AA 2023-2024
Corso di Laurea triennale in Ingegneria Civile Edile Ambientale
Insegnamento: ANALISI MATEMATICA II (9 CFU)
Docente: Francesca Bucci


			      DIARIO delle LEZIONI


1^ Settimana

Lezione n. 1 -- mar. 19 sett. 2023 (2 ore)

Presentazione del corso "Analisi Matematica II". Rassegna delle principali informazioni contenute
nel Syllabus, tra cui -- oltre alle tematiche -- modalita' didattiche, testo di riferimento, diario
delle lezioni, prove d'esame in itinere, ecc.

Funzioni (a valori reali) di piu' variabili che scaturiscono in semplici problemi di ottimizzazione
(superficie minima di un parallelepipedo di volume dato, costi per la costruzione di un invaso).
Applicazioni da un sottoinsieme di R^n, a valori in R^m. Casi di rilievo: n=1, m=2,3 (---> curve);
n=2, m=3 (---> superfici); descrizione dei punti della superficie terrestre per mezzo dei parametri
colatitudine e longitudine.
Modelli differenziali. Equazioni differenziali ordinarie, equazioni a derivate parziali.
Equazione della corda vibrante, equazione del calore.

Lezione n. 2 -- mer. 20 sett. 2023 (2 ore)

Lo spazio R^n: punti (o vettori), struttura lineare; R^n e' uno spazio vettoriale su R. (RICHIAMARE
la definizione di spazio vettoriale V su un campo K.) Base canonica di R^n. Prodotto scalare in R^n:
definizione, proprieta'. Modulo (o lunghezza o norma) di un vettore. (Si osserva che il concetto di
norma e' piu' generale, una norma non e' necessariamente indotta da un prodotto scalare; proprieta'
della norma, spazi normati.) La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (dim.).
COMPITO: verificare la disuguaglianza triangolare per la norma euclidea, utilizzando la
disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Verso la definizione di curva parametrica: applicazioni r: I ---> R^n, I intervallo (anche
generalizzato), n>1. Definizione di limite di r(t), per t che tende a t_0 (punto di accumulazione
per I).
PROPOSIZIONE (dim.): Un'applicazione r: I ---> R^n ammette limite l=(l_1,l_2,...,l_n), per t che
tende a t_0, se e solo se ogni sua componente r_i ha limite (finito) l_i, per t che tende a t_0, al
variare di i in {1,2,...,n}.
Un esempio illustrativo.

Lezione n. 3 -- gio. 21 sett. 2023 (3 ore)

Calcolo infinitesimale per applicazioni r: I ---> R^n, I intervallo, n>1 (contin.). Definizione di
"r e' continua in t_0 appartenente a I". PROPOSIZIONE (dim.) Un'applicazione r: I ---> R^n e'
continua in t_0 appartenente ad I se e solo se lo sono tutte le sue componenti r_i, i=1,2,...,n.
Continuita' di r in I, la classe C^0(I). Derivabilita' di r in t_0: definizione, vettore derivato;
condizione equivalente, esempi illustrativi. La classe C^1(I). Integrale di r in un intervallo [a,b]:
definizione, condizione equivalente.
(DIGRESSIONE: La funzione (prodotto) f(t)=|t|t e' derivabile in t_0=0 anche se |t| non lo e'. La
funzione (composta) g(t) = cos(|t|) e' derivabile in t_0=0 anche se |t| non lo e'.)

CURVE (in forma parametrica): definizione, sostegno della curva e rappresentazione parametrica,
equazioni parametriche. L'ordinamento dei numeri reali induce un senso di percorrenza del sostegno.
Curve distinte con lo stesso sostegno. Primi esempi: (i) rappresentazione parametrica del segmento
congiungente due punti P_0 e P_1, orientato da P_0 a P_1, e (ii) della retta per P_0 e P_1; (iii) una
curva piana: eliminazione del parametro e riparametrizzazione come (curva-)grafico di funzione di una
variabile. Il sito mathcurve (di Robert Ferreol, FR).
Curve chiuse, curve semplici: definizioni rispettive, esempi illustrativi. L'astroide: dalle
equazioni parametriche all'equazione cartesiana.

2^ Settimana

Lezione n. 4 -- mar. 26 sett. 2023 (2 ore)

Discussione di alcuni quesiti assegnati (v. Moodle, sezione "Curve, integrali curvilinei").
Stime della norma della differenza (in particolare, stima dal basso); stima del prodotto di due
numeri (per mezzo della semi-somma dei quadrati). Il Teorema di Lagrange non vale per le curve.
Curve in forma polare: definizione, esempi, rappresentazione parametrica dedotta dall'equazione
polare; calcolo della norma del vettore derivato. Le curve-grafico sono semplici; le curve polari
con legge polare strettamente monotona sono semplici.
Un esempio di derivazione dell'equazione polare di una curva sulla base dell'equazione cartesiana che
ne definisce il sostegno: la cardioide (v. il sito mathcurve); si verifica che il vettore derivato e'
nullo in un punto. Verso il concetto di curva regolare.

Lezione n. 5 -- mer. 27 sett. 2023 (2 ore)

CURVE (contin.). La retta tangente ad una curva r:I ---> R^n in un suo punto r(t_0), quando r'(t_0)
e' non nullo: equazioni parametriche, equazione cartesiana nel caso n=2. 
RICHIAMI: le rette (del piano) di direzione ortogonale ad un vettore (a,b) sono tutte e sole quelle
di equazione (cartesiana) ax+by+c=0.     
Curve regolari: definizione, come si traduce la def. di regolarita' nel caso di curve-grafico e
curve in forma polare (per casa); esempi illustrativi. L'astroide e la cardioide non sono curve
regolari.

Lunghezza di una curva (gamma,r), con r: [a,b] ---> R^n. Suddivisioni di [a,b], poligonali inscritte
nel sostegno, definizione di curva rettificabile. (Anticipazione: la condizione r appartiene a C^0
non e' sufficiente a garantire la rettificabilita' di un arco di curva, ma sono rettificabili le
curve di un'ampia classe, e vi e' una formula per il calcolo della lunghezza.)

