AA 2024-2025
Corso di Laurea in Ingegneria Ambientale (IAL)
Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Edile per la Sostenibilita' (ICE) 
Insegnamento: ANALISI MATEMATICA II (9 CFU; 6 CFU per i curricula "Gestione e Sicurezza dei Processi
costruttivi", "Edifici e sistemi edilizi")
Docente: Francesca Bucci


			      DIARIO delle LEZIONI


1^ Settimana

Lezione n. 1 -- lun. 16 sett. 2024 (3 ore)

La docente si presenta. Informazioni nel sito di Unifi (v. la cosiddetta Scheda personale), il sito
`personale' http://www.dma.unifi.it/~fbucci/
Presentazione del corso "Analisi Matematica II": rassegna delle principali informazioni contenute
nel (cosiddetto) Syllabus, tra cui -- oltre ai contenuti -- il testo di riferimento, i prerequisiti,
la modalita' di svolgimento delle prove d'esame. La piattaforma Moodle. 

Funzioni/applicazioni/trasformazioni da un sottoinsieme di R^n, a valori in R^m. Casi di rilievo:
n=1, m=2,3 (---> curve); n=2, m=3 (---> superfici); il sostantivo "superficie" viene attribuito ai
grafici di funzioni (a valori reali) di due variabili continue, ma anche a insiemi di livello di
funzioni di tre variabili (soggette a condizioni opportune). Esempi illustrativi, con riferimenti
architettonici (elementi decorativi su alcune colonne del chiostro di Monreale; il tetto della Scuola
della Sagrada Familia di Antoni Gaudi').
Qualche applicazione meccanica del calcolo integrale per funzioni di 2 o 3 variabili: computo della
massa e determinazione del baricentro di oggetti materiali.

MOTIVAZIONI/APPLICAZIONI: Derivazione di un modello differenziale per il trasporto di un inquinante
in un fluido: se la funzione u=u(x,t) rappresenta la concentrazione (dell'inquinante), si perviene
all'equazione del trasporto (semplice) u_t+cu_x=0. Equazioni differenziali a derivate parziali (vs
equazioni differenziali ordinarie). Equazioni lineari (def.) e non lineari.

RICHIAMARE: a) Spazi vettoriali, geometria analitica, quadriche (v. insegnamento Geometria). b) Il
Teorema fondamentale del calcolo integrale (dettagliati e discussi i due assunti); c) risultati
principali attinenti alle funzioni continue, il Teorema di Lagrange. Validita' e non validita' di
alcuni risultati noti per funzioni (a valori reali) di una variabile: il ruolo dell'ordinamento dei
numeri reali (che viene a mancare nel caso di R^n, n>1). d) La ricerca di primitive, metodi di
integrazione; esempio (integrazione per parti): l'integrale generale della funzione log(x)).
e) Equazioni differenziali ordinarie (EDO): il modello di EDO del I ordine lineare a coefficienti
continui y'=a(t)y+b(t), t appartenente a un intervallo I, formula chiusa che fornisce tutte le
soluzioni (l'integrale generale); EDO (non lineari) a variabili separabili. EDO del II ordine lineari
omogenee a coefficienti costanti.

Lezione n. 2 -- mar. 17 sett. 2024 (2 ore)

Lo spazio R^n: punti (o vettori), struttura lineare; R^n e' uno spazio vettoriale su R. (RICHIAMARE
la definizione di spazio vettoriale V su un campo K.) Base canonica di R^n. Prodotto scalare in R^n:
definizione, proprieta'. Norma indotta dal prodotto scalare: definizione, proprieta'; la
disuguaglianza triangolare si dimostra utilizzando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (dim.).
Angolo compreso tra due vettori. Formula di Carnot, Teorema di Pitagora.
La norma consente di introdurre una distanza (o metrica) in R^n: definizione, proprieta'. La metrica
euclidea. La struttura metrica e' possibile in insiemi qualsiasi, che non siano spazi vettoriali.
Esempio illustrativo: dato l'insieme X del gruppo-classe, l'applicazione che associa a una coppia di
studenti il valore 1 se sono distinti, 0 altrimenti, e' una metrica cioe' soddisfa le tre proprieta'
identificative (positivita', simmetria, disuguaglianza triangolare).   

La metrica consente di introdurre in R^n una topologia. Intorni sferici (o palle).
COMPITO: Le palle non sono sempre rotonde: disegnare la palla di centro (0,0,0) e raggio r>0, se
R^3 e' dotato della norma ||(x,y,z)||=(x^2+y^2)^{1/2}+|z| (verificare la validita' delle proprieta'
della norma).

Lezione n. 3 -- ven. 20 sett. 2024 (2 ore)

R^n come spazio metrico. Insiemi limitati in R^n: definizione, esempio illustrativo (l'insieme E dei
punti (x,y) tali che x^4+y^4 non supera 1 e' contenuto nel quadrato [-1,1]^2). COMPITO: disegnare
l'insieme E di cui sopra.
ESERCIZIO (sulla norma euclidea): calcolo della distanza dei punti di una certa curva piana da (0,0),
al variare del parametro.
Calcolo infinitesimale per applicazioni r: I ---> R^n, I intervallo, n>1. Definizione di "r e'
continua in t_0 appartenente a I". PROPOSIZIONE (dim.) Un'applicazione r: I ---> R^n e' continua in
t_0 appartenente a I se e solo se lo sono tutte le sue componenti r_i, i=1,2,...,n. Continuita' di r
in I, la classe C(I). 

2^ Settimana

Lezione n. 4 -- lun. 23 sett. 2024 (3 ore)

Topologia indotta dalla metrica euclidea (contin.): intorno sferico (richiami), definizioni di
intorno, punto interno a un sottoinsieme D di R^n, parte interna (o interno) di D; insieme aperto,
insieme chiuso. Riconsiderazione degli intervalli reali.
 
