AA 2019/2020 Corso di Laurea Magistrale in Matematica Insegnamento: ANALISI SUPERIORE Introduzione alla Teoria del Controllo (in dimensione finita e infinita), e alla Teoria dei semigruppi (di operatori) Docenti: Francesca Bucci & Luigi De Pascale REGISTRO delle LEZIONI 1^ Settimana Lun. 2 Mar. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Introduzione ai problemi di controllo. Definizioni ed esempi. Criteri di prestazione e controllo ottimo. Definizioni ed esempi Mar. 3 Mar. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Controllabilita' per sistemi autonomi. Proprieta' generali dell'insieme degli stati controllabili. Inizio dello studio per il caso Lineare Autonomo. Ven. 6 Mar. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Struttura dell'insieme dei controllabili per il sistema (LA) Lineare Autonomo. Matrice di controllabilita' e locale controllabilita' intorno a 0. (TELEMATICA - CORONA VIRUS) 2^ Settimana Lun. 9 Mar. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Equazioni Differenziali Ordinarie. Esponenziale di una matrice e soluzione fondamentale di un sistema Lineare Omogeneo a Coefficienti Costanti. Esistenza ed unicita' locale e dipendenza continua dai dati per il prob. di Cauchy con termine destro solo misurabile rispetto al tempo. (TELELEMATICA - CORONA VIRUS) Mar. 10 Mar. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Condizioni necessarie e sufficienti per la controllabilita' totale per un problema di controllo Lineare Autonomo a coefficienti costanti. (TELEMATICA-CORONA VIRUS) Ven. 14 Mar. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Controllabilita' per un sistema autonomo non lineare mediante linearizzazione e stabilita' asintotica. (TELEMATICA - CORONA VIRUS) 3^ Settimana Lun. 16 Mar. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Dimostrazione del Bang-Bang Principle per il problema Lineare Autonomo: Parte 1 (TELEMATICA - CORONA VIRUS) Mar. 17 Mar. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Dimostrazione del Bang-Bang Principle per il problema Lineare Autonomo: Parte 2 (TELEMATICA - CORONA VIRUS) Ven. 20 Mar. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Problemi di controllo ottimo: Problema di tempo minimo per il controllo del sistema Lineare Autonomo, esistenza e prime proprieta' del controllo ottimo. (TELEMATICA - CORONA VIRUS) 4^ Settimana Lun. 23 Mar. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Proprieta' qualitative e di regolarita' dei controlli ottimi o estremali per il problema di tempo ottimo con sistema di stato lineare autonomo (TELEMATICA - CORONA VIRUS) Mar. 24 Mar. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Unicita' del controllo ottimo per il costo tempo minimo ed il sistema di stato Lineare Autonomo. Caratterizzazioni geometriche ed analitiche della normalità del sistema. (TELEMATICA - CORONA VIRUS) Ven. 27 Mar. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Problemi di Controllo Ottimo generali: esempi e controesempi. (TELEMATICA - CORONA VIRUS) 5^ Settimana Lun. 30 Mar. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Problemi di Controllo Ottimo: Teorema di esistenza in classi di controlli con maggior compattezza. (TELEMATICA - CORONA VIRUS) Mar. 31 Mar. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Problemi di Controllo Ottimo: Teorema di esistenza sotto ipotesi di convessita'. (TELEMATICA - CORONA VIRUS) Ven. 3 Apr. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Condizioni necessarie per l'ottimalita': il principio del massimo di Pontryagin. Introduzione, enunciato e discussione. (TELEMATICA - CORONA VIRUS) 6^ Settimana Lun. 6 Apr. 2020 (2 ore) -- De Pascale L. Condizioni necessarie per l'ottimalita': il principio del massimo di Pontryagin. Applicazione completa ad un esempio. (TELEMATICA - CORONA VIRUS) Mar. 7 Apr. 2020 (0 ore) -- recupero causa COVID-19 *** 9-15 aprile 2020: Vacanze Pasquali *** 7^ Settimana Ven. 17 Apr. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Introduzione alla seconda parte del corso. Equazioni a Derivate Parziali (EDP) di evoluzione, sistemi di controllo in spazi di dimensione infinita. La teoria dei semigruppi di operatori fornisce un linguaggio per l'analisi di problemi al contorno e ai valori iniziali (IBVP) per EDP lineari e per lo studio di problemi di controllo ad esse associati. Essa fornisce uno strumento anche ai fini dello studio di EDP non lineari, con metodi perturbativi. Esempi introduttivi paradigmatici: 1. Equazione delle onde in un dominio limitato di R^n, con controllo distribuito. Il problema al contorno e ai valori iniziali si riconduce ad un sistema y'=Ay+Bu in uno spazio funzionale Y opportuno, ove l'operatore A che descrive la dinamica libera (cioe' in assenza di azioni di controllo) e' il generatore di un semigruppo -- anzi di un gruppo -- fortemente continuo in Y. L'operatore (cosiddetto) di controllo B risulta in questo caso limitato. (Le definizioni e dimostrazioni rigorose nelle lezioni seguenti.) 2. Equazione del calore in un dominio limitato di R^n, con controllo sulla frontiera. Il metodo di Fattorini e Balakrishnan ai fini di una formulazione astratta del problema; l'operatore B risulta (intrinsecamente) non limitato. Un esempio illustrativo dell'utilizzo cruciale dei semigruppi: la/le proprieta' di controllabilita'. Nel caso finito-dimensionale la controllabilita' di un sistema lineare ha corrispettivi in termini puramente algebrici (cfr. la condizione di Kalman). Il caso infinito-dimensionale: controllabilita' esatta e controllabilita' a zero, interpretazione analitico-funzionale delle proprieta' (quali inclusioni insiemistiche tra immagini di operatori lineari), condizioni equivalenti rispettive, stime di osservabilita'. La dimostrazione di queste ultime richiede in generale metodi di EDP (cfr. stime di Carleman), salvo in casi speciali in 1D (dimensione spaziale) e/o di domini con geometria particolare (metodo di Fourier, stime di Ingham). ESERCIZIO: verificare che l'equazione del calore (1D) con controllo distribuito in L^2(0,pi) non e' controllabile esattamente. (TELEMATICA - SARS-CoV-2) 8^ Settimana Lun. 20 Apr. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Prerequisiti: Integrale di Bochner. Estensione dell'integrale di Lebesgue al caso di applicazioni f da un intervallo I di R ad uno spazio di Banach X. Funzioni semplici, misurabili, integrabili (secondo Bochner). Proprieta' dell'integrale. Integrale di Bochner ed operatori lineari. Spazi di funzioni L_p e L_infty, a valori in X. Derivate generalizzate di funzioni a valori in X. Lo spazio W(a,b). Teoria dei semigruppi. Dato uno spazio di Banach X, definizione di semigruppo fortemente continuo (f.c.) S_t in X, per t non negativo. Definizione di gruppo S_t f.c. in X, con t in R. Esempi: a) L'esponenziale exp(tA), con A operatore lineare limitato in X (e t in R). b) Il semigruppo di traslazione a sinistra nello spazio X=C_{ub}(R_+) delle funzioni f (a valori reali) uniformemente continue sulla semiretta chiusa [0,infty), dotato della norma lagrangiana; ruolo cruciale della proprieta' di continuita' uniforme di f. (TELEMATICA - SARS-CoV-2) Mar. 21 Apr. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Teoria dei semigruppi (contin.). Proprieta' asintotiche di S_t: (i) Proposizione (dim.): crescita esponenziale della norma di un semigruppo. (ii) Il "tipo" omega_0 di un semigruppo S_t in X: definizione, caratterizzazione (Proposizione, con dim.). Due esempi: calcolo esplicito del tipo di un semigruppo in due casi in cui sia ha -- rispettivamente -- omega_0=0 e omega_0 = -infty. Esercizi: svolgimento dell'esercizio assegnato nella lez. del 20 apr. 2020 (non validita' della controllabilita' esatta per l'eq. del calore; dimostrazione nel caso 1D). (TELEMATICA - SARS-CoV-2) Ven. 24 Apr. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Teoria dei semigruppi (contin.). Proprieta' della media integrale per semigruppi generali. Semigruppi uniformememente continui: definizione, esempi (di semigruppi unif. continui e non), loro caratterizzazione (Teorema, dim.). (TELEMATICA - SARS-CoV-2) 9^ Settimana Lun. 27 Apr. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Teoria dei semigruppi (contin.). Generatore di un semigruppo S_t: definizione, prime proprieta'. Proposizione (dim.): Il generatore A di un semigruppo S_t in X e' un operatore chiuso con dominio denso; esso determina univocamente il semigruppo. Teorema (dim.): Rappresentazione integrale dell'operatore risolvente di A (come trasformata di Laplace del semigruppo S_t generato da A). (TELEMATICA - SARS-CoV-2) Mar. 28 Apr. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Teoria dei semigruppi (contin.). Precisazioni/integrazioni in relazione alla lezione precedente (27 apr. 2020). Semigruppi uniformemente limitati, semigruppi di contrazioni. Il Teorema di Hille-Yosida (dim.). (TELEMATICA - SARS-CoV-2) Ven. 1 Mag. 2020 (Festa nazionale) 10^ Settimana Lun. 4 Mag. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Teoria dei semigruppi (contin.). Applicazione del Teorema di Hille-Yosida: discussione di esempi illustrativi. Il generatore del semigruppo di traslazione in C_{ub}([0,infty)) e' l'operatore "derivata prima". Un problema al contorno e ai valori iniziali per l'equazione del calore in un intervallo I limitato (per comodita' I=[0,pi]): generazione del semigruppo negli spazi C_0(I) e L^p(I), con p in [2,infty). (TELEMATICA - SARS-CoV-2) Mar. 5 Mag. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Teoria dei semigruppi (contin.). Risultati di generazione di semigruppi generali: il Teorema di Feller-Miyadera-Phillips, con una `roadmap' per la sua dimostrazione. Operatori dissipativi in uno spazio di Banach X: definizione, caratterizzazione degli operatori dissipativi in spazi di Hilbert (dim.). Teorema di Lumer-Phillips (solo enunciato). Corollario del Teorema di Lumer-Phillips (dim.): il caso in cui X e' uno spazio di Hilbert ed entrambi A e A* sono dissipativi. Applicazione del Corollario: Sia Omega un dominio limitato di R^n, con frontiera regolare: la realizzazione dell'operatore di Laplace in X=L^2(Omega), con condizioni al bordo (omogenee) di Dirichlet, e' un operatore autoaggiunto e dissipativo e quindi il generatore di un semigruppo f.c. di contrazioni in L^2(Omega). (TELEMATICA - SARS-CoV-2) Ven. 8 Mag. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Teoria dei semigruppi (contin.). Gruppi di operatori fortemente continui in uno spazio di Banach X: definizione (richiamata), il generatore. Alcune implicazioni, quali ad esempio: un semigruppo C_0 per cui esiste tau>0 tale che S_{tau} e' invertibile e' estendibile ad un gruppo C_0 in X. Costruzione di un gruppo S_t quando A e -A sono entrambi generatori di un semigruppo f.c. in X. Operatori autoaggiunti, operatori (lineari) limitati unitari. Un risultato di generazione di un gruppo di operatori unitari: il Teorema di Stone (dim.). Applicazione allo studio del problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione delle onde e per l'equazione di Schroedinger in un intervallo limitato. (TELEMATICA - SARS-CoV-2) 11^ Settimana Lun. 11 Mag. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Teoria dei semigruppi (contin.). Vari concetti di stabilita': stabilita' esponenzialmente uniforme, stabilita' uniforme, stabilita' forte, stabilita' debole per semigruppi fortemente continui in uno spazio di Banach X. Alcune osservazioni: 1. Le quattro definizioni sono equivalenti se X ha dimensione finita (cfr. testo di Zabczyk). 