Lezione n. 6 -- gio. 28 sett. 2023 (3 ore)

CURVE (contin. e conclusione). Quali curve sono rettificabili e come si calcola la loro lunghezza?
(i) Dato un arco di curva di rappresentazione parametrica r: [a,b] ---> R^n, il fatto che r sia
continua non garantisce che la curva sia rettificabile. Un esempio paradigmatico: la curva-grafico
della funzione f(x) definita da xsin(1/x) per x appartenente a (0,2/pi] e tale che f(0)=0 non e'
rettificabile; v. il testo di riferimento per la dimostrazione. 
(ii) LEMMA (dim.): Se r appartiene a C^1([a,b]), gamma= r([a,b]) risulta rettificabile e la sua
lunghezza non supera l'integrale di ||r'(t)|| in [a,b]. PROPOSIZIONE (s.d.): Nelle ipotesi del
Lemma, la lunghezza di gamma e' pari all'integrale di ||r'(t)|| in [a,b].
La formula della lunghezza nel caso di curve piane cartesiane o polari appartenenti a C^1.
ESEMPIO/ESERCIZIO: calcolo della lunghezza della cardioide. 
DIGRESSIONE: Si sollecita a richiamare una tabella di derivate (e quindi di primitive) di funzioni
a valori reali, e i metodi di integrazione conosciuti. Il calcolo della lunghezza di un arco di
parabola richiede il calcolo di una primitiva di (1+x^2)^{1/2}; il ruolo cruciale delle funzioni
iperboliche cosh(x) e sinh(x) e delle loro inverse. 
(iii) Curve regolari a tratti: definizione, esempi; la proposizione enunciata si estende alla classe
delle curve regolari a tratti.

Lunghezza di un sottoarco di curva regolare. Giustificazione intuitiva della formula che definisce
l'integrale curvilineo di una funzione scalare su una curva regolare (o regolare a tratti).
Applicazioni meccaniche di rilievo: calcolo della massa totale di un filo materiale con densita' di
massa pari a lambda=lambda(x,y,z).
   
3^ Settimana   
   
Lezione n. 7 -- mar. 3 ott. 2023 (2 ore)
   
(MOODLE: Si sottolinea che e' stata inserita una Nota su: La funzione seno iperbolico, la sua
inversa, il loro ruolo nel calcolo di integrali -- anche estesi ad una curva: v. la lunghezza di un
arco di parabola. PER ESERCIZIO: Si deduca l'espressione dell'inversa della funzione cosh(x)
ristretta a [0,infty), e se ne calcoli la derivata in due modi diversi.)

FUNZIONI (a valori reali) IN PIU' VARIABILI. Funzioni f: D ---> R, D sottoinsieme di R^n. Si osserva
che poiche' f(D) e' contenuto in R, si estendono i concetti di sup_D f, inf_D f, max_D f e min_D f.
L'assenza di ordinamento in R^n (per n>1) fa invece cadere il concetto di monotonia (e con esso
diversi risultati di rilievo validi nel caso n=1). Il dominio 'naturale' cioe' massimale di una
funzione: discussione di alcuni esempi illustrativi (con disegni nel caso n=2).
La norma euclidea induce una distanza in R^n: d(P,P_0)=||P-P_0||. Intorni sferici. Dato un insieme
D contenuto in R^n, si danno le definizioni di punto interno, esterno, di frontiera per D; la parte
interna (o interno) di D. Definizioni di insieme aperto, chiuso, limitato. `Rivisitazione' degli
esempi illustrativi, attribuzione degli aggettivi appropriati.
 
Lezione n. 8 -- mer. 4 ott. 2023 (2 ore)

FUNZIONI di PIU' VARIABILI (contin.). Intorni sferici, intorni (generali). LIMITI: Definizione di
punto di accumulazione per un insieme D (contenuto in R^n). Dati D contenuto in R^n, f: D ---> R e
x_0 di accumulazione per D, si definisce il limite (finito) L di f, per x che tende a x_0;
riformulazione per mezzo degli intorni. (Valgono alcuni risultati principali, noti nel caso n=1:
unicita' del limite, operazioni algebriche con i limiti, permanenza del segno. COMPITO: recupero
delle dimostrazioni rispettive.)
Tre esempi illustrativi: i limiti di restrizioni opportune della funzione consentono di produrre
una congettura sul valore del limite L, oppure di provare che il limite non esiste; l'obbiettivo di
stimare |f(x)-L| con una funzione di tipo radiale infinitesima, cioe' phi(||x||), ove phi(r) ---> 0,
per r ---> 0.
 
Lezione n. 9 -- gio. 5 ott. 2023 (3 ore)

FUNZIONI di PIU' VARIABILI (contin.). Definizione di limite +infty (-infty) di f(x), per x ---> x_0;
esempio illustrativo (1/||x||, per x ---> 0). Definizione di limite (finito, +infty, -infty) per
||x|| ---> +infty. Esempi illustrativi. Come provare che il limite non esiste (per mezzo di
successioni x_n con ||x_n|| ---> +infty).
 
CONTINUITA'. Dati D contenuto in R^n, f: D ---> R e x_0 appartenente a D,  si definisce "f e'
continua in x_0"; f e' continua in D. La funzione (x_1,x_2,...,x_n) ---> x_j (j in {1,2,...,n}) e'
continua in ogni punto di R^n (dim.). Ne consegue che in particolare i polinomi sono funzioni
continue; le funzioni razionali sono funzioni continue. La composizione di funzioni continue e'
continua (s.d.).
Grafici di funzioni di piu' variabili (a valori reali), insiemi di livello: definizioni, esempi
illustrativi. I grafici delle funzioni x^2+y^2, (x^2+y^2)^{1/2}, x^2-y^2 (rispettivamente,
paraboloide ellittico, superficie conica, paraboloide iperbolico); le prime due sono superfici di
rotazione. 
ESERCIZIO: Scrivere una rappresentazione parametrica dei punti della superficie ottenuta ruotando
(con un giro completo) il grafico della funzione z=y^2 attorno all'asse z, e dedurre da quella
l'equazione z=x^2+y^2).