CURVE (in forma parametrica): definizione, sostegno della curva e rappresentazione parametrica,
equazioni parametriche. L'ordinamento dei numeri reali induce un senso di percorrenza del sostegno.
Primi esempi, curve distinte con lo stesso sostegno. Il sito mathcurve (di Robert Ferreol, FR).
Curve piane, casi di rilievo: grafici di funzioni a valori reali, curve polari; esempi illustrativi.
La lemniscata di Bernoulli: derivazione della legge polare dall'equazione cartesiana. Curve chiuse,
curve semplici: definizioni rispettive, esempi illustrativi.
Derivabilita' di un'applicazione a valori vettoriali r=r(t) in t_0 appartenente a I: definizione,
vettore derivato (o derivata) r'(t_0); condizione equivalente.

COMPITO: si riesamini l'esistenza della derivata destra in x_0=0 per la funzione f(x)=x^alfa, x non
negativo, al variare di alfa>0; si interpreti geometricamente il risultato.

Lezione n. 5 -- mar. 24 sett. 2024 (2 ore) 

per le coorti: IAL & ICE Costruzioni-Strutture/Infrastrutture

CURVE (contin.). Lunghezza di una curva (gamma,r), con r: [a,b] ---> R^n. Suddivisioni di [a,b],
poligonali inscritte nel sostegno, definizione di curva rettificabile. La proprieta' "r appartiene
a C^0([a,b])" non e' sufficiente a garantire la rettificabilita' di un arco di curva. Un esempio
(non patologico): la curva-grafico della funzione f(x) definita da xsin(1/x) per x in (0,2/pi] e
f(0)=0 non e' rettificabile; v. il testo di riferimento per la dimostrazione. 
PROPOSIZIONE (dim. in parte): Se r appartiene a C^1([a,b]), gamma= r([a,b]) risulta rettificabile e
la sua lunghezza e' pari all'integrale di ||r'(t)|| in [a,b].

La formula della lunghezza nel caso di curve piane con legge polare C^1. ESEMPIO/ESERCIZIO: calcolo
della lunghezza della prima spira della spirale di Archimede.

COMPITI: (i) Si ricomponga una tabella di derivate (e quindi di primitive) di funzioni a valori
reali, e i metodi di integrazione conosciuti. Studiare la Nota in Moodle inerente alle funzioni
iperboliche cosh(x) e sinh(x) e le loro inverse, che hanno un ruolo cruciale ad esempio nel calcolo
di una primitiva di (1+x^2)^{1/2}. (ii) (per ven. 27 ott.) Affrontare i quesiti contenuti nel foglio
n. 1 e quelli possibili nel foglio n. 2 in Moodle. (iii) (per mar. 1 ott.) Leggere l'Introduzione e
la sez. 1. della Nota "Successioni e serie di funzioni, in compendio".

Lezione n. 6 -- ven. 27 sett. 2024 (2 ore)

CURVE (contin.). Il concetto di curva rettificabile (idea). Formula per la lunghezza di un arco di
curva, valida per curve C^1([a,b]). Lunghezza di un arco di curva polare o cartesiana, formule
rispettive. Curve regolari, equazioni parametriche della retta tangente a un punto del sostegno.
Dalle eq. parametriche all'eq. cartesiana. Curve regolari a tratti, estensione della validita'
della formula. ESEMPIO/ESERCIZIO: la curva astroide.

3^ Settimana

Lezione n. 7 -- lun. 30 sett. 2024 (3 ore)

CURVE (conclusione). ESERCIZIO: calcolo della lunghezza dell'astroide. Integrale curvilineo (o di
linea) di una funzione (di piu' variabili) scalare: l'elemento infinitesimale di linea, definizione
(per mezzo di argomentazioni di tipo euristico). Applicazione al calcolo della massa totale di un
filo materiale, nota la densita' di massa. ESEMPIO/ESERCIZIO: si calcoli la massa di un filo
assimilabile alla prima spira della curva di eq. polare rho=theta^2, se la densita' di massa e'
x^2+y^2.

DISCUSSIONE dell'esercizio 6 nel foglio 2. in Moodle, punto 6a.
Rappresentazioni parametriche di rette e segmenti.

Lezione n. 8 -- mar. 1 ott. 2024 (2 ore)
 
per le coorti: IAL & ICE Costruzioni-Strutture/Infrastrutture

DISCUSSIONE di un QUESITO (parametrizzazione di una curva ottenuta intersecando due superfici
elementari; si sottolinea il ruolo del "completamento del quadrato").

SPAZI di FUNZIONI. Spazi metrici generali: definizione, esempi di rilievo; gli spazi C([a,b]),
C_b(I) (I intervallo), B(I) con la metrica lagrangiana (dim. del fatto che essa sia una metrica,
con la verifica delle tre proprieta' che la caratterizzano). 
Successioni di funzioni in spazi metrici, la questione della loro convergenza: un primo approccio
in cui si valuta la convergenza della successione numerica {f_n(x)}_n per x fissato in I.
(Il tema sara' ripreso mar. 9 ott.)

Lezione n. 9 -- ven. 4 ott. 2024 (2 ore)

FUNZIONI di piu' variabili, a valori reali. Elementi di topologia in R^n (richiami e nuove
definizioni): insieme aperto, insieme chiuso; esempi illustrativi. L'unione di insiemi aperti e' un
insieme aperto, l'intersezione di un numero finito di aperti e' aperto (dim. per esercizio);
l'intersezione di una famiglia arbitraria di aperti puo' non essere aperto (esempio). COMPITO: si
deducano i risultati speculari per mezzo delle leggi di De Morgan. Punti di frontiera di un
sottoinsieme di R^n, esempi. Insiemi connessi per archi. 
Funzioni: dominio, grafico, curve di livello; esempi illustrativi. Definizione di funzione continua
in un punto; v. la definizione di applicazione continua tra spazi metrici.

