AA 2019/20 Corso di Laurea triennale in Fisica e Astrofisica Insegnamento: ANALISI MATEMATICA II Docente: Francesca Bucci REGISTRO delle LEZIONI 1^ Settimana Lun. 23 Sett. 2019 (3 ore) Presentazione del corso "Analisi Matematica II". Informazioni pratiche: orario delle lezioni, ricevimento studenti, piattaforma Moodle. Contenuti, prerequisiti, testo di riferimento e altri testi consigliati (cfr. la "Scheda personale" della docente nel sito di UniFI, alla voce "Insegnamenti"). Organizzazione delle lezioni. Registro in rete (accessibile non solo dalla piattaforma Moodle ma anche direttamente dal sito della docente http://www.dma.unifi.it/~fbucci/ alla voce Teaching Activity). Motivazioni del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di piu' variabili, a valori reali o vettoriali, con svariati esempi specifici: funzioni definite in un intervallo a valori in R^n, n>1 (curve); problemi di ottimizzazione per funzioni di piu' variabili (a valori reali), con o senza vincoli; massa di un filo materiale; volumi e baricentri di figura; campi di forze ed applicazioni fisico-meccaniche. Campo di velocita' di un fluido, equazione di Navier-Stokes ed equazione di Eulero. Lo spazio R^n: strutture lineare e metrica. Richiami: definizione di spazio vettoriale X sul campo dei numeri reali R o dei numeri complessi C. Spazi con prodotto scalare (o pre-hilbertiani), proprieta' del prodotto scalare. Esempi illustrativi: R^n, C^n, l^2, C^0([a,b]), ecc. Per esercizio: verifiche delle proprieta' del prodotto scalare nei casi illustrati. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (dimostrata). Spazi vettoriali reali (o complessi) normati: definizione, proprieta' della norma. Uno spazio X dotato di prodotto scalare e' normato, con la norma indotta dal prodotto scalare. Non tutti gli spazi normati sono pre-hilbertiani (dim. procrastinata). Mer. 25 Sett. 2019 (2 ore) Lo spazio R^n: strutture lineare e metrica (contin.). Spazi normati (generali): definizione, proprieta' della norma. Esempi illustrativi: R^n e C^n con la norma euclidea, altre norme in R^n; lo spazio l^2; lo spazio delle funzioni limitate in un intervallo I, con la norma lagrangiana ||f||=sup_I |f(x)| (verifiche per esercizio). Norma indotta da un prodotto scalare. Identita' del parallelogramma. Proposizione: caratterizzazione degli spazi normati la cui norma e' indotta da un prodotto scalare (dim. per esercizio). Uno spazio normato che non e' pre-hilbertiano (esempio di non validita' dell'identita' del parallelogramma). Spazi metrici (generali): metrica o distanza, definizione e proprieta'; disuguaglianza triangolare, interpretazione geometrica. Esempi illustrativi: metrica indotta da una norma, metrica discreta, altre metriche in R. Intorni sferici (palle): definizione ed esempi illustrativi. Palle in R^n (per n=1,2,3) con la metrica euclidea. La metrica fornisce una topologia. Punti interni di un sottoinsieme D di uno spazio metrico (X,d). Ven. 27 Sett. 2019 (2 ore) Spazi metrici (contin.) Punti interni, esterni, di frontiera per un sottoinsieme D di uno spazio metrico. Insiemi aperti, insiemi chiusi; esempi illustrativi in R^n. Chiusura di un insieme. Insiemi limitati: definizione, e discussione di due casi (l'insieme E_1 dei punti (x,y) di R^2 tali che x^4+y^4 e' minore o uguale a 1; l'insieme E_2 dei punti (x,y) di R^2 tali che x^4+y^4 -3xy e' minore o uguale a 2). Punti di accumulazione per un sottoinsieme E di uno spazio metrico, l'insieme derivato (E'); punti isolati di E, insiemi discreti. Esempi illustrativi. Esistono insiemi i cui punti sono tutti isolati, che non sono discreti. Proposizione: caratterizzazione degli insiemi chiusi (dim. procrastinata). Spazi con prodotto scalare (contin.): vettori ortogonali, angolo tra due vettori (non banali). (Si vedano inoltre il Teorema di Carnot ed il Teorema di Pitagora.) Per esercizio: dato lo spazio X=C([-pi,pi] con il prodotto interno definito dall'integrale su [-pi,pi] di f(x)g(x), discutere l'ortogonalita' delle funzioni cos(mx) e sin(nx), al variare di n,m nell'insieme dei numeri interi positivi. 