.). 

3^ Settimana

Lezione n. 6 -- lun. 29 sett. 2025 (2 ore)

CURVE, INTEGRALI di LINEA (contin. e conclusione). Si recupera la Proposizione enunciata nella
lezione precedente: dim. del primo assunto; per la dim. completa v. il testo di riferimento.
ESERCIZIO: calcolo della lunghezza della prima spira della spirale di Archimede.
Integrale curvilineo (o di linea) di una funzione (di piu' variabili), a valori reali: l'elemento
infinitesimale di linea, definizione (utilizzando un'argomentazione di tipo euristico, con spunto
dal calcolo della massa totale di un filo materiale, nota la densita' di massa).

Lezione n. 7 -- mer. 1 ott. 2025 (3 ore)

Feedback e DISCUSSIONE sui quesiti proposti (v. foglio 1 in Moodle): focus sul quesito 3,
riguardante il dominio di una funzione di due variabili. Descrizione analitica del dominio,
attribuite le proprieta' corrette tra le seguenti: essere aperto, chiuso, limitato, connesso (per
archi), convesso, stellato.

Si richiamano: la rappresentazione parametrica di una retta passante per due punti, e del segmento
congiungente due punti; integrale di un'applicazione a valori vettoriali in un intervallo [a,b]:
definizione, stima della norma (per la cui dimostrazione v. Nota in Moodle).

FUNZIONI di piu' variabili, a valori reali. Dominio, grafico, insiemi di livello; esempi
illustrativi. Limiti e continuita'. Il calcolo dei limiti.  

Lezione n. 8 -- ven. 3 ott. 2025 (2 ore)

FUNZIONI di piu' variabili, a valori reali (contin.). LIMITI e CONTINUITA'. Sia data una funzione a
valori reali definita in D, sottoinsieme di R^n. Si richiama la definizione di limite finito l, per
x che tende a x_0, con x_0 punto di accumulazione per D. Definizione di funzione continua in x_0
appartenente a D e di funzione continua in D; la classe C(D). LEMMA (dim.) L'applicazione che
associa a un punto (o vettore) x una sua componente x_i e' una funzione continua (in ogni punto di
R^n). Sulla base dei risultati inerenti ai limiti di somma (e differenza), prodotto e quoziente, si
deduce che sono funzioni continue i polinomi e le funzioni razionali (queste ultime ove definite).
TEOREMA riguardante la continuita' della composizione di funzioni continue (s.d.). ESEMPI
illustrativi. ESERCIZIO sulla continuita' della funzione definita dalla legge xy/[(x^2+y^)^{1/2}],
se (x,y) diverso da (0,0), e che vale 0 in (0,0).
L'importanza dell'utilizzo di STIME -- elementari e non -- per il calcolo dei limiti e altri scopi;
si richiama in particolare che il prodotto di due numeri non supera la semisomma dei rispettivi
quadrati (la stima segue dal fatto che (b-a)^2 e' non negativo per ogni a,b), oltre alle stime
dall'alto e/o del basso per la norma di somma e dfferenza di due vettori di R^n.
 
4^ Settimana

Lezione n. 9 -- lun. 6 ott. 2025 (2 ore)
 
FUNZIONI di piu' variabili, a valori reali (contin.). Insiemi connessi per archi: definizione,
esempi; insiemi sconnessi, componenti connesse. I concetti di inf_D f, sup_D f, min_D f, max_D f.
RISULTATI di RILIEVO per le funzioni continue: i Teoremi dei valori intermedi, degli zeri, di
Weierstrass (s.d.); il ruolo della proprieta' di connessione nella dimostrazione del Teorema dei
valori intermedi e degli zeri. (Si sottolinea che in R sono connessi per archi tutti e soli gli
intervalli -- eventualmente generalizzati (s.d.).). DISCUSSIONE/ESERCIZI: Si determinano le
immagini delle funzioni f(x,y)=exp(-x^2-y^2) e g(x,y)= exp(-x-y), date nel loro dominio naturale
R^2. DISCUSSIONE con svolgimento del quesito 4 del foglio 1 (si dimostra che un insieme e'
limitato).
Sottolivelli e sopralivelli. PROPOSIZIONE (dim. rimandata): Il sottolivello di una funzione
continua in R^n, con disuguaglianza stretta, e' un insieme aperto. Si deduce che l'insieme di
livello di una funzione continua in R^n e' un insieme chiuso.

Lezione n. 10 -- mer. 8 ott. 2025 (3 ore)

FUNZIONI di piu' variabili, a valori reali (contin.). Dimostrazione della Prop. enunciata nella
lezione precedente, inerente ai sotto- o sopralivelli di funzioni continue (con disuguaglianza
stretta). Implicazioni per sopra- e sottolivelli di funzioni continue, con disuguaglianza non
stretta; l'insieme di livello di una funzione continua in R^n e' un insieme chiuso. DIGRESSIONE:
l'unione di una famiglia arbitraria di insiemi aperti e' aperto, l'interesezione di un numero
finito di aperti e' aperto, mentre l'interesezione di una famiglia di aperti non e' necessariamente
un inseme aperto; v. l'esempio dell'interesezione degli intevalli (-1/n,1/n) al variare di n in N.
Proprieta' speculari per intersezione e unione di insiemi chiusi si ottengono per mezzo delle leggi
di De Morgan.
CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI. Verso un'estensione appropriata
del concetto di derivabilita' di una funzione f in un punto x_0 (dal contesto elementare in cui n=1
al caso n>1). Derivata direzionale di f in x_0, lungo una direzione v: definizione, interpretazione
geometrica. Derivate direzionali lungo i versori e_i della base canonica, i=1,2,...,n: derivate
parziali (prime). Il calcolo delle derivate parziali: primi esempi.

ESERCIZIO sulla ricerca di estremi assoluti della funzione [(x+y)^3]/3 nell'insieme M dei punti
(x,y) tali che x^2/2+xy+y^2=2. Si discute la validita' delle ipotesi del Teorema di Weierstrass.
COMPITO: determinare i valori estremi e i punti di estremo (suggerimento: risulta utile il cambio
di variabili X=x+y, Y=y).