4^ Settimana

Lezione n. 10 -- lun. 7 ott. 2024 (3 ore)

LIMITI e CONTINUITA'. LIMITI: Definizione di punto di accumulazione per un insieme D (contenuto in
R^n). Dati D sottoinsieme di R^n, f: D ---> R e x_0 di accumulazione per D, si definisce il limite
(finito) l di f, per x che tende a x_0. Il CALCOLO dei limiti, un esempio illustrativo: i limiti di
restrizioni opportune di f consentono di produrre una congettura sul valore di l (oppure di provare
che il limite non esiste); l'obbiettivo di stimare |f(x)-l| con una funzione di tipo radiale
infinitesima, cioe' phi(r), r=||x-x_0||, con phi(r) ---> 0, per r ---> 0.
Validita' di alcuni risultati inerenti ai limiti, noti nel caso n=1 (da rileggere/richiamare):
unicita' del limite, operazioni algebriche con i limiti, permanenza del segno.

CONTINUITA'. Dati D sottoinsieme di R^n, f: D ---> R e x_0 appartenente a D,  si definisce "f e'
continua in x_0"; significato di "f e' continua in D", la classe C(D). La funzione che associa a
(x_1,x_2,...,x_n) una componente x_j (j in {1,2,...,n}) e' continua in ogni punto di R^n (dim.).
Ne consegue che in particolare i polinomi sono funzioni continue; le funzioni razionali sono
funzioni continue. La composizione di funzioni continue e' continua (s.d.). Un ESEMPIO/ESERCIZIO:
determinazione del dominio D di una funzione di due variabili e proprieta' di D, continuita' della
funzione in D.

RISULTATI di RILIEVO per le funzioni continue: i Teoremi di Weierstrass, degli zeri, dei valori
intermedi (s.d.); il ruolo della proprieta' di connessione nella dimostrazione del Teorema degli
zeri. (Si sottolinea che in R sono connessi per archi tutti e soli gli intervalli -- eventualmente
generalizzati (s.d.).). DISCUSSIONE/ESERCIZIO: Data f: D ---> R, qual e' l'immagine f(D)? Utilizzo
del Teorema dei valori intermedi.
 
Lezione n. 11 -- mar. 8 ott. 2024 (2 ore) 

per le coorti: IAL & ICE Costruzioni-Strutture/Infrastrutture

RISULTATI di RILIEVO per le funzioni continue (contin.). Il Teorema degli zeri (dim.).
ESERCIZI: Determinazione di sup_D f e inf_D f nel caso di funzioni da R^2 in R, senza utilizzo di
strumenti del calcolo differenziale.

SUCCESSIONI di FUNZIONI (contin. da mar. 1 ott. 2024). Convergenza puntuale di successioni di
funzioni (a valori reali) definite in un sottoinsieme di R: definizione, un esempio (la successione
f_n(x)=x^n in [0,1], con calcolo del limite puntuale in [0,1]). Si osserva che la continuita' del
polinomio x^n non e' preservata nel passaggio al limite.
Cambio di prospettiva: le funzioni come elementi di uno spazio metrico, convergenza dettata dalla
metrica. La metrica lagrangiana, convergenza uniforme. Raffronto tra le due definizioni (convergenza
puntuale vs convergenza uniforme). 
COMPITO: Implicazioni della convergenza uniforme; v. testo di riferimento e Note in Moodle.

Lezione n. 12 -- ven. 11 ott. 2024 (2 ore)

FUNZIONI CONTINUE (conclusione). ESERCIZIO: studio della continuita' di due funzioni definite in
R^2: quando risulta necessario il calcolo di limiti, e quando no.

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI. Verso un'estensione appropriata
del concetto di derivabilita' di una funzione f in un punto x_0 (dal contesto elementare in cui n=1
al caso n>1). Derivata direzionale di f in x_0, lungo una direzione v: definizione, significato,
interpretazione geometrica. Derivate direzionali lungo i versori e_i della base canonica,
i=1,2,...,n: derivate parziali (prime), vettore gradiente di f in x_0. Il calcolo delle derivate
parziali: primi esempi. L'esistenza del gradiente di f in x_0 non garantisce la continuita' di f in
x_0: discussione di un esempio illustrativo.

5^ Settimana

Lezione n. 13 -- lun. 14 ott. 2024 (3 ore)

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI da R^n in R (contin.). ESERCIZIO inerente al calcolo di derivate
parziali prime (in un insieme aperto di R^2). ESEMPIO/ESERCIZIO: derivabilita' della funzione norma
f(x)=||x||: non esistenza delle derivate parziali prime in x_0=0; utilizzo del Teorema di
derivazione delle funzioni composte (di una variabile) e la regola della catena, per il calcolo
delle derivate parziali prime in x diverso da 0. (Discussione preliminare sulla continuita' di
f(x)=||x|| in R^n (dim.).)

Si richiama la definizione di "f e' derivabile in x_0" (nel caso n=1). Implicazioni: continuita' di
f in x_0, esistenza della retta tangente al grafico di f nel punto (x_0,f(x_0)). Formula asintotica
equivalente, approssimazione lineare. Definizione di "f e' differenziabile in x_0" (interno a D)
(n>1). Il differenziale in x_0, sua struttura (dim.), riformulazione della definizione.

Lezione n. 14 -- mar. 15 ott. 2024 (2 ore) 

per le coorti: IAL & ICE Costruzioni-Strutture/Infrastrutture

Sottolivelli e sopralivelli di funzioni continue in R^n, loro proprieta' topologiche (dim.).
L'insieme di livello di una funzione continua in R^n e' un insieme chiuso. Esempio illustrativo.

