AA 2023-2024 Corso di Laurea Magistrale in Matematica (Unifi) Insegnamento: CALCOLO delle VARIAZIONI ed EQUAZIONI a DERIVATE PARZIALI Docenti: Francesca Bucci, Giuliano Lazzaroni DIARIO delle LEZIONI 1^ Settimana Mar. 27 feb. 2024 (2 ore, 20') -- Lazzaroni G. Introduzione al corso. Introduzione al Calcolo delle Variazioni. Funzionali integrali, problemi unidimensionali scalari e vettoriali. Spazi di funzioni ammissibili, vincoli. Esempi classici: brachistocrona, problema di Fermat sulla rifrazione ottica, catenaria, problema di Newton sulla resistenza dell'aria, problema isoperimetrico. Cenno ai problemi multidimensionali, integrale di Dirichlet. [A, cap. 1] Mer. 28 feb. 2024 (2 ore) -- Lazzaroni G. Derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange in un esempio modello. Lemma fondamentale del Calcolo delle Variazioni. Lemma di Du Bois-Reymond. [A, 2.1-3] Ven. 1 mar. 2024 (2 ore) -- Lazzaroni G. Spazi di funzioni C^1, C^1 a tratti e topologie. Minimi assoluti, deboli, forti. Derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange in forma debole e forte. Casi particolari: Lagrangiana dipendente dalla velocita' e dal tempo; problemi autonomi; cenno alla seconda equazione di Eulero-Lagrange per i funzionali autonomi. Applicazione alla dinamica dei punti materiali. [A, 2.4-8] 2^ Settimana Mar. 5 mar. 2024 (2 ore) -- Bucci F. Introduzione ai problemi di controllo ottimale, al metodo della (cosiddetta) programmazione dinamica e all'equazione di Bellman (equazione a derivate parziali associata ad un problema di ottimalita'). La ricerca del minimo di un funzionale integrale associato ad un sistema (differenziale) di controllo. Cos'e' la teoria matematica del controllo, due grandi questioni ad essa inerenti: controllabilita', controllo ottimale. Controllabilita': definizione e caratterizzazione nel caso di sistemi lineari in R^n (condizione di Kalman). Lo iato tra la condizione puramente algebrica del contesto finito-dimensionale e le (difficili) disuguaglianze con le quali occorre cimentarsi al fine di stabilire la controllabilita' di equazioni a derivate parziali (stime di regolarita' cosiddetta "nascosta" (da J-L. Lions)). Controllabilita' esatta dell'equazione delle onde: una stima dal basso per la regolarita' delle tracce. Mer. 6 mar. 2024 (2 ore) -- Bucci F. Controllo ottimale per sistemi nonlineari in R^n. Programmazione dinamica: introduzione euristica all'equazione di Bellman. Teorema (con dim.): l'esistenza di una soluzione dell'equazione di Bellman assicura l'esistenza di una strategia ottimale (in forma di ciclo chiuso). Un caso di rilievo: controllo lineare quadratico. L'equazione di Bellman si riduce ad un'equazione quadratica (eq. di Riccati). ** Ven. 8 mar. 2024 (0 ore) -- Lazzaroni G. Edificio chiuso (causa sciopero receptionist), lezione cancellata; recuperi (da definire e concordare) previsti nella/e settimana/e successiva/e. 3^ Settimana Mar. 12 mar. 2024 (2 ore) -- Lazzaroni G. Minimi Lipschitziani. Richiami sulle funzioni lipschitziane e assolutamente continue in dimensione uno. Norme su tali spazi. Funzioni di Caratheodory. Derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange per minimi lipschitziani. Cenno ai risultati di maggiore regolarita'. Esempio del doppio pozzo. [A, cap. 11; 3.2] Mer. 13 mar. 2024 (2 ore) -- Lazzaroni G. Minimi assolutamente continui. Derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange per minimi assolutamente continui. Risultati di maggiore regolarita': da assolutamente continuo a Lipschitz; da Lipschitz a