Proposti DUE ESERCIZI da discutere in classe: si chiede di provare che due insiemi piani - descritti
analiticamente - sono limitati.
 
4^ Settimana   
   
Lezione n. 10 -- mar. 10 ott. 2023 (2 ore)

Risposte a quesiti posti dagli/dalle studenti in relazione ai temi affrontati o esercizi/problemi
proposti in Moodle (alla data attuale).

Risultati di rilievo per le funzioni continue: i Teoremi di Weierstrass, degli zeri, dei valori
intermedi; gli ultimi due necessitano dell'introduzione del concetto di insieme connesso (per
archi); v. Moodle. In R sono connessi per archi tutti e soli gli intervalli generalizzati (s.d.).
Come riconoscere che un sottoinsieme di R^n e' un insieme chiuso (ad esempio quando esso e' definito
implicitamente). Sottolivelli e sopralivelli di funzioni continue in R^n. PROPOSIZIONE (dim.): Un
sottolivello di una funzione continua in R^n e' un insieme aperto. Lo stesso vale per un
sopralivello; l'insieme di livello di una funzione continua in R^n e' chiuso.
NOTA BENE: L'unione e l'intersezione di un numero finito di aperti (chiusi) e' aperto
(rispettivamente, chiuso). L'unione di una famiglia arbitraria di aperti e' aperto; l'intersezione
di una famiglia arbitraria di aperti non e' in generale aperto: ad esempio l'intersezione degli
intervalli aperti (-1/n,1/n) e' il singoletto {0}, che e' un insieme chiuso. Tramite le leggi di de
Morgan si ottiene l'enunciato speculare: L'intersezione di una famiglia arbitraria di chiusi e'
chiuso (mentre l'unione di una famiglia arbitraria di chiusi non e' in generale chiuso).

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI. Verso un'estensione appropriata
del concetto "f e' derivabile in x_0" (dal caso n=1 al contesto in cui n>1). Derivata direzionale di
f in x_0 lungo una direzione v: definizione, significato, interpretazione geometrica.

Lezione n. 11 -- mer. 11 ott. 2023 (2 ore)

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI (contin.). Dati un insieme D
contenuto in R^n, f: D ---> R, x_0 punto interno a D e v un versore di R^n, si richiama la def. di
derivata direzionale di f in x_0 lungo v. Il caso in cui v e' uno dei versori e_i della base
canonica, i=1,2,...,n: derivate parziali (prime) e vettore gradiente di f in x_0.
Il calcolo delle derivate parziali prime: esempi illustrativi. Studio della derivabilita' della
funzione norma f(x)=||x|| in x: calcolo delle derivate parziali prime in x diverso da 0, per mezzo
della derivazione di funzioni composte (in una variabile); non esistenza delle derivate parziali
prime in x_0=0.
Si osserva che l'applicazione che associa a v la derivata D_vf(x_0) non e', in generale, lineare
(con analisi di un controesempio).
L'esistenza del gradiente di f o anche di tutte le derivate direzionali di f in x_0 non garantisce
la continuita' di f in x_0: primi esempi illustrativi.  

Si richiama la definizione di "f e' derivabile in x_0" (nel caso n=1). Implicazioni: continuita' di
f in x_0, esistenza della retta tangente al grafico di f nel punto (x_0,f(x_0)). Formula asintotica
equivalente, approssimazione lineare.


Lezione n. 12 -- gio. 12 ott. 2023 (3 ore)

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI (contin.). L'importanza del
Teorema di derivazione delle funzioni composte (e della regola della catena) per funzioni di una
variabile, ai fini del calcolo di derivate parziali. Implicazioni logiche e buon utiizzo del
risultato; la funzione cos|x| e' derivabile in x_0=0 anche se |x| non lo e'.

Definizione di "f e' differenziabile in x_0" (interno a D) (n>1). Struttura del funzionale lineare
(in x_0), riformulazione della definizione. (Si anticipano, s.d., le) Implicazioni in termini di (i)
continuita' di f in x_0, (ii) esistenza di tutte le derivate direzionali di f in x_0 date dalla
"formula del gradiente" D_vf(x_0)= <grad f(x_0),v> (linearita' dell'applicazione v ---> D_vf(x_0)).
(iii) Interpretazione geometrica dell'essere f differenziabile in x_0: (iper)piano tangente al
grafico G_f di f in (x_0,f(x_0)), equazione che lo descrive. Un vettore normale a G_f in
(x_0,f(x_0)); versori normali. (Si richiama la proprieta' geometrica seguente: dato un piano di
equazione cartesiana ax+by+cz+d=0, il vettore (a,b,c) e' ad esso ortogonale.)
 
Discussione di esempi illustrativi di funzioni differenziabili e non in x_0; utilizzo della
definizione, anticipazione sul ruolo del Teorema del differenziale totale.

5^ Settimana   
   
Mar. 17 ott. 2023: Lezione non tenutasi (motivi familiari)   
      
Lezione n. 13 -- mer. 18 ott. 2023 (2 ore)

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI (contin.). PROPOSIZIONE (dim.)
inerente le implicazioni della differenziabilita' di f in x_0 (interno a D): (i) continuita' di f in
x_0, (ii) esistenza delle derivate direzionali di f in x_0 e "formula del gradiente" (linearita'
dell'applicazione v ---> D_vf(x_0)), (iii) esistenza dell'iperpiano tangente a G_f in (x_0,f(x_0)).
Discussione: si recupera l'esempio di una funzione che ammette gradiente in (0,0) ma che non e'
ivi continua (a fortiori, non e' differenziabile); per esercizio: discutere l'esistenza di derivate
direzionali in (0,0), e nel caso calcolarle.
Il TEOREMA del differenziale totale (s.d.). ESERCIZIO: giustificare il fatto che la funzione
f(x,y)= cos(x^2y) + 1/(x^2-y) e' differenziabile nel suo dominio massimale D; giustificazioni
rigorose all'essere aperto, non limitato, sconnesso (per D). Si richiama la definizione di insieme
connesso (per archi) ed il concetto di componente connessa.