2^ Settimana Lun. 30 Sett. 2019 (3 ore) Spazi metrici, topologia indotta dalla metrica (contin.). Successioni in uno spazio metrico, limiti di successioni. Esempio illustrativo: la successione f_n(x)=x^n non converge al limite puntuale f(x) nello spazio (X,d) delle funzioni limitate in I=[0,1] con la metrica lagrangiana (dell'estremo superiore in I). Applicazioni tra spazi metrici (X,d_X) e (Y,d_Y). Dato D contenuto in X e data f: D ---> Y, definizioni di "f ha limite l, per x che tende a x_0" (con x_0 di accumulazione per D) e "f e' continua in x_0" (con x_0 appartenente a D). Un caso di rilievo: X=R e Y=R^n, con la metrica euclidea; applicazioni definite in un intervallo I di R, a valori in R^n. Proposizione: Un'applicazione r: I ---> R^n e' continua in t_0 appartenente ad I se e solo se lo sono tutte le sue componenti (dim. per esercizio). La derivabilita' di r: I ---> R^n in t_0 e' equivalente alla derivabilita' di tutte le componenti r_i (in t_0), i=1,2,...,n. Derivate di ordine k. Integrale in [a,b] di applicazioni r a valori in R^n: definizione, stima della norma dell'integrale di r in [a,b] (dim. per esercizio, oppure cfr. "Integrazione ecc." in Moodle). Curve: definizione, primi esempi. Sostegno della curva, rappresentazione parametrica, equazioni parametriche. L'ordinamento dei numeri reali induce un senso di percorrenza del sostegno. Curve distinte con lo stesso sostegno. Curve piane: curve cartesiane, curve polari, esempi illustrativi. Esercizio: dedurre una rappresentazione parametrica della curva descritta dall'equazione x(x^2+y^2)=ay^2 (a>0). Mer. 2 Ott. 2019 (2 ore) Curve (contin.). Rappresentazione parametrica del segmento congiungente due punti P_1 e P_2, orientato da P_1 a P_2, e della retta passante per essi. Curve chiuse, curve semplici, esempi illustrativi. Il sito "mathcurve". Come dedurre il sostegno di una curva piana da una sua rappresentazione parametrica (cfr. Moodle, svolgimento 1^ prova in itinere AA 2018/19). Vettore derivato, velocita', curve di classe C^1. Curve regolari: definizione, vettori e versori tangenti; esempi illlustrativi. Esercizio: discussione della regolarita' nel caso di r(t)=(t^4,t^5), con t in [-1,1]; altre parametrizzazioni, sostegno. Esercizio (contin. e conclusione): si deduce una rappresentazione polare e poi una parametrica della curva descritta dall'equazione x(x^2+y^2)=ay^2, a>0 (cissoide di Diocle); analisi della regolarita' (per esercizio). Ven. 4 Ott. 2019 (2 ore) Curve (contin.). Altri esempi di curve, curve nello spazio. Elica cilindrica. Esercizio: si deduce una rappresentazione parametrica della curva ottenuta dall'intersezione del paraboloide di equazione z=x^2+y^2 con il piano di equazione x+y+z=1. Curve cartesiane e curve polari regolari. Il concetto di lunghezza di un arco di curva: procedura di approssimazione, definizione. La continuita' della parametrizzazione r in [a,b] non garantisce la rettificabilita'. Una curva cartesiana non rettificabile: il grafico della funzione definita da f(x)= x sin(pi/(2x)) in (0,1], f(0)=0 (per esercizio: si considerino le suddivisioni D_n={0, 1/(2n+1), 1/(2n-1), ..., 1/5, 1/3, 1} e le poligonali corrispondenti). Teorema: Se r appartiene a C^1([a,b]), la curva (gamma =r([a,b])) e' rettificabile, con lunghezza pari all'integrale di ||r'(t)|| in [a,b] (dim. da leggere e discutere). Curve regolari a tratti: definizione, esempi. Esercizio: calcolo della lunghezza della curva astroide (e per casa: giustificarne il sostegno). 3^ Settimana Lun. 7 Ott. 2019 (3 ore) Curve (contin. e conclusione). Esercizio: calcolo della lunghezza di un arco di catenaria. Cambi di parametro, curve equivalenti -- con stessa orientazione od orientazione opposta. Esempio: due parametrizzazioni equivalenti della cissoide di Diocle. Se due curve equivalenti sono regolari, il cambiamento di parametro e' un diffeomorfismo (cfr. enunciato e dim. del Lemma nel documento "Integrazioni/Complementi su Curve ecc." in Moodle). Ascissa curvilinea (o parametro arco), rappresentazione "standard". Esercizio: derivazione della rappresentazione standard dell'arco di catenaria di equazione y=cosh(x), x in [0,b]. Definizione di integrale di linea per funzioni di piu' variabili, a valori reali: motivazioni, definizione, giustificazione euristica. Applicazione: coordinate del baricentro di una curva. Invarianza dell'integrale curvilineo (e della lunghezza) per curve regolari equivalenti (cfr. il Teorema nel documento "Integrazioni/Complementi su Curve ecc." in Moodle). Mer. 9 Ott. 2019 (2 ore) Funzioni da R^n in R^m. Il caso m=1: la proprieta' di ordinamento dei numeri reali fa si' che abbiano significato i concetti di funzione positiva (negativa, non negativa, ecc.), di estremo superiore e inferiore (e di massimo/minimo) in un insieme D contenuto in R^n. Introduzione alle funzioni continue di piu' variabili: si anticipa che la continuita' preserva proprieta' topologiche di rilievo quali compattezza e connessione (cfr. i Teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi). Limiti di funzioni (a valori reali) di piu' variabili. Siano f: D ---> R, e x_0 di accumulazione per D: definizione di limite finito di f(x), per x che tende a x_0; riformulazione mediante gli intorni. Si provano (in maniera analoga a quanto fatto nel caso n=1): unicita' del limite, Teorema della permanenza del segno, criterio del confronto (Teorema dei carabinieri); operazioni algebriche coi limiti. Limiti di restrizioni di f. Esempi illustrativi: discussione del limite, per (x,y) ---> (0,0), delle funzioni f(x,y)=x/[(x^2+y^2)^{1/2}], g(x,y)=x^{4/3}y/(x^2+y^2), h(x,y)=x^2y/(x^4+y^2); come dedurre un eventuale candidato limite l, come provare rigorosamente che f(x) tende a l. Definizione di funzione f: D ---> R continua in x_0 appartenente a D. Funzioni continue in un sottoinsieme E di R^n. Continuita' delle funzioni lineari f(x)=, con a (in R^n) dato; ne consegue che i polinomi in piu' variabili sono funzioni continue, e che le funzioni razionali sono funzioni continue. Proposizione: La composizione di funzioni continue e' continua (dim. per esercizio: si utilizzi la formulazione della definizione mediante gli intorni). Ven. 11 Ott. 2019 (2 ore) Limiti e continuita' per funzioni di piu' variabili (contin.). Classi di funzioni continue: polinomi, funzioni razionali. La composizione di funzioni continue e' continua (con dim.). Esempi illustrativi: sin(x+y), ||x||^alfa, alfa > 0. Insiemi di livello, sotto- e sopralivelli, per funzioni di piu' variabili; esempi illustrativi, disegno di domini di funzioni di due-tre variabili. Applicazioni della continuita': Teorema: il sottolivello di una funzione continua in R^n (con disuguaglianza stretta) e' un insieme aperto (dim. per esercizio). Enunciati analoghi ed implicazioni. Ricoprimenti, ricoprimenti aperti, def. di insieme compatto. 4^ Settimana Lun. 14 Ott. 2019 (3 ore) Teoremi di rilievo per funzioni da R^n in R continue (contin.). Compattezza e connessione sono invarianti topologici. Sottoinsiemi di R^n compatti: definizione, esempi illustrativi (di insiemi non compatti); l'intervallo aperto (a,b) non e' compatto. (Si veda anche la definizione di "compatto per successioni".) Teorema (Heine-Borel): "Un sottoinsieme di R^n e' compatto se e solo se e' chiuso e limitato" (s.d.). L'essere chiuso e limitato e' condizione necessaria (ma non sufficiente) in spazi metrici generali. Teorema di Weierstrass (dim. per esercizio, come Corollario del Teorema seguente: "Un'applicazione continua tra spazi metrici manda compatti in compatti"). Insiemi separati, insiemi connessi, insiemi sconnessi: definizioni, esempi illustrativi. Una definizione piu' restrittiva: sottoinsiemi di R^n connessi per archi. Gli insiemi convessi sono connessi per archi. Teorema: "Un aperto di R^n e' connesso se e solo se e' connesso per archi" (s.d.). Teorema degli zeri (con dim.), Teorema dei valori intermedi (per esercizio). Calcolo differenziale per funzioni di n variabili. Richiamo della definizione di funzione derivabile in x_0 (nel caso n=1). Derivate direzionali: definizione, esempio illustrativo, con calcolo di tutte le derivate direzionali (esempio di funzione che ammette tutte le derivate direzionali in x_0 (lungo ogni direzione v) e continua in x_0. Riformulazione della proprieta' di derivabilita' in x_0 per mezzo di una formula asintotica, approssimazione lineare affine. Mer. 16 Ott. 2019 (2 ore) Calcolo differenziale per funzioni (a valori reali) di n variabili (contin.). Derivate direzionali. Esercizio: discussione dell'esistenza delle derivate direzionali di f(x)=||x||^2 in un punto x_0, calcolo delle stesse. Interpretazione geometrica della derivata direzionale. Derivate parziali (prime), vettore gradiente. L'esistenza del gradiente o anche di tutte le derivate direzionali di f in x_0 non e' garanzia di una minima regolarita' di f. Esempi illustrativi: 1. esempio di funzione che ammette gradiente in un punto ma non e' ivi continua (f(x,y)=1 se xy e' diverso da 0, f(x,y)=0 altrimenti); 2. esempio di funzione derivabile in x_0 lungo ogni direzione v, che non e' ivi continua (h(x,y)=[x^2y/(x^4+y^2)]^2 se (x,y) e' diverso da (0,0), h(0,0)=0). Funzioni differenziabili in un punto x_0: definizione (nel caso n>1) ispirata dalla formula asintotica che caratterizza la derivabilita' nel caso n=1. Approssimazione lineare. Teorema (dim.): "Per una funzione f (a valori reali) differenziabile in x_0 interno a D valgono i fatti seguenti: (i) esiste grad f(x_0), ed il funzionale lineare di cui alla definizione e' ; (ii) f e' continua in x_0; (ii) f possiede tutte le derivate direzionali in x_0, lungo ogni direzione v, e queste sono date da ". Ven. 18 Ott. 2019 (2 ore) Funzioni (a valori reali) di piu' variabili, differenziabili (contin.). 