C^1. Cenni al fenomeno di Lavrentiev. [A, cap. 12] Ven. 15 mar. 2024 (2 ore, 20') -- Lazzaroni G. Spazi di Sobolev in dimensione uno. Derivate deboli. Minimi in spazi di Sobolev. Derivazione delle equazioni di Eulero-Lagrange per minimi di Sobolev in dimensione uno. Definizione e principali proprieta' degli spazi di Sobolev in piu' dimensioni. Insiemi di classe C^m. Teorema della divergenza e integrazione per parti. Gradiente in senso debole. Esempi di funzioni di Sobolev discontinue. Spazi di funzioni nulle al bordo nel senso di Sobolev; condizioni al bordo. Norme di Sobolev e norme equivalenti. Prodotti scalari in H^1 e H^1_0. Disuguaglianza di Poincare' e sue conseguenze. Dimostrazione di una disuguaglianza di Wirtinger in dimensione uno. [A, 13.1, 7.1] 4^ Settimana Mar. 19 mar. 2024 (2 ore) -- Bucci F. Recupero della tematica introdotta nella lezione del 5 mar. (in assenza della studente, che ha ripreso la frequenza successivamente). Introduzione al controllo ottimale per sistemi non lineari in dimensione finita: la ricerca del minimo di un funzionale integrale associato ad un sistema differenziale y'=f(y,u), ove u e' una funzione che varia in una classe opportuna (controlli ammissibili). Problemi in orizzonte (di tempo) finito, problemi in orizzonte infinito. Controlli a ciclo aperto o chiuso (open- vs closed-loop controls). La teoria matematica del controllo. La proprieta' di controllabilita' quale altro grande tema: definizione, la necessita' di introdurre nozioni quali la controllabilita' a zero o approssimata nel caso di equazioni a derivate parziali (EDP). Lo iato tra la caratterizzazione puramente algebrica della controllabilita' di sistemi in R^n (Kalman, anni '60 del secolo scorso) e le disuguaglianze riguardanti le soluzioni di problemi al contorno e/o ai valori iniziali per EDP (stime di regolarita' cosiddetta nascosta, da J-L. Lions). Differenti approcci allo studio di problemi di controllo ottimale: (i) il metodo della (cosiddetta) programmazione dinamica, con la buona positura dell'equazione di Bellman quale chiave di volta per la sintesi del controllo ottimale in forma di ciclo chiuso; (ii) controlli a ciclo aperto, condizioni di ottimalita' (v. il Principio del massimo di Pontrjagin). Mer. 20 mar. 2024 (2 ore) -- Bucci F. Controllo ottimale per sistemi lineari in R^n (contin.). Introduzione/deduzione euristica dell'equazione di Bellman. TEOREMA (enunciato): l'esistenza di una soluzione dell'equazione di Bellman assicura l'esistenza di una strategia ottimale (in forma di ciclo chiuso). Un caso di rilievo: controllo lineare quadratico. Ven. 22 mar. 2024 (2 ore) -- Bucci F. Controllo ottimale in orizzonte di tempo finito, l'equazione di Bellman (contin.). Il caso lineare quadratico: dall'equazione di Bellman all'equazione differenziale di Riccati (con i problemi di Cauchy associati); giustificazione del fatto che in questo caso la funzione valore e' una forma quadratica. Dim. del TEOREMA che fornisce una condizione sufficiente (esistenza di una soluzione dell'equazione di Bellman) per la sintesi di un controllo ottimale in forma di ciclo chiuso; v. [Z, Part III, par. 1.2, Theorem 1.1]. Anticipazioni sulla prospettiva analitico-funzionale per lo studio di problemi al contorno per EDP lineari: sistemi differenziali lineari in spazi di Banach X, formula di rappresentazione per soluzioni in senso generalizzato (mild); il concetto di continuita' *forte* per operatori lineari limitati S_t dipendenti da un parametro t >=0 (vs la continuita' della matrice esponenziale e^{tA}). 