Lezione n. 14 -- gio. 19 ott. 2023 (3 ore)

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI (contin.). Si richiamano ipotesi
e tesi del TEOREMA del differenziale totale. La classe C^1(A), con A insieme aperto di R^n.
COROLLARIO (del Teorema del differenziale totale): una funzione appartenente alla classe C^1(A)
risulta differenziabile in A. La classe C^1(A) e' contenuta in C(A). Struttura del differenziale.

Discussione che prende spunto dalla disamina dei quesiti posti nella 1^ prova in itinere dell'AA
2022-2023. Insiemi convessi: definizione, esempi; un insieme convesso e' in particolare connesso per
archi. Equazione del piano tangente ad una superficie grafico di una funzione di due variabili, in
un suo punto. Integrali curvilinei di funzioni (scalari), con applicazione al computo della massa di
un filo materiale.   

Definizioni di massimo e minimo di una funzione f in D (contenuto in R^n), valori estremi e punti di
estremo. Punti di massimo/minimo relativo. Il TEOREMA di Fermat (dim. rimandata). Discussione di un
primo problema di max/min: validita' delle ipotesi del Teorema di Weierstrass, ricerca di eventuali
punti critici (o stazionari) per f interni a D, analisi di f sulla frontiera di D (per esercizio).
Il metodo delle curve di livello.

6^ Settimana   
   
Lezione n. 15 -- mar. 24 ott. 2023 (2 ore)

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI (contin.). Massimi e minimi di
funzioni di piu' variabili. Utilizzo del Teorema di Weierstrass e del Teorema di Fermat, ricerca di
una rosa di candidati ad essere punti di massimo/minimo (punti critici interni, singolari interni,
punti di frontiera). Completamento dell'analisi del problema discusso nella lezione precedente.
Il metodo delle linee di livello. 

Problemi di massimo/minimo su insiemi non limitati. Discussione dell'esercizio 14 nel foglio 3
in Moodle.

Lezione n. 16 -- mer. 25 ott. 2023 (2 ore)

CALCOLO DIFFERENZIALE per FUNZIONI (a valori reali) di n VARIABILI (contin.). Ricapitolazione e
conclusioni sul quesito (discusso nella lezione precedente) inerente un problema di massimo/minimo
su un insieme non limitato; il ruolo del comportamento asintotico della funzione all'infinito.

Derivazione di funzioni composte. Si richiama il risultato nel caso di composizione di funzioni
di una variabile. Il Teorema di derivazione delle funzioni composte nel caso generale (in arrivo).
Presentazione del risultato in un caso specifico: il caso g(t) = f(r(t)), con r: I ---> R^n (I
intervallo reale, n>1) e f: D ---> R (D sottoinsieme di R^n): condizioni sufficienti per la
derivabilita' di g in t_0, regola della catena per il calcolo di g'(t_0) (dim.). La derivazione di
funzioni composte ha un ruolo cruciale nel caso in cui alcune delle funzioni coinvolte siano non
note (v. ad es. ai fini della ricerca di soluzioni di equazioni differenziali a derivate
parziali).    

Lezione n. 17 -- gio. 26 ott. 2023 (3 ore)

DERIVAZIONE di FUNZIONI COMPOSTE (contin.). Si richiama il risultato discusso nella lezione
precedente, inerente alla derivazione di g(t) = f(r(t)), con r: I ---> R^n (I intervallo reale, n>1)
e f: D ---> R (D sottoinsieme di R^n): ipotesi e regola della catena. ESERCIZIO: calcolo di g'(t)
nel caso in cui f(x,y) = (x^2)y e r(t) = (sin(t),log(1+t^2)) sia direttamente, sia per mezzo
della regola della catena.
La regola della catena per h(x,y) = f(u(x,y),v(x,y)), con f,u e v funzioni a valori reali di piu'
variabili.
Un secondo caso di rilievo: g(x)= phi(f(x)), con f e phi funzioni a valori reali, rispettivamente
di piu' variabili e di una variabile; quali ipotesi su phi e f ai fini della differenziabilita' di
g in x, la regola della catena. ESEMPIO illustrativo: calcolo del gradiente di g(x)=1/||x||. 

FUNZIONI DIFFERENZIABILI, il CASO GENERALE: definizione di "f e' differenziabile in x_0 interno a
D" per applicazioni f: D ---> R^m, con D contenuto in R^n. La differenziabilita' di f in x
corrisponde alla differenziabilita' di tutte le sue componenti f_i in x, i=1,2,...,m (dim.);
struttura del differenziale, matrice jacobiana di f in x_0.
Derivazione di funzioni composte nel caso generale: enunciato (s.d.), regola della catena.

7^ Settimana   
   
Lezione n. 18 -- mar. 31 ott. 2023 (2 ore)

APPLICAZIONI della DERIVAZIONE di FUNZIONI COMPOSTE: ortogonalita' del gradiente alla curve di
livello. Piu' precisamente: dato un luogo geometrico M descritto dall'equazione cartesiana f(x,y)=0,
assumendo che (i) M sia (almeno localmente, in un intorno di un suo punto p_0) il sostegno di una
curva regolare e (ii) f sia differenziabile in p_0, si deduce che -- salvo il caso grad f(p_0)=0 --
grad f(p_0) e' ortogonale a M in p_0 (dim.).

FUNZIONI definite IMPLICITAMENTE. Introduzione. Si sottolinea il fatto seguente (dim.): una curva
piana regolare e' localmente -- in un intorno di ogni suo punto -- il grafico di una funzione di una
variabile (di classe C^1). Il Teorema delle funzioni implicite da' una risposta alla domanda: "Si
puo' dire lo stesso nel caso di un luogo geometrico descritto dall'equazione cartesiana f(x,y)=0?"
TEOREMA (delle funzioni implicite): enunciato (s.d.). La funzione definita implicitamente eredita la
classe di regolarita' di f; approssimazione lineare della funzione implicita.