SUCCESSIONI di FUNZIONI (contin. da mar. 8 ott. 2024). Studio della convergenza uniforme di
f_n(x)=x^n (al limite puntuale) in [0,1] e [0,b], b<1. Un ESERCIZIO, con calcolo del limite puntuale
di una successione di funzioni; v. la Nota "Successioni e serie di funzioni, in compendio"  nella
piattaforma Moodle, p. 7, punto (a). (Si rendono necessari dei richiami ad alcuni limiti notevoli di
successioni.)
COMPITO: Convergenza uniforme: risultati di rilievo: lettura delle pp. 4-7 nella Nota "Successioni e
serie di funzioni, in compendio"  nella piattaforma Moodle. 

Lezione n. 15 -- ven. 18 ott. 2024 (2 ore)

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI da R^n in R (contin.). Una condizione sufficiente affinche' una
funzione f sia differenziabile in un insieme aperto di R^n: f possiede derivate parziali prime
continue in A -- si dice che f appartiene alla classe C^1(A) (si tratta di un Corollario del Teorema
del differenziale totale (s.d.)). ESEMPIO/ESERCIZIO illustrativo: studio della differenziabilita'
della funzione che vale x^2y/(x^2+y^2) se (x,y) e' diverso da (0,0) e tale che f(0,0)=0 (mentre
l'analisi della differenziabilita' di f ristretta all'insieme aperto R^2\{(0,0)} si avvale del
risultato enunciato, per la differenziabilit'a in (0,0) va utilizzata la definizione).
La classe C^1(A) e' contenuta nella classe C(A) (dim.).
PROPOSIZIONE riguardante le IMPLICAZIONI della differenziabilita' di f in x_0 (interno a D):
(i) continuita' di f in x_0, (ii) esistenza delle derivate direzionali di f in x_0 e "formula del
gradiente" (linearita' dell'applicazione v ---> D_vf(x_0)), (iii) esistenza dell'iperpiano tangente
a G_f in (x_0,f(x_0)). Direzioni di massima crescita/decrescita di f in x_0.
Si ritorna all'ESEMPIO di cui sopra, e si calcolano le derivate direzionali della funzione 
in tutti i punti.  

6^ Settimana

Lezione n. 16 -- lun. 21 ott. 2024 (3 ore)

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI da R^n in R (contin.). Piano tangente al grafico G_f di una
funzione f(x,y) in un suo punto P_0=(x_0,y_0,f(x_0,y_0)); un vettore normale N e i due versori
normali a G_f in P_0. Iperpiani tangenti. ESERCIZIO: equazione del piano tangente al paraboloide
ellittico di eq. z=x^2+y^2 in un suo punto generico; i due versori normali in ciascun punto.

ESERCIZIO: discussione di un quesito (inerente ad un problema piu' articolato che sara' inserito
nel foglio 4 in Moodle): ricerca della direzione di massima decrescita di una funzione.

Introduzione alla derivazione di funzioni composte. Pur esistendo un Teorema di derivazione delle
funzioni composte (con regola della catena) generale, risulta efficace analizzare casi specifici di
rilievo. La derivazione di funzioni composte ha un ruolo cruciale nel caso in cui alcune delle
funzioni coinvolte siano non note, come ad es. nel caso in cui si cerchino soluzioni di equazioni
differenziali a derivate parziali (EDP). Esempio illustrativo: un modello differenziale per le
piccole vibrazioni di una corda elastica, introduzione di nuove variabili (indipendenti), la
derivazione di funzioni composte consente di ottenere un'EDP equivalente di facile risoluzione.

Lezione n. 17 -- mar. 22 ott. 2024 (2 ore) 

per le coorti: IAL & ICE Costruzioni-Strutture/Infrastrutture   

SUCCESSIONI di FUNZIONI (contin. da mar. 15 ott. 2024). Si riprende l'esercizio a p. 7 della Nota
"Successioni e serie di funzioni, in compendio", punto b): discussione della convergenza uniforme
di f_n a f (con indicazioni su come procedere, e dettagli lasciati per esercizio); un'implicazione
di rilievo: liceita' del passaggio al limite sotto il segno di integrale.

SERIE di FUNZIONI. Definizione, la successione delle somme parziali. Convergenza puntuale e
convergenza uniforme per serie di funzioni. L'impossibilita' di provare (o confutare) la convergenza
uniforme di una serie (in un qualche intervallo) mediante la definizione, in assenza di leggi
esplicite per la successione delle somme parziali e per la somma della serie. (Si richiamano i pochi
casi di serie numeriche di cui si calcola la somma: serie geometrica, serie telescopiche.)
Il caso delle serie di potenze (v. Note in Moodle). Esistono risultati generali sulla convergenza
delle serie di potenze. Il fatto che la somma di una serie di potenze con raggio di convergenza R>0
sia una funzione di classe C^infty costituisce un limite degli sviluppi in serie di Taylor. La
ricerca di sviluppi in serie per l'approssimazione di funzioni (solo) continue o persono con punti
di discontinuita' (---> serie di Fourier).

SERIE di FOURIER. Introduzione: prolungamenti periodici di funzioni definite in [a,b], funzioni
periodiche di periodo T>0. Non e' restrittivo assumere T=2pi. Polinomi trigonometrici, serie
trigonometriche. Argomentazione di tipo euristico: deduzione della forma dei coefficienti a_k
e b_k affinche' una serie trigonometrica converga uniformemente a una funzione T-periodica data.  