1. Primi esercizi: esistenza/non esistenza ed eventuale calcolo delle derivate parziali di un polinomio e della funzione norma f(x)=||x||. 2. Conseguenza della formula del gradiente: direzioni di massima e minima crescita in un punto, per una funzione (ivi) differenziabile. 3. Interpretazione geometrica della differenziabilita' di f in x_0: iperpiano tangente al grafico di f in (x_0,f(x_0)); il caso n=2: equazione del piano tangente, vettori e versori normali. 4. Il differenziale: spiegazione della rappresentazione df=f_x dx + f_y dy (n=2). 5. Teorema del differenziale totale (s.d), suo Corollario; funzioni di classe C^1. 5^ Settimana Lun. 21 Ott. 2019 (3 ore) Funzioni differenziabili (contin.). Derivazione di funzioni composte: esempi, alcune motivazioni (ad esempio: equazioni a derivate parziali (EDP) che descrivono fenomeni quali diffusione del calore, vibrazioni, onde; operatori differenziali coinvolti, cambi di coordinate che ne agevolino lo studio, e la determinazione di soluzioni esplicite). Funzioni da R^n in R^m, con n,m >1: primi esempi (la trasformazione in coordinate polari; rappresentazione dei punti di una superficie sferica mediante i (due) parametri longitudine e colatitudine; piu' in generale, superfici parametriche come applicazioni continue da sottoinsiemi di R^2 in R^3). Definizione di derivata direzionale in x_0, lungo una direzione v. Funzioni differenziabili: definizione, implicazioni, differenziale, matrice jacobiana. Teorema di derivazione delle funzioni composte: enunciato, regola della catena (s.d.). Discussione (1 ora) di quesiti e problemi assegnati: limiti all'infinito. Mer. 23 Ott. 2019 (2 ore) Funzioni differenziabili (contin.). Derivazione di funzioni composte in piu' variabili: due casi di particolare rilievo. 1. Il caso h(t):=f(r(t)), con t appartenente ad un intervallo I, con r un'applicazione a valori in R^n ed f una funzione (a valori reali) definita in un aperto A di R^n contenente r(I); condizioni sufficienti per la derivabilita' di h in t, regola della catena per il calcolo di h'(t). 2. Il caso g(x) = phi(f(x)), con f: D ----> R^n (D sottoinsieme di R^n) e phi: I ----> R (I intervallo reale); condizioni sufficienti per la differenziabilita' di g in x, regola della catena per il computo di grad g(x). Per esercizio: discutere la differenziabilita' della funzione g(x)=cos(||x||) in R^n. Corollario del Teorema del differenziale totale. Funzioni di classe C^1 in un aperto A di R^n. L'insieme delle funzioni di classe C^1 e' contenuto nell'insieme delle funzioni di classe C^0. Funzioni di classe C^k e di classe C^infty. Esercizio con discussione di continuita', differenziabilita', esistenza di derivate direzionali per la funzione che vale (sin^3 x+sin^3 y)/(x^2+y^2) quando (x,y) e' diverso da (0,0), e vale 0 in (0,0). Ven. 25 Ott. 2019 (2 ore) Funzioni differenziabili (contin.). Conclusioni e discussione in merito all'ultimo quesito dell'esercizio di cui alla lez. precedente. Quadro riassuntivo dei legami che intercorrono tra le proprieta' seguenti per funzioni (a valori reali) definite in un aperto A di R^n: appartenere a C^1(A), essere differenziabile in A, possedere tutte le derivate direzionali in A, possedere il gradiente in A, appartenere a C(A). (Contro)esempi specifici per le implicazioni false. (Per esercizio: una funzione che ammette gradiente in un punto puo' non ammettere altre derivate direzionali). Insiemi di livello e funzioni definite implicitamente: introduzione, esempi illustrativi. Anticipazioni sul Teorema delle funzioni implicite: equazioni scalari, sistemi di equazioni, interpretazione geometrica dell'assunto del Teorema nelle diverse situazioni. 