Mer. 1 nov. 2023: Festa nazionale

Lezione n. 19 -- gio. 2 nov. 2023 (3 ore)

FUNZIONI definite IMPLICITAMENTE (contin.). Si richiama l'enunciato del Teorema delle funzioni
implicite nel caso di un'equazione scalare f(x,y)=0, con l'assunto speculare a quello dato nella
lezione precedente (quello per cui la funzione implicita e' x=x(y) anziche' y=y(x)).
ESEMPIO illustrativo: l'insieme M definito dall'equazione cartesiana xe^y+ye^x=1 e' localmente in
P_0=(1,0) il sostegno di una curva cartesiana regolare; l'approssimazione lineare della funzione
y = y(x) (definita implicitamente) in un intorno di x_0=1.

Il caso di equazione (scalare) f(x,y,z)=0: ipotesi e interpretazione geometrica dell'assunto del
Teorema. Il caso di insieme definito da un sistema di due equazioni del tipo f(x,y,z)=0 e
g(x,y,z)=0: ipotesi e interpretazione geometrica dell'assunto del Teorema. Riformulazione in termini
di insiemi di livello di applicazioni F da un aperto A di R^n a valori in R^m (nel caso precedente
si ha n=3, m=2). Il Teorema delle funzioni implicite nel caso generale (cenni, prendendo spunto
dal caso n=3, m=2: la condizione di rango massimo per la matrice jacobiana di F in P_0).

Problemi di OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA. Massimi e minimi vincolati, il Teorema dei moltiplicatori di
Lagrange (dim.). 

8^ Settimana   
   
Lezione n. 20 -- mar. 7 nov. 2023 (2 ore)

DISCUSSIONE inerente ai temi affrontati alla data odierna, con spunti dai materiali recenti (e non)
in Moodle: risposte ai quesiti nel foglio 3 e Nota della docente su un problema isoperimetrico.
1. Prendendo spunto dal quesito 14. nel foglio 3: un breve excursus sulle equazioni differenziali
ordinarie del I ordine: il caso lineare e la formula chiusa che fornisce l'integrale generale
dell'equazione (da memorizzare); il caso nonlineare, le equazioni a variabili separabili, soluzioni
in forma implicita, il fenomeno del blow-up. 
2. Su richiesta di chiarimento da parte di uno studente, si ripercorrono i passi salienti per la
risoluzione del problema di ottimizzazione vincolata "Determinare il parallelepipedo di volume
massimo, data la superficie". Applicazione del Teorema dei moltiplicatori di Lagrange, il sistema
(non lineare) che fornisce l'unico punto critico vincolato. Linea argomentativa che porta a
stabilire che il punto suddetto e' di massimo assoluto.

Lezione n. 21 -- mer. 8 nov. 2023 (2 ore)

FUNZIONI IMPLICITE, PROBLEMI di OTTIMIZZAZIONE  (contin.). (i) Come dedurre l'espressione delle
derivate della funzione definita implicitamente da f(x,y)=0 utilizzando la derivazione di funzioni
composte e la regola della catena, a partire dall'identita' f(x,y(x))=0 in I (oppure f(x(y),y)=0 in
J). La formula di Taylor di ordine 2 per la funzione implicita. (ii) Il Teorema delle funzioni
implicite nel caso di un insieme M definito dall'equazione f(x,y,z)=0 (enunciato, s.d.). Nelle
ipotesi del Teorema, grad f(p_0) e' ortogonale a M in p_0. Insiemi di livello regolari. (iii) Una
roadmap per la ricerca di valori estremi di una funzione su un insieme con interno non vuoto.

DERIVATE SUCCESSIVE. Derivate parziali seconde (pure e miste), matrice hessiana.

Lezione n. 22 -- gio. 9 nov. 2023 (3 ore)

DERIVATE SUCCESSIVE (contin.) Il Teorema di Schwarz (s.d.), esempio di funzione con derivate seconde
miste che esistono in un punto ma sono diverse. La classe C^2(A) (in tal caso la matrice hessiana e'
simmetrica, con implicazioni di rilievo sugli autovalori). [Temi correlati: formula di Taylor,
studio della natura dei punti critici di una funzione C^2 in A; funzioni convesse/concave in R^n.]
Le classi C^k(A) e C^infty(A).
Un operatorie differenziale di ordine 2 di estremo rilievo: l'operatore di Laplace (o laplaciano).
Alcuni modelli differenziali in cui esso appare: equazione di diffusione, equazione di Laplace,
equazione delle onde. L'operatore bilaplaciano, equazioni elastiche.
 
CAMPI VETTORIALI e INTEGRALI DI LINEA. Esempi di campi vettoriali (campo gravitazionale, campo
elettromagnetico, campo di velocita' di un fluido). Campi vettoriali stazionari.
Lavoro di un campo di forze. Definizione di integrale di linea di un campo lungo un cammino; un
esempio. Se un campo vettoriale continuo F e' il gradiente di una funzione scalare f di classe C^1
in A, l'integrale di linea di F lungo un cammino congiungente P_1 a P_2, orientato da P_1 a P_2, e'
pari a f(P_2)-f(P_1) (dim.). Campi vettoriali conservativi.  
   
9^ Settimana   
   
Lezione n. 23 -- mar. 14 nov. 2023 (2 ore)
  
CAMPI VETTORIALI E INTEGRALI CURVILINEI (contin.). Richiamo della lezione precedente. Campi
vettoriali conservativi: definizione, due proprieta' che li caratterizzano: i) l'integrale del campo
esteso ad un arco di curva regolare (a tratti) di punti iniziale e finale rispettivamente P_1 e P_2
dipende esclusivamente da P_1 e P_2 ma non dal cammino; ii) la circuitazione del campo su una curva
(semplice) chiusa e' nulla. Si osserva che ii) puo' essere utilizzata per provare che un campo non
e' conservativo in un insieme; v. F(x,y)= (-y/x^2+y^2,x/(x^2+y^2)) nel suo dominio naturale.
Una condizione NECESSARIA affinche' un campo vettoriale appartenente a C^1(A) sia conservativo in A:
l'operatore differenziale rotore, campi irrotazionali in A.
  