Lezione n. 18 -- ven. 25 ott. 2024 (2 ore)

APPLICAZIONI del CALCOLO DIFFERENZIALE. Valori estremi e punti di estremo (cioe' di massimo e/o
minimo) per funzioni a valori reali definite in sottoinsiemei D di R^n. Punti di massimo/minimo
relativo. RICHIAMI: Il TEOREMA di Fermat per funzioni di una variabile. (La condizione e' solo
necessaria e riguarda punti interni in cui f e' derivabile.) Il TEOREMA di FERMAT nel caso n>1
(dim.). Discussione di un ESEMPIO/ESERCIZIO: validita' delle ipotesi del Teorema di Weierstrass,
ricerca di eventuali punti critici (o stazionari) per f interni a D, analisi di f sulla frontiera
di D.
Il metodo delle curve di livello.
  
7^ Settimana

Lezione n. 19 -- lun. 28 ott. 2024 (3 ore)

PROBLEMI di MAX/MIN e di OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA. Riallacciandosi alla lezione del 25 ott., si
ripercorre il metodo utilizzato ai fini della ricerca dei valori estremi di una funzione in un
insieme con parte interna non vuota. Anticipazione e avvertimento: per lo studio di alcuni problemi
di ottimizzazione vincolata -- quali ad es. quello di determinare il parallelepipedo di volume
massimo, data la superficie -- si e' ricondotti allo studio di una funzione ristretta all'insieme di
livello di una seconda funzione; in questo caso l'interno e' l'insieme vuoto. Un risultato
pertinente e importante: il Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (verra' ripreso piu' avanti).   

DERIVAZIONE di FUNZIONI COMPOSTE. Si richiama il risultato nel caso di composizione di funzioni
di una variabile. In vista dell'enunciato nel caso generale, si presenta il risultato in due
situazioni specifiche di rilievo. 1. Il caso g(t) = f(r(t)), con r: I ---> R^n (I intervallo reale,
n>1) e f: D ---> R (D sottoinsieme di R^n): condizioni sufficienti per la derivabilita' di g in t_0,
regola della catena per il calcolo di g'(t_0) (s.d., alla data odierna). Si sottolinea che le
ipotesi non sono necessarie: la funzione cos|x| e' derivabile in x_0=0, anche se |x| non lo e'.
1^ ESEMPIO/ESERCIZIO illustrativo. 2. Un secondo caso di rilievo: g(x)= phi(f(x)), con f e phi
funzioni a valori reali, rispettivamente di piu' variabili e di una variabile; quali ipotesi su phi
e f ai fini della differenziabilita' di g in x, la regola della catena (s.d., alla data odierna).
A mo' di 2^ ESEMPIO illustrativo si ritorna all'equazione del trasporto u_t+cu_x=0 introdotta nella
prima lezione (del 16 sett. 2024) e si verifica che le funzioni della forma u(x,t)=f(x-ct), con f
appartenente alla classe C^1, sono soluzioni (in senso stretto, cioe' C^1)) dell'equazione.
 

Lezione n. 20 -- mar. 29 ott. 2024 (2 ore) 

per le coorti: IAL & ICE Costruzioni-Strutture/Infrastrutture

DISCUSSIONE di due quesiti del foglio 4 (v. Moodle). Q13: Ricerca dei valori estremi di una funzione
di due variabili definita su R^2: ricerca dei punti critici, analisi del comportamento asintotico
all'infinito (con l'occasione si introduce il limite finito di f(x), per ||x|| che tende a +infty),
argomentazione conclusiva che fa uso del Teorema di Weierstrass. Q11: derivazione di funzioni
composte e applicazione allo studio di equazioni a derivate parziali. 
Incidentalmente, si ritorna sulla funzione norma euclidea f(x)=||x||: essa non possiede nessuna
delle derivate parziali prime in x_0=0 (fatto gia' discusso), mentre si ha D_{x_i}f(x) = x_i/||x||,
per ogni x diverso da 0, i=1,2,...n; di conseguenza, f appartiene alla classe C^1 di R^2\{0} ed e'
ivi differenziabile.   
 
ven. 1 nov. 2024: Ognissanti (festa nazionale)  
  
8^ Settimana

lun. 4 nov. 2024: 1^ prova (scritta) intermedia  

Lezione n. 21 -- mar. 5 nov. 2024 (2 ore)

per le coorti: IAL & ICE Costruzioni-Strutture/Infrastrutture

SERIE di FOURIER (v. lezione n. 17, mar. 22 ott.). RICHIAMI: funzioni periodiche di periodo T:
definizione, altri periodi, periodo minimo. Polinomi trigonometrici, serie trigonometriche. Non e'
restrittivo assumere T=2pi. Prolungamenti periodici di funzioni definite in [0,2pi). Ragionamento di
tipo euristico per dedurre la struttura dei coefficienti a_n e b_n: coefficienti di Fourier, serie
di Fourier associata a una funzione 2pi-periodica. Il caso di funzioni pari o dispari: serie di
Fourier (rispettivamente) di soli coseni o soli seni.
ESEMPIO illustrativo/ESERCIZIO: Si determina la serie di Fourier associata al prolungamento
2p-periodico della restrizione a [-pi,pi) della funzione f(x)=x. Si osserva che il prolungamento
T-periodico di una funzione continua in [0,T) non e' in generale una funzione continua; si
introdurra' il concetto di funzione continua a tratti.
COMPITO (per mar. 12 nov.): leggere la breve Nota "Convergenza delle serie di Fourier" in Moodle.

Lezione n. 22 -- ven. 8 nov. 2024 (2 ore)

APPLICAZIONI della DERIVAZIONE di FUNZIONI COMPOSTE: ortogonalita' del gradiente agli insiemi di
livello (regolari, v. definizione in calce). Dati una funzione a valori reali f=f(x,y), il luogo
geometrico M descritto dall'equazione f(x,y)=0, e un suo punto p_0=(x_0,y_0), le condizioni 
(H1) f appartenente alla classe C^1(A) (A insieme aperto), (H2) grad f(x_0,y_0) diverso da (0,0),
garantiscono che M e' localmente (in un intorno di p_0) il sostegno di una curva cartesiana
regolare. Segue anche che grad f(p_0) e' ortogonale a M in p_0 (dim.).
Funzioni definite implicitamente, il Teorema delle funzioni implicite (enunciato omesso, al
momento). Discussione di un ESEMPIO illustrativo/ESERCIZIO. 
Un insieme di livello che soddisfa le ipotesi (H1) e (H2)' grad f(x,y) diverso da (0,0) per ogni
(x,y) appartenente a M e' detto (insieme di livello) regolare.