6^ Settimana Lun. 28 Ott. 2019 (3 ore) Il Teorema di Lagrange per funzioni f: [a,b] ---> R. Non validita' del Teorema nel caso di applicazioni r: [a,b] ---> R^n, n>1 (controesempio). Formulazione del Teorema di Lagrange per funzioni f: D ---> R, con D sottoinsieme di R^n, n>1 (con dim.). Condizioni sufficienti affinche' f sia lipschitziana in D. Teorema delle funzioni implicite per funzioni a valori reali di due variabili: enunciato e dim. Mer. 30 Ott. 2019 (3 ore) Teorema delle funzioni implicite, un'implicazione di rilievo: proprieta' geometrica di grad f in relazione all'insieme M={(x,y): f(x,y)=0} (sotto ipotesi appropriate). Punti regolari di M, punti singolari; insiemi di livello regolari. Esercizio illustrativo dell'utilizzo del Teorema delle funzioni implicite. Per casa: il Teorema delle funzioni implicite nel caso di insiemi di livello di funzioni (scalari) di tre variabili; enunciato generale del Teorema nel caso dei sistemi. Problemi di massimo/minimo, introduzione: esistenza e determinazione dei valori estremi di una funzione (a valori reali) di piu' variabili, in un insieme D. Teorema di Weierstrass (e Teorema di Weierstrass generalizzato). Metodo delle curve di livello, con esempi illustrativi. Un metodo generale: analisi di f ristretta all'interno di D e di f ristretta alla frontiera di D; Teorema di Fermat, Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (cfr. lez. successiva). Ven. 1 Nov. 2019 (0 ore) Tutti i Santi (festivita' nazionale) 7^ Settimana Lun. 4 Nov. 2019 (3 ore) Problemi di ottimizzazione libera e vincolata. Punti di estremo (massimo/minimo) relativo ed assoluto per funzioni di piu' variabili: definizione, Teorema di Fermat (dim.). Punti critici o stazionari per f in un aperto A di R^n. Esercizio, risolto mediante l'utilizzo del Teorema di Weierstrass, la ricerca di eventuali punti critici (interni al dominio D nel quale si cercano i valori estremi di f), e la parametrizzazione di porzioni della frontiera di D. La ricerca dei valori massimo e/o minimo (estremi) di una funzione f(x,y) ristretta all'insieme di livello M di un'altra funzione g(x,y). Punti di max/min vincolato. Introduzione intuitiva al Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Derivazione di una condizione necessaria affinche' un punto p_0 sia di estremo vincolato per f, con vincolo M, se f e g sono di classe C^1 in un aperto A di R^2, e il gradiente di g in p_0 e' diverso da 0 (dim. del Teorema dei moltiplicatori di Lagrange). Un problema paradigmatico: Qual e' il parallelepipedo di volume massimo, se la superficie e' assegnata? (Ri-)formulazione del problema (con f e g di cui sopra funzioni a valori reali, di tre variabili), ricerca degli eventuali punti critici vincolati; inapplicabilita' del Teorema di Weierstrass, e giustificazione del fatto che il punto critico vincolato trovato fornisce il valore massimo del volume (da concludere). Cfr. approfondimento in arrivo in Moodle. Mer. 6 Nov. 2019 (2 ore) Teorema delle funzioni implicite, altri risultati collegati. Insiemi di livello di una funzione (scalare) di tre variabili g(x,y,z): enunciato del Teorema di Dini (s.d.); vettore normale e piano tangente alla superficie di livello M definita dall'equazione g(x,y,z)=0, nel punto (x,y,z). Corollario (dim.): Se g appartiene a C^1(A), e grad g(x,y,z) e' diverso da 0, allora grad g(x,y,z) e' ortogonale a M in (x,y,z). Invertibilita' di applicazioni f da aperti A di R^n in R^n. Il Teorema dell'inversa locale (dim., come conseguenza del Teorema delle funzioni implicite nel caso generale). Diffeomorfismi locali e globali. Osservazioni: 1. Un'applicazione appartenente a C^1(A), invertibile, non e' in generale un diffeomorfismo, perche' non ha necessariamente l'inversa appartenente a C^1 (basti pensare a f(x) = x^3). 2. Un'applicazione appartenente a C^1(A), con determinante jacobiano diverso da 0 in ogni punto di A non e' necessariamente invertibile su A, se n>1 (basti pensare all'applicazione (cosiddetta esponenziale) f(x,y) =(e^x cos(y),e^x sin(y)) in R^2. 3. Dato un diffeomorfismo f: A ---> R^n, A aperto di R^n, si ha Df^{-1}(y)=[Df(x)]^{-1}, con x=f^{-1}(y) (dim.). [Esercizio (per casa): Stabilire se la trasformazione f(u,v)=(uv,v/u), (u,v) in A:= R^+ x R^+, e' un diffeomorfismo di A in se'. Calcolare il determinante jacobiano dell'applicazione inversa in due modi diversi.] Ven. 8 Nov. 2019 (2 ore) Discussione dell'esercizio assegnato nella lezione precedente. Superfici. Sono state gia' incontrate: (i) superfici cartesiane, cioe' grafici di funzioni continue di due variabili in opportuni sottoinsiemi del piano; (ii) superfici di livello regolari, e piu' precisamente insiemi di livello (regolari) di funzioni di tre variabili. Il Teorema delle funzioni implicite garantisce che una superficie di livello regolare e' localmente, in un intorno di ogni suo punto, una superficie cartesiana. (iii) Introduzione alle superfici parametriche: definizione, equazioni parametriche, esempi illustrativi (superficie sferica, parametri colatitudine e longitudine; superfici rigate). Linee coordinate. 