Lezione n. 24 -- mer. 15 nov. 2023 (2 ore)

CAMPI VETTORIALI CONSERVATIVI e integrali di linea relativi (contin.). Come stabilire che un campo
vettoriale e' conservativo nel suo dominio (o in un sottoinsieme). La condizione di irrotazionalita'
e' NECESSARIA; calcolo del rotore di F(x,y,z)=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)(x,y,z). Domanda: "Il campo
G(x,y,z)=2/(x^2+y^2+z^2)(x,y,z) e' conservativo nel suo dominio o in un sottoinsieme proprio?" (Un
potenziale si individua `a occhio', in questo caso). 
La ricerca di tutti i potenziali di un campo conservativo. Nel caso precedente si ha che trovato un
potenziale f(x,y,z)+c, ogni altro potenziale e' della forma f+c, con c costante reale; questo
dipende dal fatto che R^3 privato di un punto e' un insieme connesso. (RICHIAMO) PROPOSIZIONE
(dim.): Una funzione (a valori reali) derivabile in un intervallo I, con derivata nulla in I, e' ivi
costante.
La tesi vale nel caso di funzioni differenziabili a gradiente nullo in domini connessi per archi;
l'assunto e' valido in ogni componente connessa (sottoinsieme massimale connesso): in tal caso, la
famiglia di potenziali del campo in D e' una famiglia a m parametri, se m sono le componenti
connesse di D.

Condizioni SUFFICIENTI affinche' un campo vettoriale sia conservativo. Insiemi STELLATI rispetto ad
un loro punto: definizione, esempi; un insieme convesso e' stellato. Il LEMMA di Poincare' (s.d.).
INSIEMI SEMPLICEMENTE CONNESSI in R^n, n=2,3: definizione intuitiva (quella formale richiederebbe
il concetto di curve omotope), esempi illustrativi; si sottolinea che l'insieme R^2 privato di un
punto p_0 non e' semplicemente connesso, mentre R^3\{p_0} lo e'. R^3 privato di una retta non e'
semplicemente connesso.

Lezione n. 25 -- gio. 16 nov. 2023 (3 ore)

CAMPI VETTORIALI CONSERVATIVI e integrali di linea relativi (contin. e conclusioni). PROPOSIZIONE:
Un campo vettoriale di classe C^1 e irrotazionale in un insieme A aperto semplicemente connesso di
R^n (n=2,3) e' conservativo (la dim. richiede il Teorema di Gauss-Green/il Teorema di Stokes, per
questo viene omessa). ESERCIZIO illustrativo: come determinare un potenziale di una campo
conservativo in A. 
NOTA: i) Si ponga attenzione al fatto che la Prop. enunciata fornisce una condizione sufficiente
inerente all'insieme A, che non e' necessaria: vi sono campi che sono conservativi in insiemi non
semplicemente connessi. ii) Notare se un campo vettoriale F risulta esprimibile come somma G+H, ove
ad es. G e' evidentemente conservativo in A; questo riduce i tempi di indagine e calcolo.

INVERTIBIITA' di TRASFORMAZIONI. Trasformazioni definite in sottoinsiemi di R^n, a valori in R^n.
Il caso n=1: La condizione T appartenente a C^1(I) e T'(x) diversa da 0 in I implica che T risulta
invertibile. L'implicazione non si estende al caso n>1: T(x,y) =(e^x cos y,e^x sin y) ha matrice
jacobiana non singolare ma non e' iniettiva in  in R^2. Verso il concetto di diffeomorfismo locale.
Diffeomorfismi globali e cambiamenti di variabili negli integrali multipli.

10^ Settimana   
   
Lezione n. 26 -- mar. 21 nov. 2023 (2 ore)

Alcune osservazioni generali sugli elaborati corretti (1^ prova in itinere).
  
Applicazioni/trasformazioni definite in sottoinsiemi di R^n, a valori in R^n (contin.). Si anticipa
il ruolo cruciale di trasformazioni invertibili opportunamente definite nel Teorema di cambiamento
di variabili negli integrali multipli. Definizione di DIFFEOMORFISMO. Le proprieta' (a) "T
appartiene a C^1(A)" e (b) "T e' invertibile" non implicano, in generale, (c) "T^{-1} appartiene
alla classe C^1(T(A)); cfr. T(x)=x^3, x in R. Se T e' un diffeomorfismo in A (cioe' valgono (a), (b)
e (c)), allora DT(x) e' non singolare per ogni x in A (dim.).
Diffeomorfismi locali: definizione, il TEOREMA dell'inversa locale (s.d.). (Il risultato puo' essere
dimostrato come conseguenza del Teorema delle funzioni implicite.)
Se valgono (a)-(b)-(c)', con (c)' "det DT(x) diverso da 0 per ogni x in A", allora T e' un
diffeomorfismo (globale) in A.
 
ESERCIZIO: la trasformazione F(x,y)=(xy,y/x) e' un diffeomorfismo nel suo dominio naturale?

Lezione n. 27 -- mer. 22 nov. 2023 (2 ore)

DIFFEOMORFISMI (contin.). ESERCIZIO ripreso dalla lezione precedente, con illustrazione dell'uso
della trasformazione (o della sua inversa) ai fini di un agile calcolo dell'area di un
parallelogramma curvilineo. 
ANTICIPAZIONI sul CALCOLO INTEGRALE per funzioni di piu' variabili: i) il concetto di insieme
misurabile secondo Peano-Jordan (e di misura o area) per insiemi limitati del piano; gli insiemi
misurabili sono quelli con frontiera trascurabile, cioe' di misura nulla; l'unione di un numero
finito di curve-grafico (di funzioni continue in un intervallo compatto) sono trascurabili in R^2;
ii) il concetto di funzione (f(x,y), limitata) integrabile su un insieme limitato misurabile e di
integrale; iii) proprieta' degli integrali; iv) classi di funzioni integrabili, il calcolo degli
integrali per mezzo del Teorema di Fubini-Tonelli (riduzione). 
Un risultato di rilievo: il Teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli. 