DERIVATE SUCCESSIVE. Derivate parziali seconde (pure e miste), matrice hessiana.

9^ Settimana

Lezione n. 23 -- lun. 11 nov. 2024 (3 ore) 

DERIVATE SUCCESSIVE (contin.). Derivate parziali seconde pure e miste, matrice hessiana; la
notazione D^2f(x_0). ESERCIZIO: esistenza e calcolo delle derivate seconde della funzione
f(x,y)=(1+x^2+y^2)^{1/2}. Nell'esempio illustrativo le derivate seconde miste coincidono: e' un
caso? Il TEOREMA di Schwarz (s.d.). La classe C^2(A) (A insieme aperto di R^n); C^2(A) e' contenuta
in C^1(A). La matrice hessiana di una funzione appartenente a C^2(A) e' simmetrica. Derivate terze,
ecc., la classe C^infty(A).
APPLICAZIONI di rilievo: formula di Taylor di ordine 2 di f, centrata in x_0, con resto di Peano
(s.d.). Sulla base della formula suddetta, si deduce che la forma quadratica q(v)=<D^2f(x_0)v,v>
ha un ruolo cruciale nello studio della natura (locale) dei punti critici di f.
Si utilizzera' il Teorema di Schwarz per dimostrare che un campo vettoriale di classe C^1 in un
insieme aperto A di R^3, conservativo in A, e' necessariamente irrotazionale.

MISURA di PEANO-JORDAN. Introduzione: un concetto di misura che estenda l'area dei poligoni del
piano, principii fondanti. Definizione di insieme (limitato) misurabile secondo Peano-Jordan.

Lezione n. 24 -- mar. 12 nov. 2024 (2 ore) 

per le coorti: IAL & ICE Costruzioni-Strutture/Infrastrutture

SERIE di FOURIER (contin.). Funzioni regolari a tratti. Si richiama l'ESERCIZIO discusso nella
lezione del 5 nov. e si discute la convergenza puntuale della serie di Fourier associata al
prolungamento 2p-periodico della restrizione a [-pi,pi) della funzione f(x)=x. Si osserva che il 
prolungamento (f tilde) 2p-periodico della restrizione a [-pi,pi) della funzione f(x)=x^2 e' una
funzione continua e regolare a tratti; di conseguenza, la serie di Fourier ad essa associata
converge uniformemente a f tilde in R.

APPLICAZIONI delle SERIE di FOURIER. Il problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione della corda
vibrante, ricerca di una soluzione come somma di una serie di funzioni. Soluzioni a variabili
separate, problema agli autovalori.

Lezione n. 25 -- ven. 15 nov. 2024 (2 ore) 

MISURA di JORDAN, INSIEMI MISURABILI (contin.). Caratterizzazione degli insiemi misurabili (s.d.).
Insiemi trascurabili in R^2. Come provare che un insieme limitato del piano e' misurabile e ha
misura nulla: sufficiente mostrare che esiste un plurirettangolo di area arbitrariamente piccola che
lo contiene. PROPOSIZIONE (dim.): Il grafico di una funzione f: [a,b] ---> R continua in [a,b] e'
trascurabile in R^2. (Incidentalmente, si cita il Teorema di Cantor-Heine: una funzione continua in
un sottoinsieme chiuso e limitato di R^n e' uniformemente continua.)
Insiemi semplici rispetto all'asse x o rispetto all'asse y: definizioni rispettive. Un insieme
x-semplice o y-semplice e' misurabile in R^2, poiche' la sua frontiera e' l'unione di quattro
curve cartesiane ed e' pertanto trascurabile. Insiemi (che non sono semplici, ma sono) semplicemente
decomponibili.

Una roadmap per la lezione successiva.

10^ Settimana

Lezione n. 26 -- lun. 18 nov. 2024 (3 ore)

INTEGRALI DOPPI. Dato un insieme D (limitato) misurabile e una funzione f (a valori reali,
limitata) definita in D, si definisce "f e' integrabile in D". Classi di funzioni integrabili: sono
integrabili le funzioni continue in D chiuso e limitato (s.d.); piu' in generale, sono integrabili
le funzioni limitate e continue in D salvo che nei punti di un insieme trascurabile (s.d.);
funzioni generalmente continue. L'integrale esteso a D di f(x,y)=c (costante) e' pari a c|D|; la
misura di D coincide con l'integrale esteso a D della funzione che vale 1 (in D). PROPRIETA'
dell'integrale (cioe' dell'applicazione che associa a una funzione integrabile il valore
dell'integrale doppio): linearita', positivita', monotonia, additivita' rispetto all'insieme di
integrazione.
Il CALCOLO degli integrali: formula di riduzione per l'integrale di una funzione continua in un
rettangolo [a,b]x[c,d] (s.d., con giustificazione intuitiva). Integrale doppio esteso a un dominio
x-semplice: formula di riduzione relativa (dim.). 

Lezione n. 27 -- mar. 19 nov. 2024 (2 ore)

per le coorti: IAL & ICE Costruzioni-Strutture/Infrastrutture

APPLICAZIONI delle SERIE di FOURIER (contin.). Il problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione
della corda vibrante. Si ricercano soluzioni a variabili separate dell'equazione, che soddisfano le
condizioni al bordo. Problema agli autovalori: autovalori, autofunzioni corrispondenti. Soluzione
candidata come somma di una serie di funzioni il cui termine generale e' precisato imponendo le
condizioni iniziali. Prolungamenti 2pi-periodici e dispari dei dati iniziali (definiti solo in
[0,pi]). 