8^ Settimana Lun. 11 Nov. 2019 Lezione (10:30-13:30) sospesa, per svolgimento prima prova d'esame in itinere (14:30-17:00). Mer. 13 Nov. 2019 (2 ore) Superfici parametriche (continuazione). Linee coordinate. Superfici regolari: definizione, vettore normale e piano tangente alla superficie in un punto. Per esercizio: verificare che la superficie sferica di cui alla lez. precedente e' regolare. Regolarita' di una superficie cartesiana. Interpretazione della condizione di regolarita' (per mezzo del Teorema dell'inversa locale): una superficie regolare e' localmente una superficie cartesiana. Superfici di rotazione; una superficie ottenuta ruotando un arco di curva regolare attorno ad un asse ad esso complanare, senza intersecarlo, e' regolare (dim.). Ven. 15 Nov. 2019 (2 ore) Integrali multipli. Una `road map' per la teoria dell'integrazione (secondo Riemann). Integrabilita' di funzioni (a valori reali) limitate in un rettangolo Q=[a,b]x[c,d]: suddivisioni di Q, somme superiori e inferiori, definizione di "f e' integrabile in Q". Due esempi illustrativi: (i) una funzione costante in un rettangolo Q e' integrabile, ed il valore dell'integrale e' c|Q|, se f(x,y)=c; (ii) la funzione che vale 1 nei punti di [0,1]x[0,1] a coordinate razionali, e 0 altrimenti, non e' integrabile (secondo Riemann) in [0,1]x[0,1]. Interpretazione dell'integrale di funzioni positive su un rettangolo: volume del cilindroide (sotteso al grafico). Due questioni cruciali: 1. individuare classi (abbastanza ampie) di funzioni integrabili in domini limitati opportuni, e 2. quali metodi per il calcolo degli integrali corrispondenti. Proposizione: caratterizzazione dell'integrabilita' (s.d., cfr. dim. analoga nel caso di funzioni di una variabile). Teorema (dim.): Una funzione continua in un rettangolo chiuso [a,b]x[c,d] e' integrabile. Formule di riduzione: introduzione intuitiva, Teorema (enunciato, s.d.). 9^ Settimana Lun. 18 Nov. 2019 (3 ore) Calcolo integrale per funzioni di due variabili (contin.). Definizione di funzione integrabile su domini piani limitati piu' generali (non necessariamente rettangoli). Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan (in R^2): definizione, due esempi illustrativi. Specificamente: 1. Un rettangolo [a,b]x[c,d] e' misurabile (secondo Peano-Jordan) e la sua misura coincide con l'area; si puo' provare che lo stesso vale per i poligoni, in accordo con le usuali formule della geometria classica. 2. Un insieme non misurabile secondo Peano-Jordan. Insiemi di misura nulla, detti "trascurabili". Proposizione (s.d.): Un insieme piano limitato e' misurabile secondo Peano-Jordan se e solo se la sua frontiera e' trascurabile. Caratterizzazione degli insiemi trascurabili (s.d.). Esercizio (di particolare rilevo): il grafico di una funzione f continua in [a,b] e' trascurabile (dim.). L'assunto vale anche nel caso di f integrabile secondo Riemann in [a,b]. Altri insiemi piani trascurabili: un insieme costituito da un numero finito di punti; un segmento; un arco di curva regolare a tratti. Insiemi semplici rispetto ad un asse. La frontiera di un insieme semplice e' trascurabile. Teorema: Una funzione limitata in un rettangolo Q, continua in Q tranne al piu' nei punti di un insieme di misura nulla, e' integrabile (s.d., dim. da leggere). Funzioni generalmente continue. Formule di riduzione per funzioni continue (e generalmente continue) in insiemi semplici (dim.). Mer. 20 Nov. 2019 (2 ore) Il calcolo degli integrali. Due esercizi, nel caso di funzioni di due variabili continue in domini semplici rispetto ad (almeno) un asse. L'importanza di una appropriata descrizione analitica dell'insieme di integrazione. L'integrale della funzione di Gauss e^{-(x^2+y^2)} in un disco di centro (0,0) e raggio R>0: criticita' e motivazioni per l'utilizzo di coordinate polari. Introduzione ai cambi di variabili negli integrali doppi: cfr. Nota del 15 Nov. sul tema "Come cambia l'area di un rettangolo sotto l'azione di un'applicazione lineare (o affine) a valori in R^2". Approssimazione lineare e modulo del determinante jacobiano di una trasformazione T(.) come fattore di scala con cui vengono trasformate le aree (e i volumi, ecc.). Teorema di cambiamento di variabili negli integrali doppi (s.d.). Gio. 21 Nov. 2019 (2 ore) -- anticipo della lez. del 22 Nov. Il calcolo degli integrali doppi, cambi di variabili: alcuni esercizi. Proprieta' dell'integrale: linearita', monotonia, stime dell'integrale, additivita' rispetto all'insieme di integrazione. Coordinate polari, loro utilizzo nel