Lezione n. 28 -- gio. 23 nov. 2023 (3 ore)

CALCOLO INTEGRALE per FUNZIONI di PIU' VARIABILI. Una sinossi degli elementi fondamentali per la
teoria dell'integrazione di funzioni di piu' variabili (s.d.). Il contesto. I concetti di insieme
(limitato) misurabile e di insieme trascurabile; una caratterizzazione degli insiemi misurabili e
degli insiemi trascurabili, con esempi illustrativi in R^2 e in R^3. Funzioni integrabili su insiemi
misurabili: un assaggio della definizione, classi di funzioni integrabili. Proprieta'
dell'applicazione che associa alla funzione integranda l'integrale: linearita', positivita',
monotonia, additivita' rispetto all'insieme di integrazione.
Integrali doppi estesi a domini semplici rispetto ad un asse: formule di riduzione (s.d.), integrali
iterati. ESERCIZIO: calcolo della massa totale di una piastra sottile, assumendo nota la (funzione)
densita' di massa.  

CAMBIAMENTI di VARIABILI negli INTEGRALI MULTIPLI. Cambi delle variabili (indipendenti) sono
suggerite generalmente dalla geometria del dominio di integrazione. Le coordinate polari (sferiche)
sono naturali per il computo di integrali su domini a simmetria radiale (sferica) -- quali dischi
(palle), settori circolari, ecc. La trasformazione in coordinate polari non e' iniettiva su
[0,infty)x[0,2pi].

11^ Settimana   
   
Lezione n. 29 -- mar. 28 nov. 2023 (2 ore)

CAMBIAMENTI di VARIABILI negli INTEGRALI MULTIPLI (contin.). Discussione/quesiti inerenti alla
"lezione capovolta" su misura e integrazione (v. documenti in Moodle). Si richiama la Nota (in
Moodle) in cui si dimostra come varia l'area di un rettangolo a seguito dell'azione di applicazioni
lineari (e affini). Introduzione intuitiva ed enunciato (s.d.) del TEOREMA di cambiamento di
variabili negli integrali multipli. Coordinate polari (con enfasi sul fatto che restringere la
trasformazione all'aperto A:=(0,infty)x(0,2pi) affinche' essa sia un diffeomorfismo non cambia il
valore dell'integrale anche nel caso sia esteso ad un insieme che ha intersezione non vuota con il
semiasse positivo delle x). 
ESERCIZIO: calcolo dell'area di un petalo di quadrifoglio; una formula generale per il calcolo
dell'area di una regione piana racchiusa da un'arco di curva descritta da una legge polare.
 
Lezione n. 30 -- mer. 29 nov. 2023 (2 ore)

INTEGRALI TRIPLI. ESERCIZIO: calcolo del volume di un cono (non circolare ne' retto); il
ruolo del Teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli e del Teorema di
Fubini-Tonelli. Sottoinsiemi di R^3 semplici rispetto ad un asse, integrazione (cosiddetta)
per fili, formula di riduzione relativa. ESERCIZIO: al fine di calcolare un integrale triplo,
si determina la proiezione dell'insieme (di integrazione) su un piano coordinato.   

Lezione n. 31 -- gio. 30 nov. 2023 (2 ore)

IL CALCOLO degli INTEGRALI (contin.). Conclusione dell'esercizio (v. lezione precedente). Formule di
riduzione per il calcolo di integrali tripli: integrazione (cosiddetta) per strati. COMPITO per
casa: (ri)calcolare l'integrale di cui sopra integrando per strati (anziche' per fili).

Integrale esteso a domini piani simmetrici rispetto ad un asse, di funzioni con proprieta' di
simmetria/antisimmetria quali, rispettivamente, f(-x,y)=f(x,y) oppure f(-x,y)=-f(x,y) (dim.).

CHIARIMENTO (con dim.): Se E e' un insieme misurabile, la misura di E corrisponde all'integrale su
E della funzione pari a 1. L'integrale di funzioni costanti.

INTEGRALI MULTIPLI GENERALIZZATI (cenni). L'integrale (i) di funzioni limitate su E non limitato,
oppure (ii) esteso ad un dominio E limitato (misurabile), di funzioni non limitate -- ad es. in un
intorno di un punto. Esempi illustrativi (paradigmatici) rispettivi: l'integrale della funzione di
Gauss su R^n, l'integrale delle funzioni ||x||^{-alfa} in intorni (bucati) di x_0= 0 (alfa>0). I
valori soglia di alfa ai fini della convergenza dell'integrale generalizzato.
Calcolo dell'integrale della gaussiana in R^2, deduzione del valore dell'integrale su R e infine
su R^n (con n> 0 intero qualsiasi). (Va recuperata la definizione formale, nella quale vengono
precisate le caratteristiche delle successioni di insiemi `approssimanti' ammissibili; v. il
concetto di successione di insiemi che `invadono' E.)

12^ Settimana   
   
Lezione n. 32 -- mar. 5 dic. 2023 (2 ore)

SUPERFICI in FORMA PARAMETRICA. Richiami: il sostantivo "superficie" e' stato utilzzato per indicare
(i) grafici di funzioni (a valori reali) di due variabili (continue) in opportuni sottoinsiemi di
R^2, e anche (ii) insiemi di livello regolari di funzioni di tre variabili (il Teorema delle
funzioni implicite garantisce che tali insiemi sono localmente -- cioe' in un intorno di ogni loro
punto -- una superficie cartesiana (cioe' del tipo in (i)).
Introduzione alle superfici parametriche: definizione come coppia (S,r), con r: D ---> R^3 continua,
e S=r(D) (D sottoinsieme di R^2 opportuno), equazioni parametriche; la superficie spferica come
esempio illustrativo. Superfici semplici. Linee coordinate. Superfici regolari, equazione del piano
tangente (e un vettore normale) a S in un suo punto.