L'equazione della corda (infinita) u_{tt}-c^2u_{xx}=0 (*). Introduzione delle nuove variabili
csi=x+ct e eta=x-ct. 
COMPITO: Utilizzare la derivazione di funzioni composte per ottenere l'equazione a derivate
parziali (EDP) equivalente nell'incognita v(csi,eta)=u(x(csi,eta),y(csi,eta)), se u=u(x,y) risolve
in senso stretto l'EDP (*). 

Lezione n. 28 -- ven. 22 nov. 2024 (2 ore)

CALCOLO di integrali doppi su domini semplici rispetto a un asse, formule di riduzione rispettive.
ESERCIZI sul tema. Introduzione ai cambiamenti di variabili.
 
11^ Settimana

Lezione n. 29 -- lun. 25 nov. 2024 (3 ore)

Verso un risultato di rilievo inerente i CAMBIAMENTI di VARIABILI negli INTEGRALI DOPPI.
Calcolo differenziale (integrazione): Definizione di "F e' differenziabile in x_0 interno a D" per
applicazioni F: D ---> R^m, con D contenuto in R^n. La differenziabilita' di F in x_0 equivale alla
differenziabilita' di tutte le sue componenti T_i in x_0, i=1,2,...,m (dim.); struttura del
differenziale, matrice jacobiana di T in x_0, notazione.
Il caso m=n. INVERTIBIITA' di TRASFORMAZIONI definite in insiemi aperti di R^n, a valori in R^n. Il
caso n=1: La condizione "f appartenente a C^1((a,b))" assieme a "f'(x) diversa da 0 in (a,b)"
implica "f e' invertibile in (a,b)". L'implicazione non e' vera (in generale) se n>1: ad esempio,
la trasformazione T(x,y) =(e^x cos y,e^x sin y) ha matrice jacobiana non singolare ma non e'
iniettiva (globalmente). Definizione di DIFFEOMORFISMO. Le proprieta' (i) "T appartiene a C^1(A)" e
(ii) "T e' invertibile" non implicano in generale che (iii) T^{-1} appartenga alla classe
C^1(T(A)); v. T(x)=x^3.
Il TEOREMA di cambiamento di variabili negli integrali doppi (s.d.; per un'introduzione alla
formula v. Nota in Moodle). ESEMPIO illustrativo/ESERCIZIO: calcolo dell'integrale della funzione
di Gauss exp(-x^2-y^2) in un disco di centro (0,0) e raggio R. La trasformazione in coordinate
polari. (Si citano i valori dell'integrale -- in senso generalizzato -- di exp(-x^2-y^2) in R^2 e
di exp(-x^2) in R.)
 
Lezione n. 30 -- mar. 26 nov. 2024 (2 ore)

per le coorti: IAL & ICE Costruzioni-Strutture/Infrastrutture

ESERCIZI/PROBLEMI (cambiamento di variabili negli integrali multipli): 1. Calcolo dell'area di un
parallelogramma curvilineo. 2. Calcolo dell'area di una regione delimitata da una spira della
spirale di Archimede e piu' in generale di un settore delimitato da un arco di curva polare. 

ven. 29 nov. 2024 (0 ore, adesione sciopero)

12^ Settimana

Lezione n. 31 -- lun. 2 dic. 2024 (3 ore)
 
Il CALCOLO degli INTEGRALI (contin.). Formula per il calcolo dell'area di un settore polare.
Ai fini dell'utilizzo del teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli, si 
osserva che (data una trasformazione da un insieme aperto A di R^n in R^n) le condizioni (i) "T
appartiene a C^1(A)", (ii) "T e' invertibile", (iii)' "lo jacobiano det DT(x) e' non nullo per ogni
x in A" garantiscono che T sia un diffeomorfismo in A. Si tratta di una conseguenza del TEOREMA
dell'inversa locale (enunciato, s.d.; il risultato e' legato al Teorema delle funzioni implicite).
Diffeomorfismi locali.
INTEGRALI TRIPLI. Un excursus sui passi che portano alle definizioni di insieme (limitato)
misurabile in R^3 e di funzione (limitata) di tre variabili integrabile su un insieme misurabile.
Caratterizzazione degli insiemi misurabili (s.d.). Il grafico di una funzione continua in un
insieme chiuso e limitato e' trascurabile in R^3 (idea della dim.). Classi di funzioni integrabili:
funzioni continue in un compatto, funzioni generalmente continue.
Il CALCOLO degli integrali tripli. Sottoinsiemi di R^3 semplici rispetto a un asse. Integrazione
(cosiddetta) per fili, integrazione (cosiddetta) per strati, formule di riduzione rispettive;
discussione di entrambe le formule su un esempio illustrativo.

Lezione n. 32 -- mar. 3 dic. 2024 (2 ore)

per le coorti: IAL & ICE Costruzioni-Strutture/Infrastrutture

INTRODUZIONE agli integrali curvilinei di campi vettoriali mediante il concetto di lavoro di
un campo di forze lungo un cammino. Formule di Green nel piano (cenni; tema da sviluppare).