5^ Settimana Mar. 26 mar. 2024 (2 ore) -- Lazzaroni G. Metodi diretti. Problema astratto di minimizzazione. Semicontinuita' inferiore e semicontinuita' inferiore sequenziale, principali proprieta'. Cenni alla topologia sequenziale. Compattezza e compattezza sequenziale. Varie formulazioni del teorema di Weierstrass. Coercivita'. Cenni alla topologia debole negli spazi di Sobolev riflessivi. Teorema di compattezza e conseguenze. Mer. 27 mar. 2024 (2 ore, 20') -- Lazzaroni G. Teorema di Weierstrass in spazi di Banach e applicazione agli spazi di Sobolev. Esistenza di minimi in spazi di Sobolev. Applicazione all'integrale di Dirichlet. Esempi di non esistenza di minimi. [A, 13.2-3] ** Vacanze Pasquali: dal 28 marzo 2024 (giov.) al 3 aprile 2024 (merc.) compresi. 6^ Settimana Mar. 9 apr. 2024 (2 ore, 20') -- Lazzaroni G. Funzionali convessi e loro proprieta'. Differenziabilita' secondo Gateaux. Parziale convessita'. Lagrangiane separabili. [A, 5.3-4] Teorema sulla necessita' della convessita' per la semicontinuita' inferiore nel caso unidimensionale e sua dimostrazione. [C, 2.19] Mer. 10 apr. 2024 (2 ore, 20') -- Lazzaroni G. Lemma di Riemann-Lebesgue e sua dimostrazione; conseguenze sulla convergenza debole di funzioni oscillanti. Teoremi di Tonelli (semicontinuita' ed esistenza) e loro dimostrazione. [A, cap. 14] Ven. 12 apr. 2024 (2 ore, 20') -- Lazzaroni G. Problemi multidimensionali vettoriali. Funzionale dell'elasticita' finita. Gradiente di deformazione. Calcolo della variazione prima e delle equazioni di Eulero-Lagrange. Prodotto scalare tra matrici. Invarianza per rotazioni e confronto con l'isotropia. Preservazione dell'orientazione e materiali incomprimibili. Incompatibilita' tra le proprieta' dell'elasticita' finita e la convessita'. Cenno ai funzionali dell'elasticita' lineare. Quasiconvessita': definizione, motivazione, osservazioni. Cenno ai risultati basati sulla quasiconvessita'. Relazioni tra convessita' e quasiconvessita'. Densita' di energie dipendenti dai minori del gradiente di deformazione e policonvessita'. [DM] 7^ Settimana Mar. 16 apr. 2024 (2 ore) -- Bucci F. Prospettiva analitico-funzionale per lo studio di equazioni a derivate parziali (EDP) di evoluzione lineari (e semilineari). Rappresentazione di problemi al contorno e ai valori iniziali di EDP lineari come problemi di Cauchy per sistemi differenziali y'=Ay+f(t) in spazi di Banach. Esempi illustrativi: (a) L'equazione del calore in un dominio limitato di R^n, con condizione al bordo di Dirichlet (si richiamano le condizioni di Neumann e Robin). Principio di sovrapposizione. I due casi di condizione al bordo omogenea e non omogenea, il metodo di Fattorini-Balakrishnan. Interpretazione della sorgente e/o del dato al bordo come un'azione di controllo. (b) Il problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione delle onde in un dominio limitato di R^n. La scelta di uno spazio `naturale', descrizione dell'operatore A. Elementi che verranno introdotti, alcuni quali prerequisiti: (i) operatori (lineari, non limitati) chiusi, operatori chiudibili; (ii) integrale di Bochner (per funzioni a valori in uno spazio di Banach, definite in un intervallo); (iii) teoria dei semigruppi di operatori. Mer. 17 apr. 2024 (2 ore) -- Bucci F. Teoria degli operatori. (Compendio minimale) Operatori lineari in spazi di Banach: operatori lineari limitati (continui), chiusi, chiudibili (o prechiusi). Caratterizzazioni rispettive di operatori chiusi o chiudibili. Esempi illustrativi: operatori limitati, chiusi, chiudibili, non