Lezione n. 33 -- mer. 6 dic. 2023 (2 ore)

SUPERFICI PARAMETRICHE (contin.). Il grafico di una funzione f=f(x,y) appartenente a C^1(D) e' una
superficie regolare (dim.). Una superficie regolare e' localmente il grafico di una funzione di due
variabili, di classe C^1 (dim.).
 
Come definire l'AREA di una superficie. (Si sottolinea che un'argomentazione analoga -- mutatis
mutandis -- a quella utilizzata per la definizione di curva rettificabile (per mezzo di poligonali
inscritte) risulta inefficace, che' la procedura puo' risultare non convergente anche nel caso di
superfici elementari (v. l'esempio di Schwarz). Introduzione intuitiva alla formula dell'area di
una superficie. (L'area del parallelogramma generato da due vettori non paralleli y e w e' pari a
||yxw||, ove il simbolo x indica (qui) il prodotto vettoriale.)
Area di una superficie cartesiana regolare. Esempio/esercizio: si verifica che l'area di una
superficie sferica di raggio R e' 4 pi R^2. Integrali superficiali, integrali di flusso.

Lezione n. 34 -- gio. 7 dic. 2023 (3 ore)

SUPERFICI PARAMETRICHE (contin.). Area di una superficie parametrica regolare, eventualmente
cartesiana; l'elemento infinitesimale di area (nel caso generale e in quello specifico). Un
esercizio. 
Superfici di rotazione: equazioni parametriche, data la rappresentazione della curva piana la cui
rotazione genera la superficie; regolarita', area e Teorema di Guldino.
Superfici orientabili (def. formale), superfici orientate, integrali di flusso; un esercizio.

13^ Settimana   
   
Lezione n. 35 -- mar. 12 dic. 2023 (2 ore)

SUCCESSIONI e SERIE di FUNZIONI. La questione dell'approssimazione di funzioni (a valori reali) di
una variabile. Convergenza puntuale di una successione di funzioni (a valori reali) definite in un
sottoinsieme di R: definizione, un esempio (la successione f_n(x)=x^n in [0,1], con calcolo del
limite puntuale in [0,1]). Si osserva che la continuita' del polinomio x^n non e' preservata nel
passaggio al limite.
Cambio di prospettiva: le funzioni come elementi di uno spazio in cui e' definita una distanza o
metrica. Spazi metrici: definizione formale, proprieta' della metrica, esempi. Successioni a valori
in spazi metrici: convergenza dettata dalla metrica; metrica lagrangiana (o della convergenza
uniforme). Raffronto tra le due definizioni (convergenza puntuale vs convergenza uniforme).

Convergenza puntuale e convergenza uniforme per serie di funzioni. L'impossibilita' di provare (o
confutare) la convergenza uniforme di una serie (in un qualche intervallo) mediante la definizione,
in assenza di leggi esplicite per la successione delle somme parziali e la somma della serie. (Si
richiamano i pochi casi di serie numeriche la cui somma sia computabile: serie telescopiche, serie
geometrica.)

Il caso delle serie di potenze (v. Note in Moodle). Esistono risultati generali sulla convergenza
delle serie di potenze (anche complesse). Il fatto che la somma di una serie di potenze con raggio
di convergenza R>0 sia una funzione di classe C^infty costituisce un limite degli sviluppi in serie
di Taylor. La ricerca di sviluppi in serie per l'approssimazione di funzioni (solo) continue o che
presentano punti di discontinuita' (---> serie di Fourier).

Lezione n. 36 -- mer. 13 dic. 2023 (2 ore)

SUCCESSIONI e SERIE di FUNZIONI (contin.). Si richiama la definizione di convergenza puntuale per
successioni di funzioni. Esempio illustrativo: calcolo del limite puntuale f(x) della successione
f_n(x) che vale n in [0,1/n] e 1/x in [1/n,1]; f e' definita in (0,1]. La convergenza puntuale non
preserva proprieta' quali la limitatezza (v. es. di cui sopra) e/o la continuita' (v. es. lezione
precedente). Implicazioni della convergenza uniforme (v. testo di riferimento e Note in Moodle); 
integrazione per serie o derivazione per serie. Il criterio di Weierstrass (s.d.) per la convergenza
uniforme di una serie di funzioni.

SERIE di FOURIER. Introduzione: funzioni periodiche di periodo T: definizione, altri periodi,
periodo minimo. Polinomi trigonometrici, serie trigonometriche. Non e' restrittivo assumere T=2pi.
Prolungamenti periodici di funzioni definite in [0,2pi). Si osserva che il prolungamento
2pi-periodico di una funzione continua in [-pi,pi) non e' in generale una funzione continua.
Coefficienti di Fourier, serie di Fourier associata ad una funzione 2pi-periodica. Il caso di
funzioni pari o dispari: sviluppi in serie di Fourier (rispettivamente) di soli coseni o di soli
seni.
Funzioni continue a tratti: definizione, un esempio; funzioni regolari a tratti (v. testo di
riferimento). Convergenza delle serie di Fourier: vi sono criteri rispettivamente per la convergenza
puntuale, uniforme, in media quadratica (v. Teorema 7.14 e i Teoremi 7.9 e 7.10 nel testo di
riferimento, oltre a eventuali integrazioni in Moodle).

(n. 37) Discussione/Esercitazione/Conclusioni -- gio. 14 dic. 2023 (2,5 ore)

1. Discussione di un quesito (n. 11 del foglio 6; v. Moodle): calcolo di un integrale triplo, che
richiede un opportuno cambio di variabili. 2. (Digressione) 2a. L'integrale I_n da 0 a pi/2 di
sin^n(x): successioni definite per ricorrenza, calcolo esplicito di I_n. 2b. Si mostra che sin^3(x)
e' esprimibile come combinazione lineare di sin(x) e sin(3x), cioe' e' un polinomio trigonometrico.
3. Lettura e discussione dei quesiti proposti nella 2^ prova in itinere dell'AA precedente. 4.
(Integrazione) Giustificazone euristica della forma dei coefficienti di Fourier.