Lezione n. 33 -- ven. 6 dic. 2024 (2 ore)

CAMPI VETTORIALI, INTEGRALI di LINEA relativi. Campo di velocita' di un fluido come applicazione da
un sottoinsieme di R^4 in R^3. Campo gravitazionale. Campi vettoriali stazionari. Dato un campo
vettoriale F continuo in un sottoinsieme D di R^n, si definisce l'integrale di linea di F su una
curva gamma con sostegno in D. L'integrale curvilineo (anche detto di seconda specie) dipende
dall'orientazione su gamma, a differenza dell'integrale di funzioni scalari (di prima specie).
Campi vettoriali conservativi: definizione. PROPOSIZIONE (dim.): Sia F un campo vettoriale continuo
in un inseme aperto A di R^n. Se F e' conservativo in A, l'integrale di linea di F lungo un arco di
curva con sostegno in A, congiungente P_1 a P_2 e orientato da P_1 a P_2, e' pari a U(P_2)-U(P_1),
se U e' un potenziale di F. (Ne consegue che se la curva e' chiusa l'integrale e' nullo.)
Il campo F(x,y)= (-y/x^2+y^2,x/(x^2+y^2)) non e' conservativo nel suo dominio massimale (dim.):
la circuitazione di F lungo la circonferenza di centro (0,0) e raggio R>0, percorsa una sola volta
in senso antiorario, e' pari a 2pi. 

Campi vettoriali di classe C^1 in A. Una condizione NECESSARIA affinche' un campo vettoriale F 
appartenente a C^1(A) sia conservativo in A: la condizione (di irrotazionalita') rot F=(0,0,0).
L'operatore differenziale "rotore", il calcolo del campo rot F mediante un opportuno determinante
(simbolico). 
 
13^ Settimana

Lezione n. 34 -- lun. 9 dic. 2024 (3 ore)

CAMPI VETTORIALI, INTEGRALI di LINEA relativi (contin.). Campi vettoriali conservativi (richiami):
definizione, due proprieta' che li caratterizzano: i) dato un campo F conservativo in un insieme
aperto A di R^n, l'integrale di F esteso ad un arco di curva regolare (o regolare a tratti) con
sostegno in A, di punti iniziale e finale rispettivamente P_1 e P_2, dipende soltanto da P_1 e P_2,
ma non dal cammino; ii) la circuitazione di un campo conservativo su una curva (semplice e) chiusa,
con sostegno in A, e' nulla. Una condizione NECESSARIA di buon utilizzo pratico (n=3): F appartiene
alla classe C^1(A), rot F=0 (F e' irrotazionale). La condizione di irrotazionalita' non e'
sufficiente: v. ad esempio il campo F(x,y)= (-y/x^2+y^2,x/(x^2+y^2)) nel suo dominio naturale.
ESERCIZIO: calcolo diretto dell'integrale curvilineo di un campo (non conservativo) lungo una curva
chiusa in R^3. Condizioni SUFFICIENTI affinche' un campo vettoriale sia conservativo in A. Insiemi
STELLATI rispetto a un loro punto: definizione, esempi; un insieme convesso e' stellato. Il LEMMA
di Poincare' (s.d.). Come procedere al fine di determinare un potenziale di un campo conservativo:
un esempio illustrativo.
(Al fine di determinare la famiglia di tutti i potenziali di un campo conservativo, occorre
la PROPOSIZIONE seguente (s.d.): (n=1) Una funzione a valori reali derivabile in un intervallo I,
con derivata nulla in I, e' ivi costante. (n>1) Il risultato si estende al caso di funzioni
differenziabili con gradiente nullo in un insieme A aperto e connesso (per archi). Se A e'
sconnesso, l'assunto e' ancora valido in ogni componente connessa (sottoinsieme massimale connesso)
di A. Si puo' mostrare che questo implica che la famiglia di tutti i potenziali di un campo F
conservativo in un insieme aperto A e' una famiglia a m parametri, se m sono le componenti connesse
di A.)

Lezione n. 35 -- mar. 10 dic. 2024 (2 ore)

per le coorti: IAL & ICE Costruzioni-Strutture/Infrastrutture

Introduzione alle SUPERFICI. Richiami: il sostantivo "superficie" e' stato utilizzato per indicare
i) grafici di funzioni (a valori reali) di due variabili, continue in opportuni sottoinsiemi di
R^2. Se A e' un aperto di R^2 e f=f(x,y) appartiene alla classe C^1(A), f risulta differenziabile
in A ed esiste il piano tangente al grafico di f in ogni suo punto; equazione del piano tangente.
ii) Superfici di livello regolari. Enunciato del Teorema delle funzioni implicite (s.d.) per
insiemi di livello M di una funzione g=g(x,y,z): condizioni sufficienti affinche' M sia localmente
-- cioe' in un intorno di ogni suo punto P -- una superficie cartesiana, cioe' del tipo in i);
ortogonalita' di grad(g(P)) a M in P. Approssimazione lineare della funzione definita
implicitamente, derivazione dell'equazione del piano tangente a M in un suo punto.

Lezione n. 36 -- ven. 13 dic. 2024 (2 ore)

per le coorti: IAL & ICE Costruzioni-Strutture/Infrastrutture

SUPERFICI in forma PARAMETRICA. Premessa: il termine superficie viene utilizzato in varie
situazioni, in riferimento a (i) superfici cartesiane (cioe' superfici-grafico) e (ii) a insiemi di
livello (di funzioni di tre variabili) regolari (definiti formalmente). (iii) Superfici in forma
parametrica: definizione, rappresentazioni parametriche, esempi illustrativi. I parametri
colatitudine e longitudine per una superficie sferica; una superficie sferica non e' una superficie
cartesiana. Linee coordinate. Superfici regolari, equazione del piano tangente (e un vettore
normale) alla superficie in un suo punto. (Richiami: come calcolare il prodotto vettoriale tra due
vettori.) Il grafico di una funzione f=f(x,y) appartenente a C^1(A) e' una superficie regolare
(dim.); un vettore normale. AREA di una superficie: criticita' di una procedura analoga a quella
che ha condotto al concetto di curva rettificabile, idea della costruzione di superfici elementari
approssimanti, formula per l'area di una superficie regolare (o regolare a pezzi; v. testo di
riferimento).