2. La gerarchia e' ovvia nel caso infinito-dimensionale; 2a. esistono semigruppi fortemente stabili che non sono uniformemente stabili in X (il semigruppo di traslazione a sinistra in L^2([0,infty)) e in C_0([0,infty)); 2b. esistono semigruppi debolmente stabili che non sono fortemente stabili (ad es., per esercizio: il semigruppo di traslazione in L^2(R)). 3. Esistono semigruppi che non verificano alcuna delle proprieta' di stabilita' introdotte; cfr. Engel-Nagel, p. 298.). Proposizione (dim.): la stabilita' uniforme e la stabilita' esponenzialmente uniforme sono concetti equivalenti. Alcune condizioni equivalenti alla stabilita' uniforme che coinvolgono il tipo del semigruppo oppure il suo raggio spettrale. Caratterizzazioni dei semigruppi S_t uniformemente (esponenzialmente) stabili in X (s.d.): Il Teorema di Datko (cfr. Datko 1970, Pazy 1972), che riconduce la stabilita' uniforme al fatto che la funzione t ---> ||S_t x|| sia a quadrato sommabile in [0,infty). Estensioni del Teorema di Datko: Rolewicz 1986, Littman 1989, Storozhuk 2007. Criteri spettrali (o nel dominio delle frequenze): un Teorema (Pruess, 1984) che riconduce la stabilita' uniforme alla limitatezza della norma dell'operatore risolvente sull'asse immaginario. (Cfr. anche Gearhart 1978, Greiner 1984). Un Teorema (Borichev-Tomilov, 2010) che stabilisce i tassi di decadimento di ||S_t x||, per t ---> +infty, quando x appartiene al dominio del generatore, mediante stime ottimali per la norma dell'operatore risolvente sull'asse immaginario. (TELEMATICA - SARS-CoV-2) Mar. 12 Mag. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Teoria dei semigruppi (contin.). Il Problema di Cauchy y'=Ay+f, y(0)=y_0, con A generatore di un semigruppo f.c. in uno spazio di Banach X. Soluzioni strette, soluzioni forti. Proposizione: Condizioni sufficienti su f e y_0 per l'esistenza di un'unica soluzione forte (dim.). Le soluzioni forti sono continue (dim.). Soluzioni mild. (TELEMATICA - SARS-CoV-2) Ven. 15 Mag. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Discussione di un esercizio (contin.): determinazione dello spettro di un operatore. Proposizione: Condizioni sufficienti su f e y_0 per l'esistenza di un'unica soluzione stretta del problema di Cauchy (dim.). Osservazione: un esempio che mostra come un dato iniziale y_0 in D(A) non e' sufficiente, in generale, a garantire che la soluzione forte sia stretta. (TELEMATICA - SARS-CoV-2) 12^ Settimana Lun. 18 Mag. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Teoria dei semigruppi (contin.). Soluzioni deboli (weak) del problema di Cauchy: definizione, esistenza ed unicita' (Teorema, s.d.). Introduzione ai semigruppi analitici: si anticipano alcune proprieta' di rilievo, quali (i) la pertinenza con EDP di tipo parabolico, ma anche con equazioni delle onde o delle piastre con forte smorzamento, e sistemi termoelastici; (ii) le implicazioni della regolarita' della "input-to-state map" di un sistema di controllo y'=Ay+Bu per lo studio dei problemi di controllo ottimale associati; (iii) le proprieta' spettrali del generatore. Trasformata di Laplace, una formula per l'antitrasformata (nel caso scalare). Operatori settoriali, integrale di Dunford; operatori settoriali e semigruppi, proprieta' del semigruppo (Teorema, s.d.). (TELEMATICA - SARS-CoV-2) Mar. 19 Mag. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Teoria dei semigruppi (contin.). Definizione di operatore settoriale e semigruppo analitico. Il caso in cui il dominio del generatore non e' densamente definito. Alcuni criteri di ampia applicazione: Proposizione: condizioni sufficienti affinche' un operatore sia settoriale, e quindi il generatore di un semigruppo analitico (cfr. Lunardi, Prop. 4.1.9). Proposizione: Un operatore lineare dissipativo e autoaggiunto in uno spazio di Hilbert e' settoriale, con theta, con P(tau) operatore non negativo ed autoaggiunto (y_0 appartenente a Y e' lo stato iniziale, fissato). Il controllo ottimale ammette una rappresentazione in forma di retroazione (feedback), e tale formula coinvolge l'operatore P(t). (TELEMATICA - SARS-CoV-2) Mar. 26 Mag. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Controllo lineare-quadratico in dimensione infinita (contin.). Derivazione euristica dell'equazione differenziale di Riccati (DRE) corrispondente al problema di controllo ottimale in orizzonte finito. L'importanza dell'unicita' delle soluzioni della DRE per la sintesi del controllo ottimale. Proprieta' di transizione per controllo e stato ottimale (dim.). (TELEMATICA - SARS-CoV-2) Ven. 29 Mag. 2020 (2 ore) -- Bucci F. Controllo lineare-quadratico in dimensione infinita (contin.). Rivisitazione del problema discusso: il caso in cui il funzionale costo penalizza lo stato all'istante finale, formula per l'operatore di Riccati in termini dello stato ottimale. Che l'operatore di Riccati sia soluzione dell'equazione di Riccati (in un senso da precisare) va provato; tale dimostrazione richiede lo studio della regolarita' di stato e controllo ottimali rispetto al parametro "istante iniziale". L'equazione differenziale di Riccati: definizione di soluzione, forma integrale dell'equazione; buona positura (Teorema, solo l'enunciato). (TELEMATICA - SARS-CoV-2) 14^ Settimana Mer. 3 giu. 2020 (2 ore) -- Bucci F. (in luogo della lez. del 1^ giu 2020) Controllo lineare-quadratico in dimensione infinita (contin.). Teorema (con sketch e parti della dim.): Buona positura per equazioni differenziali di Riccati in spazi di Hilbert, identita' fondamentale, sintesi del controllo ottimale. Proseguo: il problema in orizzonte di tempo infinito, l'equazione algebrica di Riccati. Estensioni: controllo lineare-quadratico ed equazioni di Riccati per sistemi con operatore di controllo non limitato. (TELEMATICA - SARS-CoV-2) Ven. 5 giu. 2020 (2 ore) -- Bucci F. (lezione conclusiva) Conclusioni, proseguo, spunti di approfondimento. Proseguo: controllo lineare-quadratico in orizzonte di tempo infinito, l'equazione algebrica di Riccati con operatore di controllo limitato (cfr. Zabczyk, Parte IV, e proposta di seminario). Estensioni: controllo lineare-quadratico ed equazioni di Riccati per sistemi con operatore di controllo non limitato; EDP paraboliche, EDP iperboliche. La necessita' di nuovi concetti e strumenti: potenze frazionarie di operatori, spazi di interpolazione; regolarita' al bordo per equazioni iperboliche. Spunti di approfondimento: il problema del regolatore quadratico non-standard. (TELEMATICA - SARS-CoV-2) ADDENDUM: Integrazione ai fini di una proposta di seminario, ma anche indipendente Mer. 17 giu. 2020 (3 ore) -- Bucci F. (lezione integrativa) Controllabilita' esatta dell'equazione delle onde in un dominio limitato, con controllo v sulla frontiera (il caso di condizione al bordo di tipo Dirichlet). Una questione preliminare: la buona positura del problema al contorno e ai valori iniziali (IBVP) in Y=L^2(Omega)xH^{-1}(Omega), quando v appartiene a L^(0,T;L^2(Gamma)): l'approccio che utilizza la teoria dei semigruppi, ed il ruolo cruciale di opportuni risultati di regolarita' delle tracce. 1. Il metodo di Fattorini-Balakrishnan, che consente di ricondurre l'IBVP ad un problema di Cauchy per l'equazione astratta y'=Ay+Bv; l'operatore di controllo B non e' limitato da U=L^2(Gamma) in Y. 2. Descrizione degli operatori A e B nel caso specifico, calcolo dei rispettivi aggiunti; A e' "skew-adjoint" e genera un gruppo e^{tA} di operatori (unitario) in Y. La dimostrazione della buona positura dell'IBVP si basa su una stima di regolarita' al bordo per le soluzioni di un problema 'libero'; tale risultato non e' deducibile dalla regolarita' interna (per questo motivo si parla di regolarita' "nascosta"); cfr. Komornik, sezioni 1 e 2. 3. Interpretazione della condizione di controllabilita' esatta, con la derivazione della stima di osservabilita' (o disuguaglianza inversa) ad essa equivalente. Per la dimostrazione cfr. Komornik, Thm. 3.1. (TELEMATICA - SARS-CoV-2)