caso di domini a simmetria radiale e/o di funzioni a simmetria radiale; l'importanza del fatto seguente: l'intersezione tra un insieme (limitato) misurabile ed il semiasse positivo delle x e' trascurabile. Ven. 22 Nov. 2019 Assente per motivi di servizio (lezione anticipata al 21 Nov.) 10^ Settimana Lun. 25 Nov. 2019 (2 ore) Integrale (secondo Riemann) e misura (di Peano-Jordan) in dimensione n>2. Un rapido excursus: funzioni (a valori reali) limitate in un n-rettangolo Q=[a_1,b_1]x[a_2,b_2]x...x[a_n,b_n], definizione di "f e' integrabile in Q", caratterizzazione dell'integrabilita' (s.d.), formule di riduzione. Funzioni integrabili in insiemi limitati non rettangolari, insiemi misurabili in R^3, insiemi trascurabili. Importante: un insieme puo' essere trascurabile in R^n e non in R^k, k0}; una primitiva e' arctan(y/x). Insiemi stellati in R^n: definizione, esempi, il Lemma di Poincare' (s.d.). Insiemi semplicemente connessi in R^n: definizione intuitiva (cfr. concetto di curve omotope), esempi; Teorema*: Una forma C^1 e chiusa in un aperto Omega semplicemente connesso e' ivi esatta. Corollario: Un campo vettoriale appartenente a C^1 e irrotazionale in un aperto Omega e' localmente conservativo. Esercizio: Calcolo del lavoro di un campo di forze lungo un'arco di curva, mediante determinazione esplicita di un potenziale. Per casa: effettuare il calcolo diretto dell'integrale curvilineo. Introduzione alle formule di Green nel piano: curve di Jordan, domini D con frontiera data da una curva di Jordan regolare, orientazione positiva della frontiera di D. Formule di Green (cenni alla dim.), insiemi ammissibili. Conseguenze: (i) Formule per l'area di domini piani, (ii) Teorema delle divergenza, (iii) Teorema di Stokes, (iv) Dimostrazione del Teorema* per Omega contenuto in R^2, (v) invarianza (rispetto a deformazioni della traiettoria) per integrali curvilinei di campi vettoriali irrotazionali. Mer. 4 Dic. 2019 (2 ore) Teorema di Green e sue conseguenze (contin.). Dim. del Teorema seguente: "Una forma C^1 e chiusa in un aperto semplicemente connesso e' ivi esatta ((iv) della lezione precedente). Dim. del Teorema della divergenza in dimensione 2 ((ii) lez. prec.). Area di una superficie: introduzione con richiami alla procedura che conduce al concetto di curva rettificabile (mediante poligonali inscritte) e alla formula per la lunghezza; inadeguatezza di una procedura analoga nel caso di superfici, esempio di Schwarz (s.d.). Un diverso metodo di approssimazione che fa uso di (porzioni di) piani tangenti alla superficie, derivazione della formula per l'area di una superficie cartesiana regolare in un rettangolo; estensione al caso generale di superfici parametriche (regolari). Ven. 6 Dic. 2019 (2 ore) Esercizi/problemi: utilizzo di formule per l'area di regioni piane racchiuse da curve regolari a tratti (in particolare, del dominio delimitato da un arco di cicloide e dall'asse x, e di un settore iperbolico). Per esercizio: calcolare in due modi diversi l'area della regione piana racchiusa da una lemniscata di Bernoulli. Equazioni differenziali ordinarie (EDO): introduzione (la legge di Newton), forma generale di un'EDO (scalare), il significato dell'aggettivo "ordinario" (cfr. equazioni a derivate parziali); ordine e tipo (lineare vs non lineare) dell'equazione, esempi illustrativi. Forma generale di un'equazione lineare di ordine n, definizione di soluzione. Moto armonico. Condizioni ausiliarie, condizioni iniziali. 12^ Settimana Lun. 9 Dic. 2019 (3 ore) Equazioni differenziali ordinarie (EDO) del prim'ordine, in forma normale. Modelli differenziali che descrivono processi di crescita e decadimento; il modello di Malthus (1766-1834), il modello di Verhulst (1804-1849). EDO lineari (del prim'ordine) a coefficienti continui in un intervallo: derivazione di una formula chiusa per l'integrale generale dell'equazione; la famiglia ad un parametro (reale) fornisce un'unica soluzione se l'EDO e' corredata di una condizione (cosiddetta) iniziale x(t_0)=x_0. Il problema di Cauchy per l'equazione (in generale, non lineare) x'=f(t,x), questioni di rilievo: esistenza di almeno una soluzione locale, unicita', esistenza "in grande". La continuita' di f in un aperto A di R^2 come regolarita' minimale ai fini dell'esistenza (Teorema di Peano, s.d.). Esempio di non unicita' delle soluzioni di un problema di Cauchy, il fenomeno del "pennello di Peano". Un risultato che fornisce condizioni sufficienti a garantire esistenza locale ed unicita' (s.d.). Ricerca delle