chiudibili; v. ad esempio le Lecture Notes [Lu_1]. Ven. 18 apr. 2024 (2 ore) -- Bucci F. Introduzione ai semigruppi di operatori. Il problema di Cauchy y'=Ay, y(0)=y_0, con A operatore lineare limitato da uno spazio di Banach X in se', e y_0 appartiene a X. L'operatore esponenziale e^{tA}: definizione, proprieta' principali dell'applicazione t ---> e^{tA}; A e' la derivata di e^{tA} in 0. Semigruppi di operatori (ad un parametro) S_t, con t non negativo. Esempio illustrativo: il semigruppo delle traslazioni a sinistra nello spazio C_{ub}([0,infty)) verifica la proprieta' di semigruppo ma non e' (uniformemente) continuo. Semigruppi fortemente continui. Esercizio: esaminare di nuovo il semigruppo delle traslazioni nello spazio L^p(R). Prime proprieta': la proprieta' di media (essa richiede che si introduca il concetto di integrale di funzioni a valori in spazi di Banach). 8^ Settimana Mar. 23 apr. 2024 (2 ore) -- Bucci F. INTEGRALE di BOCHNER per funzioni a valori in spazi di Banach X. Funzioni semplici, definizione di integrale di una funzione semplice. Funzioni f: R ---> X misurabili, funzioni integrabili; la definizione e' ben posta (cioe' non dipende dalla successione di funzioni semplici coinvolta (v. Acq_2]). Estensione della definizione al caso di f: I ---> X. Criterio di integrabilita' (s.d.). Due PROPOSIZIONI: 1. L'azione di un operatore lineare e limitato A da X in Y sull'integrale di f. 2. Il caso in cui A e' (non limitato e) chiuso (con guida alla dimostrazione). [Prosieguo (da discutere in lezioni successive): Lo spazio L^1(I,X), gli spazi L^p(I,X), con p compreso tra 1 e infty (infty incluso). Lo spazio di Sobolev W^{1,p}(a,b;X) come dominio della chiusura L dell'operatore "derivata prima" L_0: C^1([a,b],X) ---> L^p(a,b;X). PROPOSIZIONE (dim.): W^{1,p}(a,b;X) e' contenuto in C([a,b];X), e vale la formula fondamentale del calcolo integrale. Derivate deboli e derivate forti. Spazi di Sobolev frazionari.] [L2, Appendix A], [Ac_2]. Mer. 24 apr. 2024 (0 ore) Accordata sospensione della lezione per motivi personali della studente; recupero da definire (e concordare) Ven. 26 apr. 2024 (0 ore) Chiusura Ateneo 9^ Settimana Mar. 30 apr. 2024 (2 ore) -- Bucci F. INTEGRALE di BOCHNER (contin.). Dim. della PROPOSIZIONE: W^{1,p}(a,b;X) e' contenuto in C([a,b];X), e vale la formula fondamentale del calcolo integrale. Si ritorna alla Teoria dei semigruppi di operatori. Caratterizzazione dei semigruppi uniformemente continui (s.d.). Prime proprieta': media integrale, proprieta' di media (dim.). Proprieta' asintotiche dei semigruppi (cenni). Mer. 1 mag. 2024 (0 ore) Festa nazionale Ven. 3 mag. 2024 (2 ore) -- Bucci F. Teoria dei semigruppi (contin.). PROPOSIZIONE (dim.) inerente la crescita esponenziale della norma di un semigruppo S_t (la dim. richiede la conoscenza del Teorema di Banach-Steinhaus o Principio dell'uniforme limitatezza, per il quale si rimanda ad un qualsiasi testo di Analisi Funzionale; parimenti, v. ad es. [A_3, Teorema 10.2.1]). Il "tipo" o "sharp growth bound" omega_0 di un semigruppo S_t in X: definizione, stima dal basso per la norma di S_t; stime dall'alto (s.d.). Esempio illustrativo: il semigruppo S_t delle traslazioni a destra in L^p(R): calcolo di omega_0. (Per ESERCIZIO: calcolo di omega_0 nel caso in cui sia X=L^p(0,T), con S_t traslazione a dx definita in modo opportuno.) Semigruppi f.c. uniformemente limitati, semigruppi di contrazione. Il generatore infinitesimale di un semigruppo f.c. in X: definizione, proprieta' (il generatore commuta col semigruppo se questo agisce su elementi del dominio (del generatore)). Esempio illustrativo: il generatore A del semigruppo delle traslazioni a sx in C_{ub}([0,infty))); si puo' provare che D(A)=C^1_{ub}([0,infty))). 