soluzioni di equazioni a variabili separabili (o separate). Studio dell'equazione logistica x'=ax-bx^2 (non concluso, cfr. lezione successiva). Mer. 11 Dic. 2019 (2 ore) Equazioni differenziali ordinarie (EDO) del primo ordine a variabili separabili (contin.). Ricerca di tutte le soluzioni t ---> x(t) dell'equazione logistica x'=ax-bx^2, con a e b costanti positive: soluzioni stazionarie, altre soluzioni. Descrizione delle soluzioni in forma implicita, eventuale forma esplicita, intervallo massimale in cui le soluzioni sono definite. Studio qualitativo di un'EDO: informazioni fornite dall'equazione stessa (proprieta' di monotonia, concavita', ecc.). Validita' piu' generale del metodo descritto specificamente per la ricerca dell'integrale generale dell'equazione logistica. Soluzioni globali dell'equazione x'=f(t,x), fenomeno del blow-up (scoppiamento in tempo finito); l'EDO x'=x^2, con diverse condizioni iniziali; soluzione di un problema di Cauchy associato non limitata in un intorno di un punto, e percio' non prolungabile (con continuita'). Ven. 13 Dic. 2019 (2 ore) Equazioni differenziali (ordinarie) lineari di ordine n. Equazione non omogenea, equazione omogenea associata. Dall'equazione scalare di ordine n al sistema del primo ordine X'=A(t)X+F(t); la continuita' delle entrate della matrice A(.) e delle componenti di F(.) in un intervallo I e' sufficiente a garantire l'esistenza di un'unica soluzione globale X(t) dei problemi di Cauchy associati. Il problema di Cauchy per un'equazione di ordine n, relative condizioni iniziali. Struttura dell'integrale generale dell'equazione completa, conseguenza di due fatti: (i) se u e v sono due soluzioni dell'equazione completa, u-v risolve l'equazione omogenea associata; (ii) principio di sovrapposizione (per l'equazione omogenea). Teorema: Lo spazio delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea di ordine n e' uno spazio vettoriale di dimensione n (dim. rimandata a lez. successiva). La ricerca di soluzioni esplicite: equazioni omogenee a coefficienti costanti, il caso n=2 come archetipo. La scomposizione in fattori di un polinomio di grado due suggerisce la decomposizione dell'operatore differenziale del secondo ordine mediante operatori del primo ordine; equazione caratteristica e sue radici (reali o complesse, di molteplicita' uno o due), costruzione di un sistema di soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione differenziale. 13^ Settimana Lun. 16 Dic. 2019 (3 ore) Equazioni differenziali lineari di ordine n: equazioni omogenee a coefficienti costanti, il caso n=2 come archetipo (contin.). L'equazione differenziale, le soluzioni dell'equazione caratteristica e la costruzione di un sistema fondamentale (per l'EDO); un esercizio. Ricerca di una soluzione particolare dell'equazione completa: il metodo di somiglianza (o dei coefficienti indeterminati), con un esempio-esercizio illustrativo; il metodo di variazione delle costanti (su cui ritornare). EDO lineari omogenee: il caso generale. Dim. del Teorema: Lo spazio delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea di ordine n e' uno spazio vettoriale di dimensione n. Come accertare la lineare indipendenza di n soluzioni di un'EDO lineare omogenea con coefficienti continui in un intervallo I: la matrice wronskiana, il wronskiano. Teorema (che stabilisce se n soluzioni sono linearmente indipendenti per mezzo del wronskiano). Lemma: Il wronskiano e' o identicamente nullo in I, oppure sempre non nullo in I. Mer. 18 Dic. 2019 (2 ore) Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO, contin.). L'equazione di Bernoulli, ed il ruolo dei cambi di variabile (dipendente) per lo studio di EDO, in particolare al fine di ricondurre un'EDO non lineare ad una lineare. EDO lineari non omogenee: il metodo di variazione delle costanti per la ricerca di una soluzione particolare dell'equazione completa. Esempio-esercizio: determinare una soluzione u=u(t) dell'equazione u''+u=1/(cos t) in (-pi/2,pi/2). EDO esatte e problemi di Cauchy ad esse associate: descrizione della soluzione in forma implicita; ricerca di un fattore integrante. Ven. 20 Dic. 2019 (2 ore) Superfici parametriche: formula per l'area di una superficie regolare (e semplice), integrali di superficie. Superfici orientabili, integrali di flusso su superfici orientate. Un esercizio. Richiamo del Teorema di Gauss-Green, formula di Stokes (in dimensione n=2). Superfici con bordo, orientazione positiva del bordo, Teorema di Stokes (s.d.). Teorema della divergenza (s.d.).