10^ Settimana 7 mag. 2024 (0 ore) -- Bucci F. Lezione sospesa su indicazione dell'Ateneo (Career Day); recuperi effettuati nelle giornate 8 e 10 mag. 2024. Mer. 8 mag. 2024 (3 ore) -- Bucci F. Teoria dei semigruppi (contin.). Dati un semigruppo S_t f.c. in uno spazio di Banach X, e il suo generatore A, si elencano alcune proprieta' di rilievo inerenti (i) la funzione integrale di S_t x (dim.), (ii) l'applicazione t ---> S_t x, (iii) l'integrale da tau a t di AS_sx, quando x appartiene a D(A). Soluzioni (in senso stretto) del problema di Cauchy y'=Ay, y(0)=y_0, quando y_0 appartiene a D(A). ESERCIZIO: Dato un semigruppo S_t in X, con generatore A, dimostrare che A+cI genera T_t=e^{ct}S_t (per ogni c reale), e cA genera S_{ct} (per ogni c>0). TEOREMA (dim.): Condizioni necessarie affinche' A sia il generatore di un semigruppo f.c. in X; il generatore determina univocamente il semigruppo. Semigruppi e PROPRIETA' SPETTRALI del generatore. TEOREMA (s.d.) sulla rappresentazione integrale dell'operatore risolvente del generatore di un semigruppo. Un primo importante risultato di generazione: semigruppi di contrazione, il TEOREMA di Hille-Yosida (s.d.). La dimostrazione del Teorema di H-Y e' costruttiva. DIGRESSIONE: Teoria spettrale degli operatori lineari, concetti fondanti. Punti regolari di un operatore lineare A in uno spazio di Banach complesso (v. ad es. [Ac_3, Cap. 11] per lo spazio "complessificato"); insieme risolvente di A, spettro di A. Spettro puntuale, continuo, discreto; autovalori e autovettori. ESERCIZIO: Provare che se l'insieme risolvente di A e' non vuoto, A e' un operatore chiuso. TEOREMA (s.d.): Se A e' un operatore (lineare) chiuso, l'insieme risolvente e' aperto; di conseguenza, lo spettro e' un insieme chiuso; v. ad es. [Ac_3, Cap. 11]. Ven. 10 mag. 2024 (3 ore) -- Bucci F. Analisi spettrale (contin.). Esempi illustrativi: si calcola lo spettro e si determina l'insieme risolvente dell'operatore "derivata prima" in C([a,b]), nel caso di due domini diversi. Applicazioni del Teorema di Hille-Yosida. Studio del problema di Cauchy-Dirichlet per un'equazione di diffusione lineare in Q=(0,infty)x(0,pi), con dato iniziale in C_0([0,pi]): riduzione ad un problema di Cauchy in uno spazio di Banach, analisi spettrale dell'operatore A che descrive la dinamica, stima dell'operatore risolvente. RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI [Ac_1] Paolo Acquistapace, Appunti di Teoria dei Semigruppi (2022); https://people.dm.unipi.it/acquistp/teosg.pdf [Ac_2] Paolo Acquistapace, Appunti di Analisi convessa (2017); http://people.dm.unipi.it/acquistp/anacon.pdf {Ac_3] Paolo Acquistapace, Appunti di Analisi funzionale (2022); https://people.dm.unipi.it/acquistp/anafun.pdf [A] C. Mantegazza, F. Angrisani, G. Ascione, C. Leone, Appunti di Calcolo delle Variazioni, stampato in proprio tramite Amazon. [C] L. Cesari, Optimization - Theory and applications, Springer, 1983. [DM] B. Dacorogna, Direct Methods in the Calculus of Variations, Springer, 2007. [Lu_1] Alessandra Lunardi, Introduzione alla teoria dei semigruppi, Lecture Notes, 2014-2015, in: https://people.dmi.unipr.it/alessandra.lunardi/ seguendo le voci Pubblicazioni ---> Lecture Notes. [Z] Jerzy Zabczyk, Mathematical control theory. An introduction, Second edition, Birkhauser/ Springer, Cham, 2020, xxvi+336 pp.